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Full text of "Journal de mathématiques pures et appliquées"

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TOROHTO 



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in 2010 witii funding from 

University of Ottawa 



Iittp://www.arcliive.org/details/s8journaldemat04liou 



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JOURNAL 

DR 

M AT II É M AT [QUE S 

PURES ET APPLIQUÉES 



JOIRNAL 

MATHÉMATIQUES 

PURES ET APPLIQUÉES 

FO>JDR EN 1836 ET PUBLIE JUSQU'EN 1874 

Par Joseph LIOLIVILLE 



publie de 1875 a 1884 
Par h. RESAL 



HUITIÈME SÉRIE 



PiR CA)IILLB JORDAN 

AVEC LA COLLABORATInN bB 

«ONTKSSIS Dl nU.LOIE. E. nCUlO, II. VIM.U' 



TOME QUATRIÈME - ANNÉE 1921 

(86* Volume de la Collection) 



^ofSZ-o 



PAIUS 

(iAUTHIER-VII.LAUS ET C.'«, ÉDITEURS 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONCITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 
ï5, Quai ries Grands-Aiiguslins, 55 

19-21 



JOIHNAL 



MATHËMATIOUES 



PURES ET APPLIQUÉES. 



Fiuicrailles de M. Georges II uinherf . 
Discours de 31. Camille .lOllDAX. 



La mort ne se lasse pas de frapper rAcadémie des Sciences. Elle 
vient encore de nous enlever un de nos Confrères les plus éininents vl 
les plus aimés. 

Georges Humbert s'est éteint doucement le 23 janvier dernier. 
Celte mort était le dénouement d'une maladie implacable, dont toute 
la tendresse d'une épouse dévouée n'avait pas réussi à arrêter les 
progrès. 

1 1 appartenait à notre Compagnie depuis 1901 . Sa vive intelligence, 
le charme de sa conversation, la droiture de son caractère avaient 
conquis la sympathie de tous ceux qui l'approchaient. 

Chargé par l'Académie de présenter ses condoléances à celh' 
famille en deuil, qu'il me soit permis d'y joindre l'expresMon de la 
douleur personnelle que méfait éprouver la perte d'une vieille amitié. 

Avant de devenir illustre, Humbert avait été mon élève, et j'en étais 
fier à juste titre. Plus lard, il m'a succédé dans les chaires de l'École 
Polytechnique et du Collège de France. Ses leçons pouvaient servir 

Journ. de Val/,. ( ^' série), t. .me IV. - Aiuice igji. I 



2 CAMILLK JOIiPAN. — I LNERAILLES DE M. GEORGES IIIMBEUT. 

de modèle. On y retrou\o les qualités d'élégance et de clarté qui 
distinguent tous ses écrits. 

D'autres peuvent se conlcnler de semer des idées fécondes, laissant 
à d'autres le soin de les faire fructifier. Il était plutôt le moissonneur 
qui récolte à pleines gerbes, bat et met en grange. La liste des pro- 
blèmes qu'il a abordés serait bien longue; il n'en est pourtant aucun 
dont il n'ait donné la solution complète et définitive. 

Les méllicdes de la haute Analyse et celles de la Géométrie lui 
étaient également familières; et, en les maniant habilement, il lui est 
arrivé plus d'une fois de rendre intuitives par des re[)rés('ntations ingé- 
nieuses les propositions les plus ardues de l'Arithmétique. 

Ses travaux sur les surfaces algébriques, sur les applications du 
théorème d'Abel, sur les fonctions continues, resteront des modèles. 
Mais son œuvre capitale est l'étude des transformations singulières 
des fonctions hyperelliptiques et des multiplications complexes aux- 
quelles elles donnent naissance. 

Une maladie grave l'empêchait depuis assez longtemps d'assister 
aux séances de l'Académie; mais elle n'avait pas ralenti son labeur 
scientifique. Il poursuivait avec une sorte de passion des recherches 
sur les formes quadratiques et m'en a entretenu plusieurs fois. Mais 
chaque question résolue en suggérant une autre, il est resté longtemps 
sans en rien publier. Quelques Notes sur ce sujet viennent pourtant 
de paraître dans les Comptes rendus. 

Mais tout porte à croire qu'il était en possession de beaucoup 
d'autres résultats aussi intéressants que ceux qu'il a publiés. Il faut 
espéri'r qu'on en trouvera la trace dans ses papiers. Il serait trop 
tiiste d'avoir à déplorer ici une perte semblable à celle causée par la 
mort d'Halphen, enlevé comme Humbert en plein travail et dans la 
maturité de son génie. 



LKS lOUMIOS l) lIliUMITE ÏK ll.N \J IIKS. 



Sur les formes (V Hcrniilc Icrnnires dans un corps 
([uadrdt'ujue ima>j;iiunrv (('li;iiiij)s \ — i et y — ■■.^); 

Par g. III .^IBEKT. 



Généralités. 



Soit la forme d'Hermile 

(') /(■•'■> /■ î) --= axx^-^ bl^jo-i- b"j\,y 

-+- «'j'/o -t- *oJ'-'o + ''7o - -1- a" ==() + b'„ :-i„ -+- b' z^,x, 

(I, a', «" étant des entiers réels, /*, />„, ... des entiers conjugués du corps 
quadratique y— i ou V — -j ainsi que a;, .r,,. 

La forme /est à\\.ç. primitive lorsque les coellicienls a. ij[. ... n'ont 
aucun diviseur, entier réel, commun. I.,orsque, de plus, a, a', a ne 
sont pas pairs à la fois, la forme est dite proprcnient primitiic. 

Le déterminant 

a b\ b' 

b" a' b, 

. K '' "" 
est appelé (lélcnninanl de la forme. Son développement est 

D— aa'a''+ bb' b" -+- bf,b\J'„ — <i bb^— a' b' b'^~ a b'b[,. 

Si Ton pose 

a .t\+ lj'^j„+\b' Za—\, a x + b" y + b'^z =\„, 

b" j-„ -(- a' yo -(- 6„ So — Y, l>'^ x + a' y + bz = \„, 

//(, .r„ -f- b >-o -t- a" So ~ 7- f>' x -+- b^Y •+- a' z = Zo, 
on a • 

f(x,y,z) = .v\ y\ ,-/ ,^■,.\„^-/„Y„+■;„Z„. 

La forme obtenue en remplavanl dans la forme donnée .i", y, r- 



/[ G. HiMnrnT. 

(et aussi -r^, y„, :■„) par leur valeur en fonclion de X, ^ , Z. X,,, "N „, Z^, 
s'appelle la forme adjointe de la forme f{jc, v, z). 
Son expression esl 



=^ XX(,(a'«' — l>l>i)) 



On désigne par 12 le plus grand commun diviseur (entier ordinaire^ 
des coefficients de l'adjointe; on prend !.J > o si la forme y est définie 
et i2<;o si elle est indéfinie. La forme adjointe peut s'écrire iiF; 
F est appelée la forme réciproque de/. 

Les coefficients de l'adjointe sont 



a 


''o 


b' 


X 


b' 


a' 


bo 


Y 


K 


b 


a" 


Z 


x„ 


v„ 


Zo 






A := a' a'' — b b^, 
A.' =r fl a" — b' i'„, 
A"= (I a' — b" b". 



K'o= bf,b'„ — a"b", 
B'„=blb', — ab'. 
Bo = b' b], — a b. 



Comme on a A'A' — BB„ = Dti, ..., 12- divise Dr/, D'rt'. ..., c'est- 
à-dire divise D. caries coefficicnls de la forme /' n'admcttfiil aucun 
diviseur, entier réel, commun. 

On pose alors 

Lc^ formes /'(jr,v, ;), pour lesquelles 12 et A sont les mêmes, 
forment un ordre. 

Les formes / et F sont définies ou indéfinies en même temps (cela 
résulte des conditions pour qu'une forme soit définie). 

On démontre, comme dans le cas des formes ternaires ordinaires, 
les deux relations fondamentales. 

La première est 

f{x, y,z; ./•„, J„,_r„)/(x', r', :',...) ^ llllo-, l»F(.i- j— j'.r", . . .) 

(la seule différence avec les formes ordinaires est que H- est rem- 
placé par HH„). 

Dans les formes d'Hermilo. il n'y a pas de i^rnrcs, ce qui simplifie 
Ifcaucoui) la théorie. 



LES innMKS II IIKHMITK TEIlNAlRES. 



II. — Mesure du nombre des représentations d'un entier, 
premier a '12A par les formes de l'ordre i'--- A . 

l. Représentations propres. — On passe, comme dans la théorie des 
formes ordinaires, par la représentation d'une forme hinairr. 
Si, dans la forme /'(a*, y, z), on pose 

.1- ^ a'c.. + a'f\, Xo = «0^0 -*- a'o ■'io. 
J = (3; 4- ;3'r/, Jo = (3o?o-*-[3;y)o, 
- — 7; + •/' -fh -0 ^ Vu li> + •/, -lo, 



a oc 

P (3' 

7 y' 



les a, a', ... étant des entiers complexes, tels que les mineurs 
soient premiers entre eux (dans le sens de Gauss), et si 

on dit que/(a-, y, g) représente proprement ç.(H, y]). 
Soit D = n" n\ — miu le déterminant de o(H, "/]); on a 

h=-i)F(,3y'--/3'. ...)■ 

D est donc de la forme D = — il M". 

La représentation de o par y^ dépend de congruences, dont il suffit 
d'écrire celle-ci (inconnues N, No, conjuguées) : 
MNo+Aw^o (iiiodM"). 

Eludions d'abord le cas du champ \ — \- 

On sait, par Ilermilc, que si M" est impair et premier à QA, cas dans 
le(juel nous nous placerons, et si 

M"— /»='/)'='■ 

lo iiomhic (11- solutions de la congruencc est 

M ' I 1 



i'-(^);ii:' ^cF^?\ 



Supposons 12 et A impairs; toutes les formes J sont, dans ce cas, 
proprement primitives. 

On conclut, comme dans la théorie ordinaire, que « la mesure du 
nombre des représentations propres de M", premiers à jUA, par les ■», 



6 G. HUMBERT. i 

proprement primitives, d'un même ordre (il, A ) ( iiA impair ). est 

[11.- o.M") ^ H..-.QM")]-M" [•- (y^) ^] • ■ ■' 

H(— i2M') étant la mesure des classes de formes (positives, pro- 
prement primitives) binaires d'Hermitc, de déterminant — i2M , 
H, la même mesure pour les classes de formes improprement pri- 
mitives ». 

2. Conséquence. — On déduit du théorème précédent l'équation 
y \ z=y — [II(- 9.m) - H,(- ilm)}m W„\x- ( — ^ - 1 ■ 

Au premier membre, 1 porte : 

1° Sur les é proprement primitives de l'ordre (û, A); 
1° Sur les X, y, z, entiers complexes du champ y — i, premiers 
entre eux, rendant '* premier à iQ.\. 

k est le nombre de transformations, à déterminant + i de ? en 
elle-même. 

.\u second membre, X porte sur les m, entiers ordinaires premiers 
à 2l2A; p, y/, . . . sont les facteurs premiers de m. 

Or, d'après une formule de M. Fatou. 

0) désignant les facteurs premiers > i de 12, et, d'autre part, 

11,1 — îi//i) = o »i ilm = \ (inod i), 

Il,(— £2«i) = |ll( 9.in) si ilin = Z (inod^). 

Le second membre s'écrit donc 

-^j //j~ - 8 'L \ 'M) / '.) I 'V p J 

/,„= I ou T, selon que ii/nss i ou 3 (mod4), c'osl-à-dire 



LES FOHMES I) IIKKMlTi: TEIIN A t HKS . 



Prenons tlahoid dans / ,„ le terme ', ; la partie correspondante du 
second incmhie est, on faisant m — f>'p'^ ■ ■ ■ , 

3 8 '■' Z- /j«i<--'//='^-^i V p-J\ p-J 

a. a'.... 

p, p' , . . . parcourent les nombres premiers impairs, i compris : 
pour /j = I , on pose ( i 



P- 
On voit de suite que S est un produit par rapport à p. p' La 

somme des termes qui répondent, pour p, à x = o, \, i, . . ., y- est 

I 






Donc, la première partie du second membre est 



4-_- 

3 8 



I — 



p parcourant tous les nombres premiers réels inqiairs premiers à OA 
Prenons maintenant dans X,„ le terme 

On peut récrire 

La seconde partie du second membre est donc 

_ ' f ^\ I n,., II J . + y _J_ (zLlfi , _ j,y. 

c'est-à-dire, en sommant la progression géométrique, 

(— )^ 
\ P J P' 



~ \\ il 



\ p IF 



8 G. IRMBERT. 

Le second membre total devient 

5. Formule foiildincntale. — Appliquons à la forme'|(H,rj)= :--i-Tj-, 
de déterminant — i. la formule de Dirichlet du champ réel, on a 



(R) 



(ç^+vi^r 



7^) 



Dans le premier membre, i porte sur les nombres ; et r, premiers 
entre eux. tels que 'i'- + r^- soit premier à iQ.\\ dans le deuxième, p est 
premier, ;>i, premier à 2QA. On ne prend dans i" qu'une représen- 
tation par série (c'est-à-dire que si l'on a pris ^, y] on ne prend pas ;'. 
Y)' déduits de ç, v^ par une des transformations de ;■ -F- y]- en elle- 
même). Autrement, il faudrait multiplier le second membre de la 
relation (R) par 4. 

Multiplions membre à membn> la relation obtenue précédemment 
et R ; on obtient au premier membre 



c'est-à-dire, en posant ;- — r,- = 1111^^ 



k S' ( a- u, Y II, : II) 



;/ = ; + Tjj est un entier complexe premier à 1LII; H et q sont pre- 
miers entre eux dans le champ réel (cela exclut ^ entier réel > i 
et Y) = o). Grâce à la convention faite sur l, r,, tout système ç. r, con- 
venable figure une fois et une seule au premier membre, /• désigne 
toujours le nombre des transformations à déterminant -f- i de ? en 
elle-même. 

Le second meiujjre est 



4 
3 8 



^,1 „ Pli 1{::-L\'dn n ''' 

L \ /' / /'' I L p' '-] \ p ' 



I.ES lOltMES D IIERMITE TERNAinES. 

Transformons les termes du produit IT^, : 
I I 



T^e second membre devient, par une transformation connue, 

y _^ y /^^ _L V _L V (nJ.) _j_ 

3 S '" Y _L 3 \ 1> / 8 '■' yf _i_ 

OÙ n, dans les X, parcourt les nombres entiers impairs positifs, pie- 
miers à 2i2A. 

Faisons passer > — - au premier membre: celui-ci devient 
V__ ' , 

■"^ /, J' (/(«./■, nu Vy II II z) 
c'est-à-diie 



'^ k 3'[\, V, Z) 



où X, Y, Z ne sont plus premiers entre eux, mais sont tels qui' 
.?(X, Y, Z) est premier à 2Ù1. 

Par les conventions faites sur H, y]. cliaque système X. Y, Z conve- 
nable ne ligure qu'une fois. 

( )n obtient ainsi l'équation fondamentale : 



yi ' " '" I \ f^ / "j J 



[4^;7^:s(^);:=-(ï)i:,pE(^i„-^;i 



Au premier membre, i porte : 

i" Sur les ,T, proprement primitives de l'ordre (A, ii) ; 
2." Sur les X, Y, Z entiers complexes lois que ■i',(\, \, Z) soit pre- 
mier à 2 as. 

Jouni. de Math. i,S" série), tome 1\ . — Aiiuéc igai. 2 



HIMBEBT. 



Au second membre, w désigne tout facteur premier, impair, > i, 
de il] n, dans les S, parcourt les entiers ordinaires positifs premiers 

à 2 in. 

^. licpréseidation (run rntirr. — En égalant dans les deu\ membres 
de l'équation précédente les coefficients de — ;, on obtient le tlicorème 
suivant: 

La mesure du nombre des représentations, propres ou non, de m. 
positif, premier à 2QA, par les formes i proprement primitin's de 
l'ordre (Çl. A) ((2, A impair), est 

la somme 1, étant étendue aux décompositions m = nn' . 

Application. — Stoh f=^ xx,, -h yy»-^ :■:■„■ On a 
i> = A = i, J=./. 

Il n'y a qu'une classe proprement primitive de l'ordre (i. i ). Pour 
cette classe, X' = 9G. On a, par suite, le théorème : 

Le nombre de décompositions d' un no/nbre impair en une somme de 
six carrés est 

4^-(^)]2-(^)' 

Z étant étendu aux décompositions m = nn'. 

i). Cas de AQ pair. — On démontre que, si_/est proprement pri- 
mitive, elle ne peut représenter proprement des formes binaires impro- 
prement primitives. Supposons donc f et i proprement primitives, 
c'est-à-dire prenons toutes les/, proprement primitives de l'ordre (iiA) 
dont les réciproques §j sont proprement primitives. Il n'y a pas à 
introduire dans la formule les formes improprement primitives, 
binaires, de déterminant — i2M'; on fera donc X„, = i. Il vient 

2à /cp(x,\.z) ~ 8 '" [' "^ \i:r) z J 2à jp^ 2à [ir) tp' 



LKS ronMKs d'iikiimite tkhn\iiu;s. 1 i 

les 0) étant les diviseurs impairs, premiers, > i de il. < )ri en conclut : 

La mesure du nombre des irprésenlalions {propres cl impropres) pur 
les ^ de m impair, premier à 2QA, est 

£ élanl éleiulu aux déeomposi/io/is m = nn . 

Applications. — 1" SoienL 

f^xx^ + yy^+nzi,,, i= 2,r,r„+ 2 vjo+ --0, i2 = i, A = 2. 

Les classes correspondantes sont uniques dans leurs ordres respectifs; 
k == 32 pour/ et, f. On obtient le théorème suivant : 

Le nombre des représentations primitives ou non, de m impair, par 

l'civpressio/i 

2 (xj + x= ) + -2 {xl + a-l) -h Jcl -\- xl 



-'2«-(ï: 



^5^ 



f—i.r.v„+9.yy„^-zz^„ ,f = xx„ + //„+ 2:c„, 12 = 2, A=i. 
On obtient, de la même façon : 
Le nombre des représentations de m impair par 

a;\ + x\ 4- x'I -f- xl + 2 ( J-: + xl ) 



Ces deux tliéorèmes ont été donnés, sans démonstration, par Liou- 
ville {Journal de Mathématiques.! 1'' série, t. 9). 

Il y a une autre forme proprement primitive, du même ordre, non 

équivalente : 

/' = X J-o -H 2 rj'o + .V -o H- Vo s + 2 c ;„. 

La foiine o' = ■?.Yy„ + yz„+ y„z 4- 2Z;„ admet (> aiilomorpliies : 



12 G. HUMBERT. 

/' en admet donc 4 >- 6= 24; / admet 32 automorphies. D'où le 
théorème : 

Soient X„ et i\"„ les nombres des représentations de m, impair, premier 
à 3 par les expressions 

j;.2 _j_ jA _|_ ;.! _^- i'- 4- 3 U^- -^ 3 ,••! 

et 

*""-t- J"+ 2C'--1- 2ZU -r- 2(/'-+ 2 /" -h 2/(' 4- 2c2. 

0/? rt, entre N^ e/ N|„ /a relation 

111. — Représentations d'un entier ( champ y/— a)- 

1. C«.v de Au impair. — Les formes / et ,f ont leur discriminant 
impair, et sont par suite proprement primitives. Le nombre des 
représentations propres par les .? de m positif, premier à -iQl, 
est (m := p'' p"^' . . .) 

[M(ii»M -^ M'il^/«;]/« Ti^ {'—- )- l---- 
Or, par la théorie des formes binaires, on a : 

De même que pour le corps \ — i, 

Au premier mcmljre, x, y, z sont des cnliers, premiers entre eux, 
du corps \ 2, tels que t soit premier à 2121; les ,T"sont les formes (pro- 
prement primitives) d'invariants A. il. La somme du second membre 
porte sur les /?ï premiers à 2 il A. 

Le second membre s'écrit 

-^ '«' - L \ p J ri 
x-i>ii,.,r. + (:^)'- Il . + (— ^ 1-^ L i|,s-( ,^ )|. 



Ij;S lOUMKS I)'lli;UMITK TEHNAIRKS. l3 

La quantité sous le signe ï est 

Four m - i , on a dans celle expression le terme 

M(o,-.M^(ii) ou 5n,..[.-(^)^][8-(ï)] 
que nous mettrons en évidence en écrivant {i ) de la façon suivante : 



2-1 



4-(.-,V),^.-.]-i:ï)h(.-;:,i,^(^H|. 

Sommons les progressions géométriques a = i à te; on a 



pi„ll„, + (^i-- 



\ p ) p' ' 

p parcourt, dansll^,. tous les nombres piemiers impairs, [iremiers à ill. 
On a. d'autre part : 



ou encore 






I 


P' 
I 


24 



^'^ 1(FT^="^ 



/>- 



-(^),-:= 



;-+ JTj- premier à 'jL*A. : et r, piemiers entre eux. 

Multiplions (i ) et (3) membre à membre, en remplaçant le second 



l4 C. IILMBEltT. 

membre de (i ) par (2 ); on trouve 






Co / 0.1 



p' 



')p\ 



5(ir)"»«' 



P' 



-( — )-^ 

V p 1 p' 



u csl un entier du corps 1 \i premier à 2i2A « = H + r/; \ 2. r et t, 
premiers dans le ciiamp réel . 
Le second membre s'écrit 






— 3 \ ' 



n entier quelconque positif, premier à 2iiA. 
Chassant V — , on a 

2 ,,.,., x'v.z) = s "4 ' ■* lï j J I 

X, Y, Z sont des entiers quelconques du corps i\i, tels seulement 
que -:^(X. \, Z) so!t premier à 2i2A; co est un diviseur premier im- 
pair >> 1 de iî, n un entier quelconque, positif, premier à lill. 

1. (as (le ll\ pair. — On démontre, comme pour le corps \ — i 
que \r(LJA) n"a pas à intervenir; il reste (les formes /" et t étant 
proprement primitives) pour la formule fondamentale : 

2 /. j..(v' V, z) = f ""' [' -^ (ir ) z] 2 .h 2 (ï) h- 

.*>. lU-pri'.senlalinns d'un entier. — Dans le cas de QA impair, on 
a le corollaire suivant : 



LES KOUMES I.'lIKIlMITK TKIOMUES. I^ 

/.,■ numbrr total drs représentations de m, entier positif , premier a AiX 
par 1rs i,, une représentation par .t, comptant pour j, est 

|;>L|.M:;)r,||'2<"('^)-(ï)2"'(T)|' 

les sommes étant étendues aux décompositions m = dd\ ou encore 

i. Application. — Soit Q = A = i . 
Les formes ?', sont alors : 

ê,=xœ,^ 2r/o+ (' + N^)^-oy + (■ - n/^)^>'o+ 2=- (/•■.= '.8) 

[car la forme 2VVo 4- (i + ^2) =„J+ (i - 'N 2) --ro+ 2;;,, a 2 i aii- 
tomorphies, on en conclut que ^2 en a 48 J. 
-f , donne des représentations par l'expression 

x'- -H j2 _,_-."- _^- 2 (/'+ M -+<■') , 

.r, y. =, /, «, r étant réels. Soit N, le nombre de ces représentations. 
'Les représentations pour .1 sont de la forme 

ce que l'on peut écrire 

ou encore , - , ..i.z- 

rn = .r^ -h a jj^ + "' + '" + " + ' 

avec la seule condition 

ou o;, impair. 

Soit N, le noml)re de ces représentations. 
La formule du n° 5 donne 



'«.-;N.= [s(^')-']l"'(^V 



l6 G. HLMBERT. 

On en déduit une formule de Liouville, en distinguant différents cas. 
1° /«^^5(inod 8). — N, est le nombre des décompositions 

(i) //( = ,r- + J-+ ;■- -t- /'-H «--+- 2 1-% 

OÙ / et II ont même parité, c'est-à-dire où .r + v4- ; est impair. Or, 
les décompositions (i ) sont de trois espèces : 

1. Celles où i' est pair, a-, •>-, z, t, u impairs. Soit X leur nombre; 

2. Celles où c est pair, un seul des a;... m impair. Soit ^ leur nombre; 

3. Celles où t'est impair, trois des a;... «< impairs. Soit Z leur nombre. 
Quelles sont celles de ces décompositions où a- -\- y -\- z, est impair? 

D'abord, toutes les décompositions 1, en nombre X; parmi les décom- 
positions 2, celles où le carré impair figure parmi les trois premiers; 

3 
leur nombre est •:r\ . 

Parmi les décompositions 3, il faut prendre celles où un ou trois 

carrés iinpairs figurent parmi les trois premiers; leur nombre est — Z. 

On a donc 

Quant à N^, c'est le nombre des décompositions ( i) où .r est impair. 
La relation entre N, et IN^ est 

D'autre part, Y =; - X. Soit, en effet, V le nombre des décompo- 
sitions 2 où le carré impair est le premier; Y':= -■ On a \ = 2Y', 

cardans une décomposition 1 on peut remplacer la somme des (juatic 
carrés impairs qui suivent le premier |)ar une somme de quatre carrés 
pairs, et l'on sait que le nombre des décompositions de 8M -t- \ eu 
quatre carrés impairs est double de celui des décompositions en (jualre 
carrés pairs. On en conclut X = 2 V, et, par suite, \ = i\ . 

(Jn a ainsi Z— .')X. Prenons, en eflel, les décompositions 3 e 
nombre Z', où les liois carrés impairs sont les premiers; Z' — — Z. 



Li:s FOiniES n IIEIIMITK TEHNAIItKS. I7 

S )il une de ces décompositions : 

m - J\ ^ il + /; f m] 4- ra! t- iJl { ii iinpaii-, m, \yd\\). 
Puisque /;/ ~~ 5 ( mod 8) il faut (juc 

cj, ^ ■'. /;,. m, r:= 2//.J, avec /'i-f- «_> pair. 
Mors, 

"' ~./ I ^.l\ + .il + '- ( "i -I- "2 )■ '- 2 ( /(, - «2 )' -^ a./; 
ou 

"' "-"-7"! -rji -+-./; — ("1 — "i^-.i . )' + I "1 - iii—J:)"'— s(«i — "^ '. 

Ce qui est une décomposition I. Une /' donne ainsi deux décom- 
positions 1. D'où 

X = 2Z' et Xr^^Z. 

Il y a ainsi entre \, Y, Z, N,, N.j cinti relations qui permettent de 
déterminer ces quantités. 
< )n trouve 

^=i2"-(^)^ '-'i^<^y '-^ï^'W^^v 

d'où 

On a donc le théorème : 

/.!■ nombre <les (Irroiiipnsitidiis de /// (li^ '> niod 8) en 
m rr: /( - + y- -4- J-- +<-+«-+ 2 c- 

T^'K"^) ('-.ville)." 

2" /«^^ 7 (mod 8). — Même démonstration et mêmes formules. 
Soient : 

X le nombre des décompositions (i) où c est impair, x...ii impairs ; 
Y le nombre des décompositions (i) où v est impair, un seul des .v...u 

impair; 
/ le nombre des décompositions ( i)où eest pair, deux des .»-... k pairs, 

trois impairs. 



Journ. de Math. (S- série), lunie l\ . — Année 19! 



,5 



if^ G. III.MDEHÏ. 

On a les mêmes itlulions entre les N et les X, '^ . Z. 

D'où le lliéorème : 

Le nombre des (fécomposilionx (h- m e^ 5 ou 7 (niocl 8) en 

1)1 =^ ii--i- y- -+- .^■- 4- 2 ( /■ ■-(- II- - 1-- ) 
rx' 

3** />:^^i (moclS). — On considère les déconi|o?ilions 

m z- II] -^ . . . -r- -^l -r- 2 1'- 

el le? divise en : 

a. r pair; un des a-, impairs, quatre pairs (en nombre X) ; 
II. f impair, trois des r, impairs, deux pairs (^cn nomlirc 'i 1. 

Il \ ienl 

3 . , 4 X 3 . , 2 . . 



''.-yl'<-{^) 



En êliminanl X, el N., ou oblienl : 

/.(' nombre </e\ i/erompo.'iilio/is de m i (rnod 8) en 

m =; II- -f- ) - +./•'+ i- + II- -i- 2c- 
est 



io^(l-{-^\ (Liouvilk-) 



4° /n^3(mod8). — Môme démonslralion et même résultai. 
On établit ainsi la formule de Liouvillc : 

I-e nombre dex repréxi-ntationx de m. impair, par 

7» = ;i' -I- V' + a-' -H <' -t «' + 2 1- 

exl èiidl à 

n.'«-(ï)]2"'(^-)' 

/a xomme porta iil sur lex dècomposilionx m = ^0. 



LES FOHMKS ij'lIIÎininiC ïEIiNMIlKS. IQ 

1\ . - Mesure des classes proprement primitives ternaires, 
d'invariants li. A. 

1 Traitons d'abord le cas du corps s=V, el supposons, pou;- 
l'instant, OA impair. Soient /.V'., ... des représentations des classes 
proprement primitives (positives) ternaires, d'invariants i2, A (une 
par classe), -f,, h, • • • 'ours réciproques. Les 5, sont proprement pri- 
mitives, car leur délern.iiiant \-iï est impair. 

On désignera ici par : 
to, tout (acteur premier, impair. > i de 12 ne divisant pas .\; 
/• tout facteur premier, impair, > i de il divisant A; 
a, tout l'acteur prender, impair, > i de A ne divisant pas 12. 

Partons de l'équation fondamentale, que Ton peut écrire 



Posons s - 3 4- c, n.ultiplions les deux membres de l'équation par c 
et chercbons leurs' limites, quand p tend vers zéro, par valeurs pos,- 
tives (décroissantes). 

; ,/.. . l'iinc 1(> pr'orliot. la hinilc du 

2. Li/ni/r (lu sccoiiil iin'inhrr. - uans le cioculi. 



est zéro. Cette limite est, en elTcl, celle de 

cl la limilc inJi.iucc osl mille. J'ap"* l>incl.lol, oar ^ (^-^) ; est 
une (jtiantité finie. 



20 ',. IllMniiKT. 

La limite du second membre est donc 



V ( -'] ' ?('^---^\ 



iîA 



car, d'après Dirichlet. la liiiiile de p ^ —^i^ où n parcourt les entiers 
positifs premiers à liîA est ^ "" • Dans ^ ( j — i /( parcourt ces 



mêmes entiers. D'ailleurs, 

ï^ = l„,.,^,-l)„„(,-ljn.(,-l). 

L'expression de ^ ( | — ^ a été donnée par Caucli y et Sle[)lien 

Smith. Poscnis 

(J = ll„,o,II,/ njô. 

Le nombi'e de décomposition do ()- en sommes de 7 carres est 

T. ■— i^ n j n^ 

n parcourant les entiers premiers à 2(^). c'est-à-dire à lill. 
D'autre part (Sinrii, t. I, p. :")2i ), on a 



d'où 



V=:u.„4,-(^^-L]n,|,-,:^|l]Me|,-(^;,l]x,, 



(iette formule peut être établie autrement. 

Smitli (I. I, p. 517) calcule V ( ) — -. m parcourant les (.■ntien 

posilif.s premiers à 2D. 

l'osons 

^ ~"2 \~i7^)iir^ "" 1'"-'!'' i"«"'i''''-» 'Oi'i 

et 

I' l>|\- I \ - |>liis yiiunl cair.' ili\lsanl D). 



LKS FOnMKS D MKItMlTF. ÏEB.N AIIIES. 21 

On a 

y(zi^)_L^.viiJ, (^')^|, 

^ \ III I m' ' \ 'I j y J 

y désignant un facteur premier, impair, > i de \ . 

Faisons 

I) = US (j = II,,, II, ne; 

on a 
de plus, 

Zd \ m ) 7i? "2^ \ ~) 7? ' 

Il parcourant les entiers premiers à ailA. 

V est égal à V ( — - ) — -, où m' est un entier positif, impair, quel- 



comiue; un sait nue \ = ^' d'où 

La limite linale du second membre est donc 

ê:^ [-(^)iK-i)['-mi]'M-5)i:-(^)^i 

-"■[-(^)7.]|'--:i['-i^)^l- 

5. Liniitr ilii preinicr mciiihic — La limite des termes provenant 
de i , sera -r lim — pour / = ce, où T est le nombre des 

Or, ;fy(j', JK, =) devant être premier à aiiA, il faut donner à \. 
Y, Z les valeurs complexes 

ciimpriscs dans un certain nombie N de séries (c'est-à-dire qu il y a 
N systèmes x, [i, y). Q est toujours 11,,,, M,, 1I«. 



22 G. IIIMGKUT. 

Pour les X. V, Z d'une série posons 

X ai 

3T sera liois l'ois le volume \ de Tellipsoïde ?(■'■. v, ;V^i. divisé 

par le volume de la maille, qui esl ( ^ \ • Ainsi 

\ V ' / 

..p 3V , 3T '3V 

D'ailleurs. V se calculerait aiséiiieiil; il vaut mieux le prévoir 
a priori. Prenons la toiiue 

3 = XX ç, -h A ) )\, -i- liA zz„, 

réciproque de 

/.= i>Ax,r„+I>,)-.r„+:;o, 

d'invariants il ol \. Le voluii]e de la sphère 

X;-+-. . . + X* = rt= 

— 3 

est -yr-a'; poui' lellipsoïdc 

XX a 4- A 1 J'„ -(- 1 >A ----„—!. 
ce sera 

La limile du pieuii M' membre est donc 
I \ 3 -' 



ou 

et tout revient à calculer \. 

4. Calcul di' \. — On établit, comme pour lis lormes ternaires 
réelles, que j, d'invariants A, 12. vérilie la congruencc 

(-) -T ^ 3<.<.i„+ iAjj)„+ yliA;c„ imodTiiAV 



i,i:s loiiMis ii'iiiciiMiTi-: ïi;ii.\AiiiF.s. 2'} 

où a, 3. V sont Ifois cnliei? ordinaires vérifiant 



a jv = 1 



(inod2liA). 



Au premier membre, .7 est ^.l•^y, z), et la congruence a lieu quels 
que soient ./■, >', r du corps \ — i , les mêmes dans les deux membres. 

Il faut éludier dans quels cas (c'est-à-dire pour quels x, y, z) i est 
pi'emier à 2i2A, c'est-à-dire aux l'aeleuis /•, 0, oj. a. 

i" Pour que f soit premier à /•. il faut et il sultil, d'après (c), 
que xx„ soit premier à /•, y et r étant ipielconques. Or, la congruence 

XX„ -i^ 1 , 2, . . . , ( /■ — Il ( 1110(1 /■ ) 

a, quel (|iie soit le second membie clioi>i, 

/■ — ( — ;— J solulions ( Ileimile). 

On a donc 

( /■ — 1) '■ — ( ) solutions ( mod /■), 

poui' X, Y et ; étant d'ailleurs quelconques, y et ; peuvent prendre 
cbacun (modr) un nombre de valeurs égal à ;•- ; donc, le nombre 
des systèmes de valeurs de x, y, z (mod/-) tels que -7 soit pieinier à r 
est 



.n,-.)[.-(':^)], 



2" Même résultat avec 0; pour que i soit premiei- à 0, il faut donnei 
à X {y et z étant quelconques) 

I \ I 
- 1 valeiii-s ( mod 0). 

De même que précédemment, le nombi-e des systèmes de valeurs 
de a\ r, - (mod 0), tels que -f soit premier à 0. est 

3" Poui' que i soit premier à co. distinguons deux cas : 



o/, G. II L' M lit: UT. 

a. Supposons7v„^o(iaod co). Combien cela donne-t-il de valeurs 
(inod w) pour V? 

Le nombre total des valeurs de v (mod w). puisque y = k, + iy. 
eslco'^; le nombre des valeurs de r (tiiod w^ telles quei^'o^s o (mod (o^i 
est (d'après i° ) 

,..,.„|;.„-(^)]. 

Donc, le nombre des valeurs cherchées de a- (^mod (o) est 

)• ayant une de ces valeurs, pour que .7 soit premier à w, il faut donner 
à X un nombre de valeurs égal, par ce qui précède, à 



["-(^'l 



( 0) — I ) 0) — 

Combinant ces valeurs de x et de \-, et donnant à ; une valeur quel- 
conque (mod w). on Irouve ainsi, pour ,/•, \-, r, un nombre do systèmes 
égal à 
(.') .3^(.._o[o,-(-^)]j.[,^(::;^)J (-=^i;. 

h. Supposons _v/o=^o (modco). Cela donne, ])Our y (mod w), un 
nombre de valeurs égal à (co — i) co — ( - — I ii;ir i". 
D'autre part, la conoruence 

a 3!„ -t- p A y y =0 (m od oj ) 



a. en v;, 



(^) ^"'"''""- 



( IlerTiiiloI ; 



I inconiiiuence 

«x.r„ + (3 A_y/„ ^ o ( mod '.. ) 

en a donc un nombre égal à co- — (o -+- |-; — ) • 

On Irouve ainsi, en lenant compte de r, qui est (juclcompie, un 



IJ;S l'OHMES 1) HERMITE TEIOAIHES. 

nombre de systèmes a\ y. : (niod w) égal à 
La somme de ( (-/ ) cl {^(o" ) est 



V 



-< I 



Tel est le nombre des systèmes .r, y, z (modoj) pour lesquels ,T est 
premier à oj. 

4° Reste le l'acteur 2. Puisque a, ^, y sont impairs, pour que -T soit 
impair, il faut et il suffit que xx^-h yy„ + rr„ le soit, d"où 3-2 sys- 
tèmes X. y, z (mod ■>.). 

il résulte de là que le nombre des systèmes r, y, z (mod 2<J j. tels 
que cf soit premier à '-ii^, est 

.\ — 32ll„, 0^(0, - l)(oj^— l) 

X II5 âHo - .) 1^0 - (^) I 11,. /•■•('■ -■ >) ['• - {^j] • 

o. Expression de la mesure. — En remplaçant N par sa valeur, 
on obtient pour la limite du premier membre : 

X \\lO'(o-^) [0-/1^)1 Il,/-i(/--i) |/- f^-)]- 

D'ailleurs, 

Q = 1F„/., Il,/ lljo. 

l'égalant à la limite du second membre on trouve, tous calculs laits. 

02 ^-' I - ^" / '■' Il V / o-' I I V /•'/■■' I I \ r 1 r\ 



' I I \ r r \ 

(_)n a ainsi l'expression de la mesure de l'ensemble des classes pro- 

Jutiin. lie Math. (»' st-rio). tnriie l\ . — \iinéo lyii. 4 



26 G. IRMIîKRT. 

premenl primitives, positives. d'Hermite (corps \ — i) d'invariants 
QA impairs : 

M(i>, A) = 4"'-^'H-['-^(— ^)- -+- -^ I 

^ ' 96 L \ 'j / '') ''1' I 

"I \ ' o'j I \ /■ / r\\ \ \ r, / /■ J 

co, l'acteur premier (impaii) > i de il, ne divisant pas A; 
0, facteur premier (impair) > i de A. ne divisant pas il; 
r, facteur premier (impair) > i , commun à O et à A. 

On remarque que M{Q, A) = M(A, û), ce qui était évident, a 
prioii. 

6. Vrrificalions. — 1° O = A = r . On trouve 

M(£>.A)r=-^- 
^ gh 

La classe xx^-^-yVa-^ -^0 admet un nomlire d'automorphies égal 
à 4-4-I-2.3 = 96. 

C'est la seule classe (i, i). 
2° O = I . A = 3. On trouve 



M(t,3)=: 4 I 



9_ _ _ 

On a les deux classes 



.r.r„-(- vv„-l-3c;o (/,=:32), 

xx^ + 2 jjt, -t- j)-;„ + j„ = + 2 ;c„ ( /. = 9.4 ) 



et 

Sa v'! 96 



7. Can (le iiA pair. — Les calculs sont analogues. On a. au second 

membre de lu formule initiale, au lieu de -V' c'est-à-dire de -• le fac- 

i| Il 

teur 7T) en vertu de l'expression obtenue plus haut dans le cas il\ jiair. 

Donc, la loimule ci-dessus subsiste, mais avec ^^r ou — ^ au lieu 

i,9'> ' ''^ 

de -7. au second membre. 
96 



LES FOIIMES I) IIKUMITE TEUNAIHE?' 

VérijhaltDhs : 



9.-.\. A — 2. M(i, ->.) — 



^■x 



La classe x'.r,, + /r„ -}- 2;;,, a 32 autoiiioiphies. (i'esl donc la seule 
classe (i, 2). 

On a les deux classes 

xx„ + 2 r )•(, + .( zz„ ( /•' = l 'J ). 

2.z-.ro+ a.vju-t- (1 + t)j';„4- (1 — i)yz„-\- o;;„ ( /. = ili) 

(le nombre des autoniorphies de 

2. )•)•„+ (1 -+- /)j;„-t- (1 - 0.'-o+ 3c;„ 

est en effel A' = 4 ). 
D'où la conclusion : 

« Le nombre de représentations de 2 m (/n impair) par 

2 m =,v| ■^jl + ■4'' î + i-' 2 + i-ï -t- i -2 ('"'1 ^1 -i- -2 est pair) 

et 

2 1)1 — rl-h )l-h li.i i i- .\u-'i + l\:'i-{- \z-i (où ;, + ij e&l iiiipaii ), 

c'est-à-dire le nombre total des représentations 

2/)i = r; +J ii -i- 4>i"ï + 4 -''a + -i -m "*" 1 'h 

est 

étendu aux déccimposilions /// = de. » 

Cette l'ormule est connue (démonstration par le développement 
der/;0;). 

8. ('i>ins v/— 2. — Le calcul de ^ | — ^)— ;> où // parcourt les 
nombres impairs, est donné par une formule de Stoplu'n Sniitli (t. 1, 
p. 5 1 S ). On trouve 



28 G. HUMUEUT. 

La formule de la mesure, dans le corps i \:i, pour les formes d'Her- 
mite ternaires, positives, proprement primitives, d'invariants il et A 
impairs, premiers entre eux, est 



q ! 'I 



y étant un facteur premier, positif, > i de ill. 

\). Remarque. — La formule M(_i2, A) est plus simple pour les 
formes d'Hermite que pour les formes ternaires du champ réel; cela 
tient à ce qu'il n'y a pas de i^enres pour les formes d'Hermite. 



\ . - Mesure des classes, primitives ou non, mais propres, 
positives, de déterminant donné. 

1. Mesure des classes propreme/it printilives de dèleriniiianl 
donné. — Supposons donné, au lieu des invariants 12 cl A, le détermi- 
nant D(= ii'A), et D impair. 

Considérons toutes les décompositions 

l» = l>-A. 

Pour l'une d'elles, les cj, o, /• sont les facteurs premiers (^ -i) de D; 
appelons-les p. Appelons toujours /• les facteurs premiers ]> i com- 
muns à il et A; nous avons 

V i> ) /' 

Souimons pour toutes les décompositions D = i2-A; il vient 

q6M(rji = t)MI„V ' ii; j , , f - -' ) ! I. 

' Jt^ 12- I \ /• /■ I 

( )i-. soient 

I» --/>='//'-'.. ., i.î= pff/f . . ., A = />* -'. . . 



LIS FORMES d'hEHMITK TEHNAIHES. 2<) 

Le facteur p est commun à £2 et A si c > o et a - 20 > o; il ne l'est 
pas si p = ou si 2 p = y.. 

Calculons la somme ^, en distinguant les cas de a impair et v. pair. 
i" y. impair; 2p ne peut être a; on a donc 

y. 1 

Alor.-i. dans ,',, il,, on a, provenant du facteur/*, les termes 

On voit aisément que y est un produit étendu aux facteurs /v,//, .... 

Si 7. est impair, le terme du produit qui répond à p est la somme des 
(juantités (i), c'est-à-dire 



L V p J I' 



7-\ 

I — ) - - -. 

\ l> I l> P- 

\ /' / /' ^ /' / 

2" y. [)air : 



c'esl-ii-diie 



' — r \ I 1 

- ; . .. „. 



= 0, I, 



d'où, dans f|. Il,, provenant de /?, les termes 



r \ \ v ' /' 



de somme 

I I 

fj- /,^ 



V /' / /' ! 



3o 


G. HVMBERT. 










ou 












1 I 

I p- /J^ 


... ■ - 


V, /' / p 


p- 


[T 


■1,;^. 


■ "" -^? 




■ 


-{t 


'n 




On a donc ainsi 












nfiMi Di — l»-II., - 


-^n^)p--{ 


/' ' p 


p- 


1 

-"%'• 


> 

'/ 



•/; étant i si a est impair, et (— ) si y. est pair; donc, en général. 
r, = ( — I et finalement 

9.3.MiD,:^i>-^n„ '~^^^'^"^, r.-fiii) ^ ^- ^ - ^.l'i^y"! 

y " r _ /^i\ iv L \ p .1 p /'- /'^^ V /^ J 

( 1) ^ p^p"^ . . . ; I > liii])air i. 

formule assez compliquée, qui donne la mesure de Tenscmblc des 
classes ternaires d'Hermite, positives, proprement primitives, do 
déterminant D, impair. 

2. Passage aux classes pri/fiiti\ es on non. — Soit (a, a' , a", ...) 
une réduite proprement primitive (une léduile par classe) ternaire 
de déterminant 

aa' a" — .... iiiijiuir. 

.Soit /. le nombre de ses automorpliies: nous aurons ia relation fon- 
damentale ( déduite de la mesure) 

.Vu i^remior membre, y s'étend à toutes les réduites (//, à . a", . . .) 

ternaires d'Hermite, positives, pro|)rcmcnt primitives, dos détermi- 
nants (aa'a' -f-.. .) impairs; A est le nombre d'autoniorpliies de la 



I.KS lOltMKS II IIKHMIIIC TEIINMHES. 



réfliiile {<i.^ a\ d" , . . . ); au second membre, ^ s'élend à tons les entiers 

positifs impairs I), et 1) = !>''' l'"' • ■ ■• 

Remplaçons au second membre D y>hv /f p'^'. . ., on voit de suite que 
ce second membre est un produit étendu aux nombres premiers Im- 
pairs p, p' et (jiie le facteur qui répond à p est 

■ (")^ r .• X ' a.., 

4'/'°"'^'' I , ( _i') il' I- \ p ) p ' p'- p"-"\ p ' I 

L \ p . p\ 

Sommant les progressions géométriques, on trouve pour ce faclei r 

• I \ I I 



'\ 1 - L \ p ' p /'' I , _ . 



'■ /' / '' i /— 

I , _/-' \ ' V /' ■ P 

et, tous calculs fails, 



P J p\ P' 



P' 

/' ' /' I \ /' / P 



I I 

^ r 

P' PI 



I-,' = II-(t),-^] 

On a ainsi 



''*'2 A (««'«' + .., y-""' 



'-^ 



Le second membre s'écrit, n parcourant les entiers positifs Impairs. 



^ I ^ /;»• Xd II' - .Md \ Il ' II' 
Z-à II" 



ChassanI — - on oblienl la relation 



**' 2d /, [ A A' A " + ...]■' ^ »' ^ "'■ ' ^ V " / "~ ' " 



^2 O. IIUMDEItT. 

Au premier membre, V s'étend à toutes les réduites ternaires 
(A, A', A". .. .) posilives d'Hermilc (des déterminants A A' A"4- .. .) 
primitives ou non, mais propres, c'est-à-dire que AA' A " ne sont pas 
pairsàlafois;/i est le nombre d'au toniorphies de la réduite (A, A'. fV ",.••) • 
Au second membre, it parcourt, dansles^, les enliers positifs impairs. 

5. Mesure des classes primilives ou non. — l']galanl dans les deux 
membres les coefficients de |— . on a la formule suivante : 

« La mesure des classes d'Hermite ternaires, positives, primitives 
oïl non, mais propres, de déterminant D donné, impair, est 

la V s'élendant aux décompositions 1) = d d' d' ou 

S s'étend aux diviseurs (/ de D, et "(.(«) désigne la somme des carrés 
des diviseurs de n. » 

< )n peut écrire aussi 

I > impair, /i impair quelconque ( positifs). 

Pour les classes binaires, avec les mêmes notations, on a trouvé 



^ D-- ~ 8 .^ «•'-' Z4\ /i J /,< 
Zd |)< ' ~ %Zd „■'-- Zd\ n /(- 



On en conclut : 
la somme étant étendue aux diviseurs tf de |). 



LES FORMES n'iIERMITE TERNAIRES. 33 

\l. — Évaluation arithmétique du volume du domaine 
de réduction ternaire (corps \'— i). 

Reprenons la foniuile 

y ^ = _L V _L y • y (^) _i_. 

^ /, [ A A' A " -r-... y 96 — - n' ^ n'-^ ^\ n J «'-' 

Au premier membre, laV s'étend à toates les réduites positives ter- 
naires d'Hermite, de l'ordre propre (A, A', A", . . .) des déterminants 
AA'A"-f-... impairs; A" est le nombre d'autoinorphies de la réduite 
(A, A', A", .. .) (une seule réduite par classe). Vu second membre, 
n est un nombre positif impair quelconque. 

Faisons * = 3 + p, multiplions par p et faisons tendre p vers zéro 
par valeurs positives décroissantes. 

La limite du second membre est 



(S2é ,1^ 2d \ n ! n- 2 



96 

Cherchons la limite du premier membre. 

Nous prendrons seulement les termes où /» = i ; nous verrons 
ensuite que les autres n'ont effectivement pas à intervenir. 
Les inégalités de réduction sont 

Fy(A,A'.A",...)<o: 

elles sont linéaires et homogènes en A, A', A"; B,, B.. . . . ; en posant 
H = H|-h/B, el A 10, \'lo, \"lo. 

Les A, B prennent au premier membre toutes les valeurs entières 

réelles vérifiant 

F, o, A.A'.A'^o. 

A, A', A" non pairs à la fois, et A A' A ' H-. . . impairs. 

Cherchons combien il y a de systèmes de valeurs ^^^moda^ des A. B 
vérifiant ces deux dernières conditions. 

Jottrn. de Math. (8* série), toiiic IV. — Année njii, -^ 



34 G. HUMBERT. 

Le déterminant est 

AA'A'-(-Bb'B'-t-B„B„P.; — ABB„— A'B'B„— A"B"B;. 

Sa parité est celle de 

AA'A' — A( Bi.+ B- ) - A'(B;' + B'/) - A'CBV -+- B;* ). 

Distinguons différents cas : 

a. A, A', A" impairs. — Il faut B, -t- B^^ B, -i- B^ + B'j + B^ pair. 
D'où, pour les B, 32 systèmes (mod 2). 

h. A pair, A', V" impairs. — Il faut B, + B, -t- B, + B'!, impair. 

D'où, pour B|, B! ,8 systèmes (mod 2), 2 pour les B,, 2 pour 

les B., en tout 32. 

c. B' pair, A, A" impairs. — On trouve de même 32 systèmes pour 
les B. 

d. A' pair, A', A " impairs. — On trouve de même 32 systèmes 
pour les B. 

c A impair, A', A" pairs. — 11 faut B,-!- Bi; impair; d'où 2 sys- 
tèmes (mod 2) pour B, et B^; lesB',, . .., B^ étant quelconques (mod 2). 
Cela fait 2.2* =^ 32 systèmes pour les B, . . ., B". 

f. A' impair, A', A" pairs. — Môme résultat. 

g. A" impair. A, A' pairs. — Même résultat. 

Eli tout, on obtient 32 x 7 systèmes (mod2) pour les A, B". 

Prenons un de ces systèmes; on a 

A = a-l-aa, Bj = ^j 4- aè,, 

les a, ^i", étant fixes, les a, . . ., h\ entiers réels quelconques. 

La limite delà somme des termes correspondants du premier membre 

3T 
est celle, pour / = 3c de — > où T est le nombre des AA'A"-+-. . . qui 

sont<\/7. 
Posons 

A a o-a 

y~i ifi i/i 

On aura 

l'y (il 11' n", li|, . . ., b^ )5o, 

ott'd" 1; o, 
na'ii"-|- bb'b" -H. . . -H irb"b'' 1 1 



LES foumes n iiermite teiinaires. jj 

et limite 

3T_ 2V 
l 2' ' 
où 

\' ^ 1 f/a t/a' . . .db'^^ 

rintégralo étant étendue au volume défini par 

Fy [ n. 11'. . . . I £ o (a : o, a' ^ o, a" ^ o ), 
a d' " + . . . ^ I . 

La limite totale du premier membre est donc 

, 3V 

Egalant à celle du second membre, nous avons 

7.32^^ = —.- >^— > — ; 

d'où 

4.63^ «'^ \ n J n- 
II, dans les 7 , parcourant les entiers positifs impairs. 

Nota. — Les termes où /i\> 1 correspondent à des réduites dont le 
point représentatif (A, A', . . ., B".) est, dans l'espace à 9 dimensions, 
sur une face (ou une arête) du volume A . Donc, il n'y a pas lieu d'en 
tenir compte dans le calcul de V. 

Remarque. — Si l'on désigne par A le volume de réduction de 
l'espace à i) dimensions des formes ternaires positives d'Hermite, 
c'est-à-dire la région de l'espace où est le point (a, a' , n", . . ., h".,), la 
réduite étant {a, a', a", . . ., //, \ ê\. est un volume conique ayant l'ori- 
gine pour sommet. Dans A, on prend la région où sont les points 
(a, a, ..., //, ) qui répondent aux réduites de déterminant i i ; le 
volume de cette région est V. 



TRANSFORMATIONS OF SUHFACKS APPLICABLE TO A QUADHIC. 3" 

Trdiisfofivatioiis of sur/'accs applicable ta a rpiadric; 
By LLTIIER PFAULER EISEAHAUT ^Prixcetox). 



If a conjugale syslem of curves, or net, N on a surface S and a 
congruence G of straight lines are so rclated lliat llie developablos 
of G meel S in N. the net and congruence are said lo be conjuLcalc. 
Two nets conjugale lo the same congruence are said to be in llie 
relation of a Iransfonnation T, if the nets are not parallel. In a 
previous paper (') the author developed a gênerai theory of transfor- 
mations T. When two surfaces S and S are applicable, there is a 
unique net on S which remains a net as S is deformed into S; we call 
il the prrinanent net on S for the déformation. Let N and N dénote 
thèse nets. Pelerson (-) showed ihat if a net iN' parallel to !N is know n. 
a net \' parallel to N can be found by (juadraturcs such that ^'and iN' 
are applicable. In a former paper (') the author showed that when 
two such parallel nets N' and \' arc known, two ncw applicable nets 
N, and N, can be found by a quadrature such that N, and N, are T 
Iransforms of N and N respeclively. Subsequently (') the author 
applied thèse results to the case where N is a permanent net in a 

{') Transaclions of llie Amer. Malh. Soc., vol. X\'I11. 1917, p. g--i:>.^. — 
This paper will bu referred lo as jy,. 

(') Uehcr Ciirven iind Fliichen (Moskaii ami Lelpzi;;), 1SG8, p. 106. 

(^) Transaclions of ihc Amer. Math. Soc, vol. XIX, 1918, p. i(>7-i85. — 
Tliis pa|)er will be referred lo as J/o. 

(*) 7 ransaclions of the Amer. Malh. Soc, vol. X\, 1919, p- 3j3-338. — 
This paper will be referred lo as J/j. 



38 LUTHER PFAHLER EISENHART. 

déformation of a quadric. and by making use of the iheory of ortho- 
gonal nets in higher spaces estabiished the following theorems : 

Theorem I. — 7/ in i.s a net applicable lo a net N on a quadric Q, 
thcre exist an infinity of sets of ^- T Iransforms N, of l\' wJiicli are 
applicable to nets on Q ; thèse transfornis are conjugate to ao^ 
congruences G ; their détermination requires the solution of a com- 
pletely inlegrable System of eiglit équations. 

Theorem II. — If iN is a net applicable to a net N on a central 
quadric Q, not of révolution., there can be found by the solution of 
a Riccati équation and quadratures three familles each of ■x.^ 
T transforms N, applicable to nets on Q ; the transforms of each 
family are conjugate to oc' congruence G, there being oc' trans- 
forms conjugate to each congruence G ; the Unes of the con- 
gruences G through a point of N form a quadric cône; the tangent 
planes at points of a Une of G to the nets iN , conjugate to it envelop 
a quadric cône and the points on Q corresponding to thèse points of 
the nets N, on a Une ofG lie on a conic. 

Theorem III. — // iN, and ^., are transforms ofa net N appli- 
cable to a net iN on a quadric Q by means of transformations 
T;^ and T^^ (/îr, f^nk-,)^ there can be found witJioul quadratures a 
net [\,2 applicable to a net IN,^ on Q which is in the relations of 
transformations T^^ and T'^^ with N, and N^ respectively. 

It was pointed ont that when Q is a central quadric, the transfor- 
mations T^ of N are the transformations discovered by Guichard (') 
in an entirely difîerent manner. However, this melhod did not reveal 
the relations belween the nets on Q. 

In the first part of the présent paper we eslal)lish Theorems I and II 
by a melhod différent from that used in ihe former papor. Thus in t| 4 
we détermine the transformations T;;. of a permanent net M on a 

(') Mémoire sur la déformation des quadriques {Mémoires de l' Académie 
des Sciences, vol. XXXIV, 1909). 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A OL'ADRIC. 3ç) 

quadric into permanents nets N, on ihe same quadric. and in § iî 
show thatwlicn such a transformation is knowii tlieie follows direclly 
a transformation T^ of N applicable to N into N, applicable lo N,. 
Tliese resulls are developed for ail types of quadrics. 

In another paper read before the Strasbourg Congress (') it was 
slioAvii that certain pairs of solutions of the point équation of an R 

/\ .^ , 

net N détermine a new net N such that N and N lie on the focal sheets 

of a W congruence; in this case vve called ^ a W transfoim of iN. 
In § 5 it is shown that a net IN applicable to a net jN on a quadric is 
an R net, and in §§ 6, 7 that certain pairs of functions determining 
two T^ transforms of N détermine also a W transform of N into a net 
applicable to a net on the given cpiadric. Thèse transformations are 
in fact the transformations B/;, discovered by Bianchi (-). Fui thcrmore 
it is established in t^ 8 lliat the transformations T^- and B;i are permu- 
table, that is, if .\, and N are respectively T^ and B^ transforms .\. 

there can be found a net N, Avhich is a T^^ transform of I\ and a B^ 
transform of N,. 

In t; 9 it is shown that the transformations '\\ are permutable also 
with the transformations II of Bianchi ('). 

1. Transfurinalions T of applicable nets. — If ÏN is a net. tlif 
cartcsian coordinatcs, .r, /, :;, of the net satisfy an équation of the 
form 

0^9 _ d\noa dd ô\o^h dQ 
^ ' du dv di' du du (Jr 

A net ?S' is said to be parallel to N uheii its tangents arc parallel to 
ihe corresponding tangents to N. If ./', y', z' are the coordinatcs 

(') Conjugale nets R and Ihuir iransformaliont (Annals of Malhematics, 
ser. ■>, vol. XXII, 1921); also an abslracl iii the proceediiigs of tlie Congress. — 
This paper will be referred lo as M,. 

(») Lezioni di gcoinelria di[fercnzialc, vol. 111. — This book will be referred 
to as B. 

{') li-, ]). ■'-■4. 



4o LUTHER PFAHLER EISENHART. 

ofN', U.ril 



(2) 



du Oi( du Ou du du 

d-r' ').;■ dr' .dy J;' _ i^^ 

dv dv ' dv di- ' (Je à^' 



where li and / are a pair of solutions of 

"• ' d<' dv du du 

Conversely, every pair of solutions of (3) détermines a parallel 
net N'. 

We call équation (i) ihe poi/il équation of i\. The coordinales 
of N' satisfy a similar équation. Moreover, to each solution of (i) 
lliere coi-rrsponds a solution ô' of tlie point équation of M'. It is 
determined by 

dB' , ÔB d6' _,d9 

^'^ àij-''d7r -di^-'d^'- 

If and 0' are any pair of corresponding solutions of the point 
équations of N and N'. the functions a;,, y,, ^,, defined by équations 
of the form 

( 5 ) X, = X — ^, .r' 

are the cartesian coordinates of a nat iN, which is a T transform of N. 
Conversely, the most gênerai transformation T is defined in this 
way ('). By means of the above formulas we establish the following 
relations : 

(J àx^ __ B d.r 



du \0') du • 
(6) ' 
^ ' ' dr, 9_ilr 

"^' fl'^ i ^\ ^^ ~'^ '!î '^'■' 

dv \0') dv 



(') ^1- P- '09. 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICAHI.E TO A QUADRIC. Zj I 

Coiiscquciilly tlio laiigents lo tlie curves (> = coiist. or m = consl. al 
correspondiiij; points of N and N, meet in ihe points, P, or P., whose 
coordinatcs are of ihe ahove forms. If \\(s takc anotlif-r transforma- 
tion 'I' given by (5) vvilli replacod by anothcr solution 0, of (i), 
vvo find that tlie tangent plane to the transform meels ihc corrcs- 
ponding tangent planes to N and N, in the point wliose coordinates 
^, r,, C are of the for m 



(G') ? = 



dv du du d\' 



From ihe form of this expression it follows that this point lies also on 
the tangent plane to the transform of N whose coordinates are of the 
form obtained by replacing in (5) by 0-l-cO,, where c is any 
constant, and 0' by a solution of the corresponding équations (4). 
Hence the corresponding tangent planes of the transforms obtained 
by varying c envelop a cône. Moreover, the point of coordinates ;, r,. ., 
générales a derived net of N (' ). 

If a net admits an applicable ncl, eilher net is said to be a perma- 
nent net. If ÎN is a net applicable to N, ils coordinates. x, y, z, 
satisfy (i). Moreover, the net N' whose coordinates are given by 
quadratures of the form 

d-r' djc dx' àx 

^ ' ' du ~~ du ' di' ôt.' 

is parallel lo N and is applicable lo \'. Furthermore, the iicl whose 
coordinates j',./,. ;, are delined by equatione of ibe form 

_ _ 0- 
(8) ^, = .r-^.r, 

is a T transform of N (-). 



(-) M„, p. 170. 

Joiirn. (le Malli. (><• S(-rifK Iihik- IV. — Aniiiie uvi 



/(î LUTHER PFAHLER EISE>HART. 

The common point équation of N' and N' admits ihe solution 

(9) 6'=k{lx'^—1^"'), 

where /.- is a constant, the symbol 2 indicating ihe sum of three terms 
obtained from the tlirec corresponding coordinates. ^^ile hâve 
shoAvn (') that for this value of 0' and the corresponding funclion G, 
given by ( 'i), the nets N, and .N, are applicable. 

2. Transfornialions T of nets on a qiiadric. — Consider a net N 
on the gênerai quadric, Q, whose équation is 

(10) e.v- + /y'--j- ffz--\- 2axy + ihyz -h ic zj; 4- ■?.rx + isy -+- 2/; -H (»■ — o. 

Since the coordinates are solutions of an équation of the form (1), we 
hâve on dilTerentiating (10) with respect to u and r 

, , d-r ôjn .dy ày dz dz ( dx dy dx dy 



du d\' du di' ' ° du dv \du dr dv du 

.(àydz àyàz_\ [ àz_ àx dz dx 

\du di' dy du J \du dy dv du 

Any net N'(x') parallel to JN is given by équations of the form (2). 
Consequently we hâve an équation of the form (i i ) in whicb r, y, z, 
are replaced by x', y' , z' . From this il follows that the function 

(r>) f)' ~- ex'--\- fy'--^ gz'^-\- lax' y' + iby' z' + icz' x' 

is a solution of the point of équation of N' (- ). It is readily found tliat 
0' and 0, given by 

(i3) e = 2[exx' -^ fyf -h gzz' + a{x'y -+- xy') ■+- b{y'5-hyz') 

+ c{z'x-h zx') + rx'-^ sy'+ I:'] 
satisfy équations (4). 

When thèse values are substituted in (5), it is found that tho T 
transform N,(.r,) lies on Q. It can be shown that any congruence 
conjugale to a net N can be obtained by drawing ihrough points ofN 



(') ^h, p. 17"- 

[') The funclioii O'-^o, siiice N' camiol lie on a coiie. 



TIUNSFORMVTIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A QLADRIC. 4' 

Unes uhose direction-parameters are ihe coordinales of some nel 
parallel to N. Hence we liave the iheorem of Ribaucour : 

Ariycon-^ruence conjugale to a net on a quadric mrcis the quadric 
a^ain in a m-l to <.vhich il is conji/aatr. 

Let 'S'(.c') and N"(.c") be Uvo nels parallel lo a nel N, and N,(.r,) 
and N„(a;,) ihe T transform of N determined by the pairs of corrcs- 
ponding fûnclions 0,, 0', and 0„ O;, where 0, and 0, are Uvo solutions 
of ( I ). In place of (4 ) \ve hâve 

('^^ 'ô7i = ''^àii' 17- ^''^' iû-''^».r ,U-''d. 

In addition there are fûnclions O; and O;, determined to uilhin 
additive constants by tbe quadratures 

since 0, and 0, are solution of ( i ). We bave sbown (^') ibat a net N; of 
coordinales 3\, y"[, z"[ is given by équations of the form 

(i6) .r, = .r — gT-ï 

and tbal N, is parallel to \, : also tbal tbe fûnclions 

(,7) 9„=9.-|5;. ^:,= 5;-|/5; 

are corresponding solutions of tbe point équations of N, and N'. 
Moreover, we bave sbown also ibat ihe fûnclions ./.-.j, y,., ;,,, of tbe 
form 

(l8) J?,2= '-1- ^^^T^-r, 

are the coordinales of a nel N,, wbicb is a T transform of N, and 
also Nj. Since 0, and 0, are determined only to witbin arbitrary addi- 
tive constants, there are accordingly -x? such nets N,,.. 

(') W,, 1». in. 



44 LUTHER PF.VHLER EISENHAHT. 

We apply thèse results true for any net to the particular case when 
N is on the quadric Q, and aiso N, and Nj, ihat is where 6, and 0, are 
of the form (r3). In order that Oj, and O,, be of the form (12) and (i3) 
wilh x', y', z' ; .r, y, :■ replaced by •r'î',j',', z'^; x\,y',, z, respectively, 
we must hâve 

(19) 5; -H 9;= 2[t'.r'.c"-+-/j r"-+- ffz'z."-i- a{a-'y'+j:"y') 

-+- b{y'z''-hr":') -h c { z' .r" + z" x' )]. 

By differentiation it is found that left-hand member of this équation 
is constant, and consequently the additive constants in 0" and 01 can 
be chosen in ce' ways so that (ig) shall hold. Hence : 

// N, andN^ are T Iransforms ofS and ail tlircr nets lie on (} (g), 
therc arc ce' othcr ncls \,.j on (^ which are T transforni.s of N, and 
N2 ; l}iey can bc found l>y a quadrature. 

5. Pcrmanenl ncls un a quadric. — Servant (') lias shown that 
if JN is a permanent net on a quadric, Q, the parameters of N can be 
chosen, so that 

(20) D + D" = — - 

where D and D" are the second fundamental coefficients of N. and 
(T* =; — K ; K being the total curvature of Q ; aIso that the appli- 
cable net N is isolhermal conjugale, and that its second fundamen- 
tal coefficients, D and D", are such that 

(21) D-t-D'^o. . 
Since N and N are applicable, we bave 

(23) a— -jp- = -pp-, ll = =EG-I=, 

where the linear éléments of Q and the applicable surface S, referred 

(') liulletin de la Société mathématique de France, vol. XXX, 1902, p. 10. 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A OfARRIC. 4'' 

lo î\ and N, is wrillen 

( a3 ) 'A' = E Hii^ -1- 2 F chi rh' -H G dn'-. 

If \ve deline tvvo funclions ^ and h by means of llie eqiialions 

(24) D=— <7r?', D"=cr6', 

we hâve from (20) 

(20) fl«— /;2— — • 

In conséquence of (liij and (22), we inay take 

(26) — î5=D"=cr^/>, f/V>'z=H-(7^ 
The Codazzi équations for N and IN are (') 

(27) \ 



_ D * ' ■" -D".' " , lliL ^_ " D + D"; 

(^f \ \ \ / 2 



,)D" 


/ t \ (2 


f=M 


P2) (22) 

J 2 i^l . i 



ihe Chrisloil'el symbols ' beinj;; forined wilh respect to (sS). 

From thèse équations, in whicli D, D" and D are replaced by thcir 
expressions from (24) and (26), and the identifies (') : 

we obtain, iu conséquence of (23), 

du .^ n ( 1 2 ) _ () I ( 22 j _ i' (J 



= ^log-, r = — logrr, ' =— -— log/)(7, 

I de 1 ) «* dM 



^""^^ 1 (n) «' (J , \12) d . , (22) <) , 6 



(') £"., p. i55. — A référence of lliis soit Is 10 ilie auihor's Dillereiilial 
Geoinetry. 

C-) E.. p. ,53. 



46 LUTHER PFAHLER EISENHART. 

If X-, y, z dénote the carlesian coordinales of S, we hâve (') 

d'à: in) dv In) dx 7-.. 
au^ { 1 ) au I -2 ] or 
(3o) I d'^ ^\i2}âx ^\i^\àx^ 

du di> I i ) du ' 2 j ()(• 
d-œ _ j 22 1 d.f ( 22 1 <J^ —, 

^ 'd^ -\i \JT,^] 2 \17^^ ^' 

and similar expressions inyand ;. In conséquence of ('21 ) and (29), 
we liavo ihal x, y, ;; are solutions of the équations 

f d-0 (pe _ dlogg d9 dlofjb àQ 

„ I da'^ dv- dn du dv dv ' 

j d'-B _ (jlogg dQ_ d\o%b dB_ 

! du dv dv du du dv 

We hâve seen (^) thaï when the coordinates of a net satisfy équa- 
tions (3i), it is an R net that is the tangente to the curves of either 
family of the net form a W congruence. Hence : 

The permanent net on a deforni of a qaadric is an W net (^). 

For the central quadric Q 

(32) ex-'-hfy-'-\-gz^-=i 

we hâve 

ex. fy, frz 

(33) X, Y, Z =—;==-, 

and the gaussian curvalure is given hy ('') 

(34) K=z- ', , i=cv/Ii^, 
wliere c' == j^- 

(') £".,?• l'A. 
{') M.. 

(') Cf. TziTZEiCA, Comptes rendus, l. 152, 191 1, p. 1077; aiso Lîuxcin, fïendi- 
conli dei Liiicei, 5" série, vol. XXII, igiS, p. 3. 

(') Cf. C. S\tirii, Solid Ceoinelry, 9''' ediliun, |). i23. 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO K QUADBIC. ^7 

If Q is referred lo a net N wliose point équation is (i), \ve hâve 



H'-mh^'-"-- ^,'"4-(^)> !.'-'■• 



and also 

,,,,, V '^•^' '^■^ 

.au di' 

Hence 

(3;) H^y-^'^- Hjjf)-'"'' 

where U and V are functions of a and r alone. 

In conséquence of (2'}), (29), and équations analogous to (3o) \\e 
find 

\ àa \ V àii / àii " rj^ ^ du I du 

(38) 1 L \ / j . - 

/ -— ie -— = -— log— -ie -— — 2(7i'ie\-T-- 
\ ai' |_ \di>J J t/f (T,^ \f^•/ oc 



From (33) we hâve 



»' c'-f' <^ /v^-^; — ; ., V ^-i' 



du du di' de 

When the expressions (37) are substituled in ('nS), the resuit is 
reducible hy means of (34 ) to 



1 dV _/ ' i\ d\ogr7 i.^_/Y l\îil^£5 

2 du ~\ cj du ' 2 di' ~ \ cl de 

Also on differentiating équations (3G ) with respect to // and r \ve get 



, d logrt /.^ i\à loga 



(U+V)^l-^ +(V + 



I \ à loea 

- ." =0, 

cJ oc 



du \ c) du 

l'Vom thèse Iwo sets of équations it follous tliat L = — V = -. and 



48 LUTHER PFAHLER EISEMI.VRT. 

consequenlly 

Hence frora {20) and (3i) \ve hâve ihe theoreiu : 

For any permanent net on a central quadric K'i'i-) the coordinates 
satisfy the condition 

colieie f' ^= T- • 

efg 

This équation may be wrilten 

(40 or — 6-= c'if'.i-'. 

For the paraboloid P 

(42) 6'x- + /j-+ 2; = 

\Ne hâve 

ex, fv, I 

(43) X, Y. Z=7^ï=====, 

and 



(44) K= ., , ~—, -^ -—c\Je^x^-\-f^y-^\, 

c'(e-X--+-y- >--r- l)= (7 

where c = — 7— ^• 

If P is roferred to a net N whose point équation is (r), we hâve 

djc dx . àv dy 
du di' Ou fjf 

and by processes analogons to those used in ihe case of (^2) we lind 
Hence we hâve tlie theorem : 



TItANSFORMATIONS OF SURFACKS APPLICABLE TO V QCADRIC. ^i) 

For an Y iirl on ihr paraholoid {/\'i) thc coonlindlcs sa/is/y 

wherc c — -, — .- 

Tliis equalion may lje written 

(4;) a"— />':=c-{f'.r'+/'r--i~ r). 

Conversely, we can establish llip llieorem : 

If ihe roordi.nates ofa nd on, Uic ri'nlral quadric ('i-i ) salis f y ( '|0 ), 
or on ihc paraholoid (42) salisfy ( IG), llie net is permanent net. 

4. Transformations T of permanent nets on a quadrie. — Lel N 
be a permanent net on llie quadric Q (32). Froin (12) and (i3) il 
follows ihat if in llie équations (i) we take 

(48) 6 ~ ^(exx' + fyy' ~\- gzz')^^2le.Tx' . 8'=lex'-, 

ihe ï transfonn N, of N lies on (). In order tliat N, be a permanent 
net, it is necessary and sufficient ihal 

(49) leC^Y^le^'- 



On ' \ à< 

From (5) we bave by diOerentialion 

where 

(5i) T = /t5-9', cr=ie — 0'. 

Substitulinor thèse expressions in (If)), we can rediice tlie rosulting 
équation by nieans of (3()) lo 

(52) 7-(i''—a-l}'-=c'^0"'le-x\. 

Jntirn. de \tath. (S* série), loine IV. - Aniioe igai. 7 



5o LUTHER PFAHLEH EISE>HART. 

In conséquence of (3) we have from (5i) 

U:'v^j=^^^ J;^'°»"-5^:J^■ 
(53) <! ., ,_^ . . .> _^^ 

5'^ au' 



à { a\ 7 — (7 , , 



d^ i_ dB 



DifTerentiating (32) and making use of (33), the resulting équations 
are reducible to 

— -77^ 7*5 ((7 — t) + c-2e'x, (x, — j:) 4- c'^ie-J-(x, — .r) =ro, 

where 

(54) = j, \-C-lc'xx,. 

By means of (5), (40' (^'^)i C^'-) ^^'^ (^4) thèse équations can be 
given the form 

,.^, do o dO //lO \ do oào/ie \ 

^ ' du du \ J di' 9 àv \6' J 

which can be integrated in the form 

(56) o9'--^B\ 

where k is any constant. When ihis value for o is subslituled 
in (54), this équation and (J2) are équivalent, in conséquence 
of (5) and (h), Io 

\ //»«2— r-//^ — c-l(e^— Ae).i'*, 
( 57 ) 

/ /( a- — / b- r= c^2.(e- — kc)xx'. 

DifTerentiating tlie second of thèse équations, we obtain 

[ dh d\oea , b'- d\ozb , c" ., , , , ,dx 

,.„ 1 du du a- du a- du 

(38) 

I di' dv b- di' b* Jf 

in conséquence of (2). 



THVNSFORMXTIONS OF SURFACES \PI'LIC.\Br.E TO A QUADRIC. 5r 

It is readily found ihat équations (u), (3) and (58) form a com- 
pletely integrable syslem, in conséquence of (4i)- Moreover, for 
every set of solutions of this System équations (37) are satisfied to 
within additive constants, as is found by differentiation. Hence each 
set of solutions satisfying(57) détermines a T transform which isaper- 
mamanent net. From (2), (3 ) and (T)it is seen ihalU x-', y', z\ li and / 
are multiplied by the saine constant, ihe transform N, is unaltered. 
Hencc when X- is any constant ditlerent from (?,yand g, there are -x.- 
sels of solutions satisfying (Sy) and giving distinct transforms. 

When k = e, there are 00' sels of solution y', :■', h and / of (2), 
(3) and (58) satisfying(57). Then x' is given by the quadratures (2) 
and involves an additive constant, say m. In this case each set of 
solution j^', z', A and / détermines -c' transformations, such that the 
corresponding points of the 3c' transforms lie 011 a conic, the section 
of quadric by a plane parallel to the lines from tlie origin to the points 
{x ■+- m. y, z) as m varies. Similar results hold when k ^fov k = g. 
Hence : 

A permanent net on a central, quadric e.c' -h/y' + gz' ^^ i 
adniils -x."^ transformations T^ inlo permanent nets on the quadric 
for each value of the constant k \ when k is equal to e, f or g, the 
transforms N, may be grouped into oc' famdies ofrxr transforms 
each such that corresponding points of ihe nets of a family lie on 
a conic. 

Wheii JN is a permanent net on the paraboloid P (4-)? ^"^e bave as 
the équations analogous to (48). (52) and (55) the following : 

(09) ^ 2{ea-x' -h/yy'-h z'), 0' = ej;'^-i- /y-, 

(60) 7^a»— (j^t>' = c^9'^e'-j:\ -h/\y\ -+- 1)> 

(61) (p-l«2-|/>'+o'(e'^-^,+/'j..-,-M); 
and (55) also. Now (Oo) and (Gi) arc équivalent to 

^^^^ I h a--—l b^ = c'-Kc'-— kcA.v.v + iP - kf)yy- k z' ]. 

In this case we hâve the completely integrable System consisling 



Sa LUTHER PFAHLER EISENHART. 

of(2), (3) and 

j du Ou a- Ou rt'L^ ' Ou '•' -' '-^ Ou\ 

\ dl O\os.b , a- O\os.a , c-\ , , , . ■ à.r ,0y'\ 

\ Ov Oi' II- (If a- 1 Cl' Cl J 

Frorn lliese resulls follows llie llieoreni : 

A permanent net on a paraboloid ex'- -+-/y' -h 2.z = o adnuts ac- 
Iransformalions T^ inlo permanent nets on the paraboloid for 
eacli value of the constant k ; Kvlien k is equal to e or y, the 
Iransforms N, may be grouped i/ito 3c' families of y:>' Iransforms 
suc/i thaï corrcsponding points of the nets of a faniily lie on a 
conic. 

iî. TransformationsT of sur faces applicable to a qitadnc. — It 
is our purpose to show that each transformation T* of a permanent 
net j\ on a quadric Q into a permanent net N, on Q leads direclly 
to a transformation T;; of the net N applicable to N into llie net N, 
applicable to N,. In fact, Ave shall show that it is possible to find 
without quadratures a net >«' parallel to >i such that 0' given by ( 4iS) 
can be put in tlie form (9), and tiien the desired transform defined 
by(8). 

Equating thèse expressions for 0', we hâve 

(6/i) (e-l.-).v''+{f-l,)y"■+{s-lc)z'■^+l^llr'■^ = ^^. 

Differcntiating this expression and assuming that oipialinns of the 
form (j) hold, we obtain 

1 ' du •' •'Ou ou Ou 

(65) 

! Oi' '' Cl' ^ Cl' Cl' 

If thèse équations aie dilTcrenlialed wilh re!-|)cct to // ami c and in 
the réduction use is inade of (3o_) and analo;^ous équations for N. luo 
of the resulting équations are satisfied idenlically in conséquence 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A QLADRIC. 

of (G5) and ihe other Iwo are reducible lo 

lZe(^y-^r)"l(e-A}.v'\ -■ A-\)"l7'X = o. 



In conséquence of (24), ('-ifj), (53), (3ç)) and ihe second nf (57) lliese 
two e(juations are équivalent to 

(66) (h - l)rrah + f:cll-'Xr-=o. 

Solving équations (fi5) and (66) (or .i;\ y' , ;', \ve hâve expressions 
of llic forni 

(67) /,.,. ^__(/_A)X + -|^ _l(e-/o^-(l^-^.-G 



di' . du 
d 



-.„_„,Yp|£_.^-)J. 



If \ve difi'erentiate lliese expressions. \\e llnd lliat x\ v', z' satisfy 
équations (7), by niaking use of équations of i>!;^ 5, i anH of 5$ 63, 
FJ., p. iSa. AIso from (67) \ve hâve 

(68) /,2 2l'-^=^^^\/-/0- 

Suhslitntiiig ihis expression in (6'|), uc liud llial il is salisded in vlrtue 
of ihe lirsl of (57). 

Froni thèse results and the first theorein of 5; i- fnllows Theoreni 1 
of (he introduction w lien /{• is not equal to o, e, / ov p. 

When k — e. the fnnction x' is determined only to \vithin an addi- 
tive constant m, as seeii in § -4. Tliere are only ac' sets of solutions 
y', z\ Il and /, and consecjuently from (67) it follows that thero are 
only 33' coni^ruences G of tiic ac- transformations. As m varies we 



54 LUTHER PFAHLER EISEXHART. 

obtain se' transforms N, conjugale to the same congruence. They are 
delîned by (8) where 

h = l'Lexx' -+- lemx, S' = e(x' -i- m)--hf y'- -•- g':''- 

From ihis expression for and the results of § 1 it follovvs lliat the 
tangent planes at corresponding points of thèse nets N, envelopo a 
cône. If Ht,, Y]„, 'Cl are the coordinates of the vertex. ihe équation of 
the tangent plane is 

(ç - lo)^. + (-1 — ■n„)\\ + (C - r„)Z, = o, 

whcrc H. T, and Ç are current coordinates. and X,. Y, and Z, are 
direction-paranielers of the normal to N,. A\ lien tlicir expressions are 
calculaled il is found thaï they involve n) to tlie second degree, and 
consequently the cône is quadric. 

When A- = e, x' does not appear in (64) and (()5). Solving tlie 
laller for j'' and ;', and substiluting in ((J'i), ^ve obtain a homogeneous 
quadric équation in x', y\ z' . Hence the lines of the congruences G 
tliiough a point of N forni a quadric cône. Since similar results hold 
when A" is equal to f or g, \ve hâve in cons^oquoncc of llie lirsl 
iheorem of § 4, Theorein II of the introduction. 

When Q is the quadric of révolution e{x-'- -h y'-) -h gz" ^^ i , ihe 
transformations of Theorem I hold, as in the case of the gênerai 
quadric. There is only one set of transformations of the type described 
in Theorem II ; they are T„. The transformations T^, posscss the 
following properties (' ). 

Lei .\ be a nel applicable la a net N on a central quadric of 
révolution Q; the lines joining points of^ to tht foci of (^ on the 
axis of reiolution beconie li/ies of àvo normal congruences G, 
and Gj conjugale to N, wlien » is applied to N ; there can lie found 
by two quadratures -x.- nets iN, conjugate to (i, and oc' nets ^J 
conjugale to G.. Kvhich are applicable to oc'-' nets iS', a/itl x- nets Nj 
respectively on (^ ; the nets N, , or \.., can be grouped intu zrJ 

(').W3, p. 337. 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A QLADRIC. 55 

famllief! of oc' nel.i cach sucli thaï iheir langent planes al points 
un ike saine Une of (J,, or G^, envelop a quadric cône and llie 
corresponding points of llic applicable nels N,, o/- N^, o/i Q lie on 
a conic. 

Whcn the qii;ulric is a spliere, re.il oi' imaginary, vvith the équa- 
tion a(x- -h y^ -h Z-) = I, lliere an' iio traiisfonnations of the type of 
Theorern II, but Tlioorein I liolds. The nets .N and N, consist of the 
lines of curvature of surfaces of constant total curvaturc, and >< and N, 
arc on the sheets of the enveloppe of a two paranieter family of 
sphères ('). 

When the quadric is a paraboloid with the équation ('12). \ve hâve 
from (9) and (Sq) in place of (G4) the équation 

(69) (e — A-)^'2-H(/— A)j"— /.■3'^+ /.■ix'2 = o. 

Proccedinj^ as in the case of (64), we lind e(]uations oblained from 
(65), (67) and (68) by putting g = o. Hence we tind that 'riirorcm l 
holds for deforins of P, and tliat there are only two selsof Iransforina- 
tions of the type of Theorern II, namely F^ and F^. 

^^ lien e =/, that is when P is a paraboloid of révolution, the trans- 
formations Tg possess th(^ following properties (-). 

1/ N is a net applicable lo a net ^ on a paraboloid of révolu- 
tion P, the lines from points of N lo the focus of P on ils axis 
and the normal s lo the tangent plane lo P al ils verlex become 
lines of two normal r.ongruences, Ci, and G^, conjugale N nhen I\ 
is applied lo N ; ihere can be found by two quadratures oc' nets N, 
conjugale lo (!,, and co- nels H., conjugale lo G., which are appli- 
cable lo 30^ nets M, a/id 00'- nets N., respcclively on P; th<- nets iN, , 
or No, can be grouped into ^o' families of co' nets each sucli that 
iheir tangent planes al points on the same Une o/" G , , or G., , emelop 
a quadric cône and the corresponding points of N,, or iN^, on P lie 
on a. conic. 

(') ,1/3, p. 337. 
(') M„ p. 338. 



5(î LVTIIER Pl-AHLER EISEMIART. 

6. W Iransforms of surf aces applicable lo a central quadric. — 
Let R(^) be a net applicable to a net N {x) on the central quadric (i-i). 
We consider a T* transformation of M (x) and N(.r) as treated in § 6. 
We hâve 

From (33) and (34) we hâve 

(-i) 2cj"'X ^ co'ie-.ra-'. 

By diiïerenliation of (70) we hâve 

(72) -r- = 2ie.r-— , —^zile.r-r-, 

^' ' du i)ti dv uv 

and with the aid of (3o), (39) and (07) we lind 

) au- i 1 \ du ( 2 ) dv c 

[ di- l i ] du { 2 \ dv c 

Because of (2 )) and (29) we hâve 
, ,, d'9 d^B âlo^a dO ôlosh àO , . 

(7-') du^^u^^^^-dT-jr.^^-dïTô:,-''^-^- 

From llie resulls of a previous paper (*) it follows lliat if we take two 
transformations of iN(.r) of tliis type and write 
(75) Q^= -île.vx'. O.^^^ilexx" 

the net Nf H) defined by équations of ihe form 

, ^, . -:: — dx dx 

(-b) t = X+p- h<}-r-, 

where 

( I /' dO, . dO,\ I /, 09, dO, 

(77) 



. _ àO, (W^ _ dO, d% 
di( df àv du 



(>) M,. 



ydii c/i' ai' Ou 






^rfa de 6*1' (>«/ \ 2/J' 



TRANSFORMATIONS OF SURFACF.S \PPLIC\RLE TO A QUAIJRIC. '>7 

is a W iransfonn of N(x), that is thèse two nets are on llie focal sur- 
faces of a congruence. It is our purpose to show that N(?) is appli- 
cable to a net on Q. 

On siibstituling the expressions for the derivatives of 0, and 0, 
analogous to (72) and (7^) in the derivatives of l. we reduce the 
resulting expressions to 

-— _/MUA-h 1 , , ,,,, ) \ \ 1 1/ 2 



(78) 



Hy Mipans of the same funclions 0, and 0, we obtain a derived 
net N(^) of N(x). Us ecpiations are of the forin 

ô.r à.r 

(79) ^='^-^''ir<'^''^'' 

where p and r/ are given by (77). On substituting the expressions 
for 0, and 0„ as given by (75) in the expression (77) for A, we find, 
in conséquence of (33) and (rf. 2t)) 

(80) Ua — ab 

that 

= licabefg'lxiy" z' -y'z"). 
Hence the expression for ? is reducible to 

y' ^" — y" ^' 

Froni tliis we hâve 

(83) 2eÇ.c = i. 

Journ. de Math. (S- série), tome IV. — Année igsi. " 



58 LUTHKR PFAHLER EISENHART. 

The équations analogous to (57) are 

, h'a-— nb^=c''l(e^—ke)x'\ h;a- ~ l'-b'-:^ c^l{e^— /:e).r"\ 
^ •*' I /i,a'—lti-=zc^l{e'-—ke)j\r', /i,a' — T- b'-= c'l(e'- — /.e).r.r" . 

By difTerenlialion it can be showa ihat ihe lefl-liand member of ihe 
followintf équation is constant for any Iwo transformations T^ : 

(85) /if/i^a- — /, Inb- — c-i(e- — ke)j;' j"^ o. 

We choose ihe nets N' and N" so tbat (85) is satisfied. By means of 
thèse relations we show that 

(86) :L{r--A-/){^-^-A-g){f'z"-y"z-) 

= i(e"-— ke).v'''l{e-— ke)x"-— (-(e- — ke)x'x"y- 

also ihat 

(87) (e-^ - ke) ( f'-kf) („-- /-i [lx{y'z"-y"z'f= ^" (/, /'.-/./.■)'■ 
In conséquence of thèse identities we hâve 

(88, 2:737 = ■• 

lliat is N (^) lies on a quadric Q^ confocal with Q. 

The équations for iN(i) analogous to (78) are oblained froin (78) 
by removing the bars form x, y, z-, D, L)" and \. Substiluling 
froni (75) the expressions for the derivalives of 0, and 6„ and niaking 
use of (24), (33), (34) and (80), we reduce the resulling équations 
to the form 

§ = ^-^\-'^'-'-^'^"''f-[ (3v"-.V)(^M/.-/'>)-cv4) 

-(=/-='y)(*M'.-/'.)-^=/'7)lî' 
^ -(5y_^'r)^«'(4-/,,)-cV.^')j|. 



TRANSFORMATIONS OF SURFACES APPLICABLE TO A QTJADRIC. Sq 

I3y ineans of (70) and (81) thèse aie reducible lo 

^ ^ fta'a'bn/g , c2(e2- Ae)j-i^(y'^"- y"z') + c'k{ r' z" - y" z' } 
Ou A ^ ~ 



Ou 

4- b'iizy'- z"f){l,- /<,)-( z/- z'j) (7,- /«,)] 1, 

I à^^^_!i2lll!^l[£^^c^^e'-Le)a:lx(yz'--fz') + c'k(yz'-y'z') 
' ' +a^[^zy''~z'y)(h-h,)-(zy'-zy)U,_-lu)\[. 

From (84} we hâve 

(sr"— ô"r)(A,«^-/,6')- (;/ — ^'/)(7i,a^— /,6=; 

— c- ; (e-— A-e)xia;(y'3"— Z^') + {z' y" — z" y')1{e^ — ke)x'[ 

=z c- I (e=- .';e)jcljc(y'z"-y''z') ■+- (z'y"— z"y') (^_ ~ ' )|- 

Adding the left-hand member of ihis expression to the expressions in 
parenthèses in (Hij) and sublracting the right-hand member, we get 
in conséquence of(i5) 

de \a^bpfs,, „ „ . , , , I \ . r n t t «\-t 

_^ _ ^ _AVo j-/;^, -,//_ ." ,.) _ /ijsy' _ ■;',.) 4- (="/-- J )]' 

For- N(ç) the expressions analogous to Sef— -j and -ci-r^j 
for N are ^^^(^^)' and V_^f|y. Making use of well- 

known theorems on déterminants, \ve lînd ultimately that 

ke / àiy , , „ -^ ke 01 à- 



(90) 



2ék — e \ôTi) ~~~ '" P ' 2j k~ e Ou df^'^' 

2 r^(i)' = '■'■'■■ 



<«" ^ - *. 



For N(a7) we hâve D = — D" = — aa/> (t-y. 26V Hence from (yS) 
and the analogous équations for N(H) Ave li.ive 

i2(l)'-}::(§v-.HT..-«=)=-"v. 

/ s ■ ' v^ ()c <^ï ^^ dl de 



6o LUTHER PFAHLEll EISENHART. 

From (91) and (92) we hâve 

0„ / " -- /. — c \ Ou) -j \ ,;,• y — A- _ e V (^f 

•^ dl d'I ■^ /. dl de, 
^ àti Ov ~--J /. —e du dv 
Hence if we put 



(93) 



-=\/^e- y=\fi^-'- ''^\/t 



ihe iietjN(^) is applicable to liie net N^a;), wliich in conséquence 
of (88) lies on Q. Tiie équations (9"^) define the relation of hory 

between a quadric and a confocal quadric; llie point of coordinates x, 

y, z is the intersection with Q of the orthogonal trajectory of the 
family of confocal quadrics Avliich passes through point of coordinates 

H,-/l,UfQA('). 

The functions of a transformation VV are x' , y', s', x", y'\ z", //,, 
/, , A, and 4. They satisfy a completely integrable system of the 
form (2), (3) and (58). Moreover, the five conditions (84) and (85) 
must be satisfied. Howcver, thèse équations are satisfied also by the 
functions 

^ ^ o.x-'-+- ^.v\ cf.y'-{-^j", c/.z'+^z", a/(i4-;5/ij, a/,-hi3/.2, 
\ y a:' -h OU-", y v' -^ ê y", y z' -h z'\ y/(, + ô/(.,, y/,-hof,. 

where a, j3, y and o are constants. In ihis case, as follo\^s bonis (ytJ), 
(77) and (79) we gel the same nets N(^) and N(^).Consequently for 
each value of k ihere are oo' transformations of the kind sought. 
If N, (x,) and N^ix^) dénote the T transforms of N, we bave 

In conséquence of (82) and (83) we hâve 

Hence the point of coordinates, ;, r^, C, is the pôle of tlio plane of the 
corresponding points on N, N, and Nj. 

(•; /;., p. ô,j. 



THANSlOn.MATIOiNS <)F SUKFaCES APPLICABLE TO A QUADHIC. DI 

VVe may state the foregoing resulls as follows. 

//"N is a pcrmanriit /tel on a rrnli-al (inadric Q, llip.ro an' ce' sv/.y 
of Iransfoiinaliuns T^j of iN inlo nels M, and N^ so llial ihe candi - 
lion (H5) is salisficd; ikc locus of the pôle M^ of the plaiif M M , M_. 
with respect lo Q is a net N^ on a quadric con focal lo Q ; as N rolls 
on ils applicable nel N, the point M* describes a net "S^, such 
thaï N and N^t are on the focal surf aces of a W congruence, and iS,, 
is applicable lo the net on () which is the Ivory transform of the 
net N;t. 

Thèse transformations are équivalent to those found by Bianclii by 
entirely différent processes ( ' ). 

7. \^' Transfornis of surfaces applicable lo a paraboloid. — 
In this section we establish for surfaces applicable to the parabo- 
loid ('3:- -\- fy- -\- 2:; = G transformations analogous lo those found in 
the preceding section. P]quations (78) and (74) 'lo'd in this case alsn. 
In place of (75) we hâve 

e,=5(e,r.r' + /)y'-h3'), B^— z{exx" + fyy" + fyy" ^ z"). 

In place of (81 ) and (82) we hâve 

A = l\cabef(x" y' — x' y"), 

and 



e x"y ' — x'y" ' / x'y' — x'y' 

y_ , , y{,xz-x:J') + x^y'z~-y"z) 

Now 

The first two of équations (8/i) with 4- = o hold and in [)lace of the 
second we bave 

\ li,a-'—l,b^=c^\{e-—ke)xx' + lf'- Kf^yy' 'kz''\. 
^^ ^ ]li^a'--l^b^=c^[{e^—ke)xx"+{p-k/)yy'—kz"\, 

and (H.-)) holds with g = o. 



62 LUTHER PFAHLER EISENHART. 

By making use of ihe expressions for 

.v{y' z" — J'-î') and y{z'.r" — ;''.r') 

which are obtainable from (90), we fiiid llial H. ■/] and 'C satisfy tlie 
condition 

I I I I ' ""° A ' 

ê ~ J 7 ~ ^ 

that is ihe net N (;) lies on a quadric confocal witli P. 
In place of (89) we liave 

X ib^ y" {l, — h,) ~ b^ y Kl,- h^) ^ c-'hi y' z" ~ y" z' )\\, 
-~ —— q—r— Ac(e — /.).r -^ liabf 

Oi' ^ 

X [(i''y'(li — f',) — ('-y'{l,— /t,) + c-A(yz" — y'z')] \. 
Froni (93) we hâve 

j" ( A, a- — lib-) — y'(kia^— l-tb-) 

= c-[(e' — ke)x(x' y" — r'-e") -4- A( j'c" — y" :■'). 

With ihe aid of ihis identity ihe above équations are reducible to 

From thèse and analogous équations we obtain 

■ \ ou I A c \ au J 

• \ài'J A — e \ ()y J 



A — 

ek 
k — 

ek dl dl fk ,)n ôy 



From thèse équations and (92) we hâve 

•^ / f)| V V' I '^■^ \ v t'S <^î v^ t>j^ dj- 

(') llere llie s^mbol ^ refers lo llie ihree variables. 



TIt\NSFOnM\TIONS OF SlfiFACES APPLICABLE To A QUADRIC. 63 

wliere 



y = \^T—r-^- -'=?^^.- 



A- 



Tbese are ihe équations of llie transformation of Ivory for P. 

The olher observations for transformations of a central quadric 
hold aiso for tlie case of tl>e paraboloids, and consequently we hâve 
the analogous theorem : 

If N is a permanent net on a paraboloid P, tlwrc are oc' pairs of 
transformations 1^ of !N inlo nets ?s, and N, so lliat the condition 

hohls: the locus of the pôle M/, of the plane MM, Mo a//// respect 
to P is a net N^ on a paraboloid confocal to P ; as N roUs on its 
applicable net \ the point M^ describes a net N^ such thaï N and iN^ 
are the focal nets of a W congruence, and iN^r. is applicable lothc 
net on P which is tln' ho/y Irunsform of the net i\<. 

Thèse transformations are équivalent to Bianchi's transforma- 
lion B;t of surfaces applicable to a paraboloid ('). 

8. Perniutabilily to transformations T,,and B;;. — Let iN x ; be 

the permanent net on a deform of the quadric Q(32) and N(^) its B^ 
tiansform by nieans of functions x' , y', z' \ x", y", :■" ; h,, /, , h.,, /.,. 
Let x-'", y'", z'", A.,, /.,, be another sel of solutions salisfying^ the condi- 
tions 

(96) /(;«'-- /^^-=c"-i(e'— k'e)x"'\ li.a'' ^ l.,b' = c-l{e- — k' e)xx' , 
so ihat the T^. transform [N^ of N dellned bv équations of the foim 



where 
is on Q. 

(' ) Loc. cil. 



^3 , 



Bi^ l'S.exx'" , 01=1— ex'^ 



64 LUTHER PFAHLER EISEMIAUT. 

From ihe results ( ' ) of gênerai transformations T. 
It foUows tliat the équations of the forms 

V 0" 

(97) (x,)'=a:'— ^jc'", {x^y - .t" — -^ x" 

define nets parallel to N^ applicable to Ng; llie corresponding fiinc- 
lions /ij,, /j, and h^.,, 1^.^ are given by 



h.,— 



3 -'3" 

I,./J\~h,0'l _ 1,61 — {, 



h,6,~6'; '■ 1,9,- b; 



The functions a, and 63 appearing in the point équation of N3 are of 
the form 



In order thaï thèse functions may salisfy équations analogous 
to(84) and (85), namely 

olhl,- hin,^ c'l(e'- Ae) i.r,Y^, 
alhU- hlll, = c^-l{e^-- ke){x,)"\ 
«3/(3, — ^'3/31 ^c-^{e- — Ae)x3(a^3)', 

a\h,ilHn— 6*/3,/32= c22(e--— kc) {x-^y^x^)", 
it is necessary and sufficient tlial 

ia'-/i,/i,~ h^ /, l,= c'iie'' - ke)x' x'" -h £! ( A' - A"')©;,^ 
l 
a'h.Ji,— b-l,lj—c-l{e''— ke)x"x"'-h -(k — k')B\. 

DifTerentiating thèse équations wilh respect to u and p, and inaUing 
use of (58), and analogous équations, we find that the resulting 
équations are salisfied identicaliy. There are tvvo cases to be consi- 
dered, according as k and k' are equal or not. 

If k' ^ k, the functions 0', and 0, are uniquely dcterniined by (98), 

(') Ml, p- "i- 



TiiANMonM \TH)N> (ti si:itt\cr.s Ai'PLicAni,K to \ niAnnic. 6a 

and coiiseqiicnllv (•/■:,)' and (''.i)" are uniquely delerniiiied hy (97). 
Tlii'n hy ineans of llie fiinclions 

\ve olilain a B/, Iransform IV., of iX, (applical)le lo N,) wliicli is appli- 
cal)le to a nel on Q. 

Il is readily found by diflerendalion llial llie lefi liand iiiemhers of 
the équations 

are constant-;. If wo lakc 0, and 0,' as givcn liy (100), \ve find tlial 

Tliese are tlie conditions llial N anrl \., are in relation T ('). 

Wlien k — fi', tlie functions 0, and f)] are nol delined liy (9<*^), and 
consequenlly tliere are 2 famiiies of x' nets parallel lo N, delined 
hy (97). Hence there are 3:' functions 0,,, and :c' functions 0.,_,. whicii 

j^ive nels N^ in relation B^ with N, and relation T,, wilh N. Equa- 
tions (96) and (98) are «atisfied hy 

A3= 3f/î, -t- [3/(2, I3 — xt,-i- pi,, j;'= xx' -h ^x". 

where a and ^ are constants, in conséquence of (84) and (85). 

Similai' results hold for the transformations T^. and B^ of nets 
applicaljle lo llie paraholoid. 

Hence : 

T/ii' Iransforinations 13^ and T^ uf a surfaco appUcablc lo a qiui- 
(hir (irc pcrinitlable. 

\). Pi'iinitlahility of IraiisfofiniillonsT ,, ami II. — By dclinition 
Iwo surfaces S and S are ronjui^alc m drforniation, if the asyaip- 
tolic lines correspond on S and S and to eacli deforni of S iherc cor- 
responds a dcform of S with asyniptolic lines in coirespondence on 

Journ. de A/atli. (S- série), loiiie IV. — \iincc içipi. 9 



66 LUTHER PFAHI.KR EISENHART. — TRANSFORMATIONS OF SURFACF,S. 

lliese deforms. Servant lias shovvn llial aside from surfaces applicable 
lo a siuface of révolution the only surfaces admitting surfaces conju- 
gale in déformation are surfaces applicable to a quadric, and any 

such surface bas this property. If S and S are two sucii surfaces, tlie 

quadrics Q and Q lo Avbich ibey are applicable are conjugale in 
déformation and are in fact projeclive transforms of one mother. 
Moreover, if a surface S applicable lo Q is known, ibe corresponding 

surface applicable to Q is known intrinsically, tbat is ils fundamental 

coefficients are known. Bianchi (') says ibal S and S are in llic rela- 
tion of a transfofuiatioii H. 

It is readily sbown thaï a transformation H transforms tlie perma- 
nent net N on S into tlie permanent net N on S. Let N„ and N„ dénote 

the corresponding nels on Q and Q. Let N^, dénote a 1\ Iransfoim 

of 1\„, and N, tlie corresponding T^; Iransform of IS, in accordancc 

willi tbe resulls of §5^ ^, d. Since () is a projeclive Iransform of i), 
and any transformation T is Iransformed into a transformation T by 
a projeclivity, il follows tlial tbe projeclive Iransform of N,), is a 

permanent net N„, wbicb is a T^i Iransform of N,,. Consequently llie 

net N, applicable lo N», is a T^ transform of iS. Hence we liave tbe 
ibeorem : 

// N (tiul iN (irr rir/.s in icldlion H, and N, Is a '1^ Iransform 

of iN', ihere exists a nrl N, whicli is a '\\ Iransform of N and lin- H 
Iransform ofN. 

Thus we bave established tbe permutability of transformations T^. 
and H. 

(') Ji.. p. 7.1.\. 



1^ un ATA. 



Page 48, ajouter a la fin ilii tln'ort'me ta hoir siiivaiile : 

Cf. Cai.APSO, Annali ili Mnlcitialicii. '¥' stiio, vol. \l.\, kjim, p. (il. 



QUESTIONS DE MINIMUM RELATIVES AUX COUKBES ORBIFORMES. 



Sur qtii'/f/tir.s- questions de minimum, relatives aux courbes 
orbijormes, et sur leurs rapports avec le calcul des va- 
riations; 

Pak Heski LEBESGl E. 



Dans un article des y^oucedes Annales de Matliémalif/ucs, paru 
en 1914 (Tliéurèmes sur les courbes et les surfaces fermées), 
M. R. Bricard traitait la question suivante : « Quel est le plus petit 
rayon R que Ton puisse choisir tel que tout ensemble, formé de 
points d'un plan dont les distances mutuelles soient au plus égales à 
un nombre donné D, puisse être enfermé dans une circonférence de 
rayon R. » En d'autres termes, supposons que, dans un morceau de 
carton par exemple, nous découpions un cercle, quel rayon faudra-t-il 
donner à ce cercle pour qu'avec le « couvercle », ainsi obtenu, nous 
puissions recouvrir tous les ensembles considérés, que l'on appelle les 
ensembles de largeur D. 

Cette question ainsi que son analogue relative à l'espace est résolue 
très simplement par M. Bricard ; elle avait été traitée antérieurement 
par M. H. Jung dans deux articles du Journal de Crelle, Bd 129 
et 137. l'allé a fait depuis l'objet d'une courte JNote de M. J. Fàl ( \<)u- 
velle.s Annales, 191 5 ). 

L'article de M. Bricard appela mon attention sur la question, qui 
me fournit la matière de la communication, sorte de petite conférence, 
que je fis à la Société mathématique, le i*' avril 191/1, à l'occasion de 
la réunion à Paris de la Conférence internationale de l'Enseignement 
mathématique. La rédaction de cette conférence, faite à répo(|ue. 
constitue les douze premiers numéros de ce Mémoire; ce qui explique 
le mode d'exposition de certains paragraphes. J y ai ajouté le dove- 



68 HENRI LEBESGUE. 

loppeiiienl d'une autre communication faite peu après à la Société 
mathématique ('). J'avais d'abord eu l'intention de réunir ces 
remarques avec d'autres analogues concernant des questions qui pré- 
sentent ce caractère commun de relever du calcul des variations et de 
n'appartenir cependant pas aux types de problèmes étudiés dans ce 
calcul; celles que je considère ici suffiront pour faire comprendre de 
quels problèmes il s'agit. Les méthodes classiques, convenablement 
modifiées, s'y appliquent beaucoup plus souvent qu'on ne serait tenté 
de le croire (-); c'est un point qui ne ressortira pas de ce Mémoire où 
je traite les questions surtout par des procédés de géométrie élémen- 
taire, mais que je tiens à indiquer pour que le lecteur ne croie pas que 
l'analyse classique le laisse complètement désarmé en face des pro- 
blèmes que je vais indiquer. 

Revenons au problème de M. Bricard et considérons un ensemble E 
de largeur D ; le plus petit couvercle qui lui convienne a un rayon ll(^I\), 
fonction de l'ensemble E. C'est le maximum de H(E) qu'il faut cher- 
cher; et il suffit évidemment de considérer le cas où l'ensemble E est 
une courbe convexe C de largeur D. Nous avons donc à rechercher le 
maximum d'une fonction de ligne, R(C), d'une fonctionnelle comme 
on dit maintenant. Seulement, cette fonctionnelle ne s'exprime pas à 
l'aide d'une intégrale comme celles aux(|uelles on se borne dans le 
Calcul des \ariations, 



-ff. 



y{.r),Y (:z-)\r/.r, 



par exemple. Quelle que soit l'importance des fonclionneik's du type .1, 
on voit que des questions très simples conduisent à en considérer 
d'autres. 

Après les fonctionnelles du type .1. celles (|ui se présentent de suite 
à l'esprit sont celles qu'on obtiendrait en prenant une fonction ordi- 
naire composée à l'aide d'intégrales J; un produit ou un (juotient 
d'intégrales, par exemple, .le ne crois pas que les problèmes de ce 

(') Comptes rendus des séances de l'année lyi.'i. p. 43 cl -■x. 

(') Ceci deviendra plus fréquent encore quand on utilisera les rt'-sullals du 
travail fondamenlal de M. Tonclli : Sur une rnélliode directe du Calcul des 
Varialions (/iendi'conti del Circoln Mtithemalicit di l'alernio, l. \\\l\). 



QUESTIONS DE MINIMUM RELATIVES ALX COURBES ORBIFORMES. 69 

type aient été encore abordés, bien que M. Fréchel (' ^ se soit occupé 
avec succès de la différentiation des fonctionnelles les plus générales. 
La méthode que j'indique pour traiter le problème des isopérimètres, 
traduite analytiquement, apparaît comme la recherclie de minimum 

d'une expression y-; elle s'appliquerait aussi à la reclierclie du mini- 

mu m d'autres expressions, très particulières à la vérité, formées à 
l'aide d'intégrales. 

Dans le problème de M. Bricard, la fonction R(C)dont on a à cher- 
cher le maxiinuni ne s'exprime d'aucune manière à l'aide d'inté- 
grales J; je montre qu'elle n'est cependant pas nouvelle. Si, en effet, 
p(o) est la distance de l'origine à la tangente à C de direction ç. 

R(C)— —est la meilleure approximation, au sens de TchebychelT, 

de p(y) pj'r une expression 

A coso -H B sino -t- J). 

Et la recherche du maximum de R(C) est celle de la limite supé- 
rieure de la meilleure approximation pour la classe des fonctions yD( 9) 
considérées. Il s'agit donc d'une question analogue à celles qui ont 
fait récemment l'objet des études de MM. Dunham Jackson, Serge 
Bernstein, de la Vallée Poussin. Seulement, nous avons à calculer ici 
une limite exacte de rapproxiinalion et non pas seulement l'ordre de 
grandeur de cette approximation; cette question d'approximation 
conduit donc à rechercher le minimum d'une fonctionnelle qui n'e^t 
pas une intégrale J (-). 

Dans la recherche de ce uiaxiniuui, on peut se borner à la considé- 
ration de certaines courbes convexes C, déjà rencontrées par Euler, 
qui jouissent de la propriété curieuse d'avoir la même laigeur dans 
toute direction, c'est-à-dire que chacune de leurs normales est nor- 
male double. 

Ces orbiformes, comme on les appelle, ont toutes la même longueur 

( ' ) Sur la notion de différentielle d'une fonction de lignes ( Trans. 0/ tlie 
Ani. McUli. Se, 191 1). 

(•) Comparer avec le^ questions d'approxiinalion Irailées dans mon arlii-le : 
Sur la représentation Irigonomrtrique upprochéc des fonctions satisfaisant à 
une condition de Lipscfdl: {Huit, de la Soc. math, de France. 1910). 



yO HENRI LEBESGUE. 

que la circonférence de même largeur. Les orbiformes de largeur D 
ayant toutes la même longueur -D, on est naturellement conduit à 
comparer les aires de ces orbiformes ; c'est, on le sait à l'avance, lorbi- 
forme circulaire qui a Taire maximum; mais quelle est forbiforme 
d'aire minimum? Cette fois nous avons à rechercher le minimum 
d'une fonctionnelle de la forme J; mais, tandis qu'il s'agit d'une inté- 
grale dont le calcul des variations classique nous fournirait le maxi- 
mum, c'est du minimum que nous nous occupons. On est donc certain 
à l'avance que ce minimum sera obtenu pour une fonction frontière du 
champ fonctionnel envisagé: mais celte remarque est tièsinsuflisante. 

Quand il s'agit d'une fonction de points, dey(x, y, z) par exemple, 
savoir que le minimum est obtenu sur la frontière du domaine, c'est 
savoir que le problème est d'un degré moins difficile puisqu'on se 
trouve ramené à la recherche du minimum d'unefonction z>(ii, i) des 
deux variables définissant un point de la surface frontière. 

(^uand il s'agit d'une fonctionnelle J(C), définie dans les champs 
que l'on considère ordinairement et auxquels s'applique l'analyse clas- 
sique, on a un résultat de même nature; car le calcul de la variation 
de .1 montre que C ne peut être extrémale que si, sur chacun de ses 
arcs, si petit qu'il soit, on aperçoit que c'est une courbe frontière. Par 
exemple, si le champ fonctionnel est défini par 

/(■'■-J-.''0'"»^^ 
on devra avoir r/i tout point 

f (■'•,}, r'~ y") = »; 

ely est à choisir dans une famille de fonctions dépendant de constantes 
arbitraires; nous avons affaire à un problème de minimum d'une fonc- 
tion de plusieurs variables. 

Dans le cas actuel on a encore cette propriété (|ue la courbe exlré- 
male C est frontière du champ fonctionnel, en chaque point si je puis 
dire('). Et le minimum s'en déduit facilement; il est donné par l'orbi- 
forme équilatérale, c'est-à-dire par la courbe formée par les trois arcs 

(') C'est là une propriété que l on poiirriiil oljteiiir <;iàce à des rnodiliciitions 
assez profondes de l'analyse classique et (|in' je dénionlieiai ici p;ir des jirlilices 
géoniélrii|n«,'s. Je compte i-evenii- ;iillenis mii- ci- puinl. 



QUESTIONS l)K MINIMUM HKI.ATIVKS AUX COI HUES OHRIIORMES. "I 

de circonférences décrits des trois soiiiiiiets d'un triangle éfjnilalérai 
comme centres, cliaciin d'eux étant sous-tendu par le côté opposé à 
son centre. 

On voit ([ue la géométrie conduit tout naturellement à la roclierclie 
de maximum et minimum (]ui sont obtenus pour des courbes ou fonc- 
tions qui sont, en tout point, à la frontière du domaine fonctionnel 
considéré. 

Sans sortir de l'ordre de questions considérées ici, voici deux pro- 
blèmes du même genre. (Quelle est, parmi toutes les orbiformes de 
largeur D qui admettent un couvercle circulaire de rayon p, celle qui 
a la plus petite aire? La solution du problème de M. Bricard montre 

qu'il faut supposer p compris entre - et -=.; la solution est alors donnée 

- \ j 

par l'orbiforme construite de la façon suivante : Prenons trois points A, 
O, A' en ligne droite, AO = D — p, 0A'= p, AA'= D et, de A' 
comme centre, décrivons un arc de cercle AB qui sera tel que 
OB = OA', vu de O sous un angle ^ inférieur à i- Puis, de O comme 
centre, traçons deux arcs de cercle «A, Bb, vus de O sous l'angle 
-(t., — cp)- La courbe </ABA formée de Irois arcs de cercle est le 
sixième de l'orbiforme ciiercliée, la(|uelle admet Oa et ()/' pour axes 
de symétrie. 

Guidé par ce qui suit, on démontrera facilement ce résultat; voici 
une autre question dont, au contraire, j'ignore la solution. On peut la 
formuler comme il suit. Dans le problème de M. Bricard, on se 
demande quel est le plus petit couvercle, parmi ceux qui conviennent 
à la fois à tous les ensembles de largeur D, et qui sont de forme donnée : 
la forme circulaire. Plus généralement demandons-nous quel est, de 
tous les couvercles de forme arbitraire (jui conviennent pour tous les 
ensembles de largeur I), celui de plus petite aire ou de plus pelit 
périmètre (' ). 

(') Sur celte question, du pourra consulter un article de M. Julins Fàl : 
Ueber ein e le me ii tares \ ariationsprohlem {Del Kgl. Danske \idensk. 
Selskab-Mal. fys., t. 111, -2; igao). 

Dans une très courie Note {Actes de la Société heUétiqiie des Sciences 
naturelles, t. II, 191 'i), M. le D' Kolhos traite aussi (l'un problème en rapport 
avec les questions étudiées ici. 



•^1 HEMil LEBKSGUE. 

1. Considérons un ensemble Ede points; si P et (\ sont doux points 
de E, l'ensemble des distances PQ a une borne supérieure : cette borne 
s'appelle Vélongation ou le diamètre de l'ensemble E. Quand ce dia- 
mètre est fini, E est dit hoirie. 

jSous nous proposons de trouver ta plus petite valeur de R, telle 

.que tout ensemble plan de diamètre D puisse être enfermé dans 

une rjrconférence de rayon R. On entend par là que tous les points 

de E doivent être, soit à l'intérieur de cette circonférence, soif sur 

elle. 

Pour éviter des précautions de langage, sans cela nécessaires, nous 
supposerons que E est fermé, c'est-à-dire tel que tout point limite de 
points de E appartienne aussi à E. Si l'ensemble donné E n'était pas 
fermé, en lui ajoutant ses points limites, on aurait un ensemble fermé 
de même diamètre que E. 

Si l'on considère un nombre /"(P) fonction de la position d'un 
point P d'un ensemble fermé E, la continuité de celte fonction se 
définit comme pour le cas où E est un segment fini de droite ou un 
domaine borné du plan ou de l'espace. On démontre, comme dans le 
cas classique, qu'une fonction continue des points d'un ensemble 
fermé borné atteint sa limite supérieure et sa limite inférieure. 

Soient E un ensemble plan, fermé et borné, A un point de son 
plan, P un point quelconque de E. La distance AP est une fonction 
continue du point P de E, elle atteint sa limite supérieure p(A) pour 
une position P„ de P. Soit li nn autre point du plan, on a évidem- 
ment p(B)>BP„, donc 

p(A) — p(B)i;| AP„- B1'„|S AB. 

Puisque A et B sont deux points quelconques du plan, nous pouvons 
conclure 

|p(A)-pili,| :\B, 

et la fonction p(A) est continue. D'ailleurs, quand A s'éloigne à l'in- 
fini, p(A) grandit indéfiniment,, donc la fonction p(A) atteint sa 
limite inférieure p pour une position au moins do A. 

Cette limite inférieure ne peut d'ailleurs pas être atteinh' pour deuv 
positions de A; si, en ed'et, elle était atteinte |)our les positions A, 
et Ao, E serait enfermé dans la partie commune aux deux cercles 
égaux de rayon p et de centres A, et A^, donc dans le cercle décrit 



QUESTIONS DK MINIMUM HEL.VTIVES AUX COUIiHES IHtllIKillMKS . ~ > 

sur la corde commune à ces deux cercles comme diamclre. Or ce der- 
nier cercle serait de rayon plus petit (jue p, ce qui est impossible. 

Donc, parmi toutes les ci rco/ifé renées qui entourent un i-nsembh' 
donné I*], // y en a toujours une qui a un rayon plus pi-til que toutes 
les autres. Nous l'appellerons cin-onférence cireonserilc l'i \\. 

2. Relativement à cette circonférence circonscrite, je démontrerai, 
avec M. Bricard, le théorème suivant : 

Pour qu'une eireonférence C, enfermant un ensemble fermé 1>, 
soit la eireonférence circonscrite, il faut et il suffit que les points 
communs à \\ et à (] n appartiennent pas tous à un même arc de 
cercle C plus petit qu une demi-circonférence. 

La condition est suffisante. - Si elle est remplie, en eiïet, toute 
autre circonférence T, contenant E, doit contenir un arc C au moins 
égal à la moitié de C; donc T a un rayon plus grand que C. 

La condition est nécessaire. — Supposons, en effet, que tous les 
points communs à C et à E soient sur un arc acpy de C, inférieur à la 
moitié de C, et soit x'jB'y' un arc de G, supérieur à la moitié de C, et 
n'ayant aucun point commun avec a^y. Faisons passer par a'ety' un 
cercle C voisin de C et de rayon un peu inférieur. Les seuls points du 
plan qui soient intérieurs à C sans être intérieurs à C sont des points 
voisins de a' ^'y'. Comme il n'y a pas de points de E voisins de a'Ii'y', 
si C est très peu différent de C, C contient E et C n'est pas la circon- 
férence circonscrite à E. 

."î. La proposition de M. Bricard étant obtenue, la recherche du 
nombre R est presque achevée. Pour un ensemble E de diamètre h, 
la circonférence circonscrite C, de rayon p, doit avoir en commun 
avec D des points n'appartenant pas tous à la même moitié de C. 
Soient a et [iJ deux points communs à E et C, soient a', 3' les points 
de C diamétralement opposés à a et ^. Si a' ou Ji' appartient à E. 
alors 20 = n. S'il n'en est pas ainsi, ou bien il y a sur l'arc y.' i' 
un point y au moins de V. cl un tel point forme avec a et ,3 un triangle 
acutangle, ou bien il y a des points de E à la fois sur a 3' et sur a'^. 

Jouin. de Malli. (S- scrie). (onio IV. - A.iiice ujJi. ' ^' 



•^4 HENRI LEBESGUK. 

Dans ce dernier cas, soient 1 le dernier de ces points rencontré 
en allant de a vers ^' et a le dernier rencontré en allant de ^ vers a'. 
L'arc Xp'a'fx est inférieur ou au plus égal à une demi-circonférence, 
car il ne contient pas de points de E. Donc, ou Xu. = 2 p = D, on le 
triangle Xaa est acutangle. Si donc on n'a pas 20 — D, on est certain 
de trouver un triangle acutangle a[iiy, ou a Al/., formé de points de E et 
inscrit dans C('). Un tel triangle, s'il n'est pas équilatéral, a un de 
ses côtés au moins supérieur au côté du triangle équilatéral inscril; 
donc on a alors 



Dans tous les cas on a donc 
Par suite, on a 



I) 



cette valeur minimum étant d'ailleurs atteinte, par exemple, pour le 
cas où E est un triangle équilatéral de côté D. 

i. Les délinitions et les raisonnements des n"" 1 et 2 s'appliquent 
de suite, moyennant des modifications de mots évidentes, au cas des 
ensembles de l'espace ordinaire. Si l'on appelle « ensemble de l'espace 
à n dimensions » les ensembles de systèmes de /> nombres j:,, x.,, ..., x„, 
ces définitions et raisonnements s'appliquent encore facilement. 
Il faudra naturellement y remplacer la considération des circon- 
férences par celle des hypercirconférences qui sont les variétés 
à /? — I dimensions définies par des équations de la forme 

{\,-.r,y + (\„-.r,y -H. . .+ (X„- .v„y-= \v, 
dans lesquelles les X sont les coordonnées courantes, les x les coor- 

(') Je n'ai pas voulu aduiellre sans Jéiiioiislialioii (|ue si l'on a un ensenilile 
de points d'une rirconférence, fermé et qui ne peu! être enfermé dans une demi- 
oirconférence, il y a tiois points de cet ensernlilc ijul ruiiMcnl un lniui;;li" in 11- 
langle ou deux points qui sont diamétraltïmenl nppo-cs, paice que le fiiit ana- 
logue pour res[)acK ne me |)arail nullement évident. Aussi, |)Our le cas di; l'espace, 
le raisonnement de M. liricard aurait besoin, il me semble, d'être complété. 



QUESTIONS DK MIMMIM HEI.VTIVES AUX COUniiKS OIUilFOIlMES. 7 J 

données du centre; le premier membre est le carré de la distance des 
deux points X, x; le second membre est le carré du rayon. 

Une telle variété est la frontière- du domaine correspondant au 
cercle; ce domaine, un hypercercle, est donc défini par l'inégalité 

( X, — .r, y + (X, - .r, )- + . . . + (X„ - .r„Yi H-. 

Les tliéprèmes des n"' I et 2 étant acquis pour le cas général, pour 
achever la détermination du rayon i\„ des plus petits liypercercles 
égaux dans lesquels on puisse enfermer tous les ensembles de ^dia- 
mètre D de l'espace à n dimensions, il va falloir imiter le raison- 
nement du n° .>. Le triangle équilatéral ou régulier sera remplacé par 
riiypertriangle régulier, c'est-à-dire, si l'on veut, la ligure formée 
par n — i points situés deux à deux à la distance D. Si l'on désigne 
par^n la hauteur d'un liypertriangle régulier et p„ le rayon de Vhyper- 
circonférence circonscrite, on voit facilement que l'on a 



■/'„, 



/':.^i)': 



d on, puisque ?^ =' "5" ~ 32 " ~ 2^ — v'" ' 



^1 — 7,-1 



4-^-3^ 



!>', 



La sommation donne finalement 



! ( // + 1 ) 



D». 



L'hypertriangle régulier étant un ensemble de largeur D, on a 



\/ 



! ( « -t- 1 ) 



Je vais démontrer que, pour n quelconque comme pour n = 2, c est 
le signe = qui convient. Pour cela, il suffira de prouver, ce qui a été 
fait au n" 5 pour n = 2, que si l'on a sur une hypercirconl'érence un 
ensemble fermé de points qui ne peut être enfermé dans une moitié de 
cette hypercirconférence. il y a deux de ces ]H>inls doni la distance 



^6 HENRI LERE'^GUE. 

est égale ou supérieure au coté de l'nypertriangle régulier inscrit. Le 
raisonnement est un raisonnement de proche en proche, il suffira 
d'indiquer comment on passe de n = 2 a n -^ 3. 

Remarquons d'abord que, si l'on a sur une sphère un ensemble 
fermé E de points, les théorèmes des n°* 1 et 2 s'appliquent à la 
recherche de la plus petite calotte sphérique contenant E. 

Ceci étant, soit, sur une sphère S de rayon p, un ensemble fermé e 
de points, ensemble qui ne peut être tout entier enfermé dans une 
moitié de la sphère S. Soient a, b deux points de e dont la distance d 
ait la valeur la plus grande possible; on a évidemment p\2!:r/:2s. 
Le petit cercle de S, qui passe par b et qui admet a pour pôle, a un 

rayon égal a — ^ — ■ 



Ce petit cercle partage S en deux zones, dont l'une Z, la plus grande, 
contient c, l'aulie ne contenant aucun point de e. Soit y la frontière 
de la plus petite zone contenant c. laquelle, étant contenue dans Z et 

contenant une demi sphère, a un rayon au moins égal à "^ ^ ' '^ ^■ 



Sur y, d'après 5, il y a deux points de c qui sont distants au moins 
de 



et l'on doit avoir 
d'où 

Finalement, on a donc 



^V^IPIZL^ ./3- 

2P 



TT \ i ^ rf. 






les limites extrêmes étant atteintes dans le cas où des points de e sont 
sommets d'un tétraèdre régulier et dans le cas où des poinls de e sont 
diamétralement opposés. 

Finalement il est ainsi prouvé que 



H»=^^D. 



QUESTIONS DE MIMMIM RELATIVES AUX COURBES ORBIFORMES. 'J'j 

Le passage de n à // + i se fait exactement de même, l'inégalité 
précédente devient 



2 p V // " ' 

d'où 

.'l 0- [a { /i -r- I ) — « I ^ 2 ( // + I ) (/-, 



-\l 



2(/i + ■'.) 



iî. Nous bornant au cas des ensembles plans, nous allons traiter la 
même question d'une façon moins simple et moins rapide, mais qui 
nous montrera le lien intime qui lie le problème posé à celui de la meil- 
leure approximation avec laquelle on peut représenter une fonction 
continue par une série limitée de Fourier, problème considéré d'abord 
par TchebychelV. 

Notre point de départ sera une utilisation plus systématique de 
cette remarque : il n'y a pas besoin de considérer le cas de tous les 
ensembles de diamètre D, on peut se borner à certains d'entre eux. 
Ceci nous a déjà permis de ne considérer que les ensembles fermés. 

Nous dirons qu'un ensemble E de diamètre D est complet &^\\ est 
impossible de lui adjoindre des points tout en lui laissant le même dia- 
mètre D. Nous allons démontrer que tout enscniblf de dlaiiiclre D 
fait partie d'un ensemble complet de diamètie I). 

Soit E un ensemble fermé de diamètre D; s'il n'est pas complet, 
nous pouvons, sans modifier son diamètre, lui ajouter des points. 
Soient A l'un d'eux, B le point de E le plus voisin de A, ou lun des 
plus voisins. Soient C, et C, les points de rencontre des cercles de 
rayon D décrits de A et B comme centres. Soient enfin AMB, 
ANB les arcs de cercle de rayon D décrits de C, et C, comme centres. 
Tous les points compris entre AMB et ANB peuvent être ajoutés 
à E sans changer le diamètre D de l'ensemble. Certains de ces points 
font peut-être déjà partie de l'ensemble E, mais les points du seg- 
ment AB n'en font pas partie et comme E est fermé nous voyons que 
si d'un point de AB comme centre, on décrit un cercle assez petit, 
tous les points de ce cercle, dont aucun ne faisait partie de E, peuvent 
être ajoutés àl'^. 



^8 HENRI LEBESGUIÎ. 

Ceci étant, soit E un ensemble de diamètre D; je lui ajoute ses 
points limites. Si l'ensemble obtenu e n'est pas complet, je lui ajoute 
le plus grand cercle X (') qu'il soit possible de lui ajouter sans aug- 
menter son diamètre; s'il y a plusieurs tels cercles, j'ajoute l'un quel- 
conque choisi d'après une loi que chacun prendra à sa volonté et qu'il 
serait puéril de préciser une fois pour toutes. 

Si l'ensemble e -+- X ainsi obtenu n'est pas complet, je lui ajoute le 
plus grand cercle possible X, , etc. 

Si l'on est arrêté au bout d'un nombre fini d'opérations, le théorème 
est démontré pour l'ensemble E considéré; sinon, je dis que l'ensemble 
fermé obtenu en ajoutant à p + X-hX, -t- . . . ses points limites, qui 
est évidemment de diamètre D, est complet. En effet, s'il ne l'était 
pas, on pourrait lui ajouter les points d'un cercle A et A,, A^, ... 
devraient être tous au moins aussi grands que A. Or cela est impos- 
sible, car ils sont sans points communs deux à deux et tous intérieurs 
à une circonférence de rayon D décrite d'un point quelconque de E 
comme centre. 

G. Ainsi, pour trouver le maximum du rayon de la circonférence 
circonscrite aux ensembles de largeur D, nous pouvons nous borner 
à la considération des ensembles conqilets de largeur D. lùudions ces 
ensembles. 

La distance d'un point quelconque M à un point C d'un segment AB 
étant plus petite que la plus grande des deux distances MA, MB, si 
deux points A et B font partie d'un ensemble complet, tous les points 
du segment A B en font aussi partie. Donc les ensembles complets sont 
des domaines convexes, c'est-à-dire l'ensemble des points d'un contour 
convexe et des points intérieurs à un tel contour. Un contour convexe 
qui limite un domaine constituant un ensemble complet, s'appelle 
uiia courba orbi forme . 

Soit A un point d'une orbiforme V . F est tout enlière à l'intérieur 
de la circonférence de rayon D et de centre A. Je dis (jue cette circon- 



(') Il peut y avoir des points fronlières de ), (lui iippartieiiiii'iil à c, mais auriin 
|)i»iiil intérieur à \ ne doit apjjarlenir à f?. J'onii'ls la preuve du fail i|iie les rayons 
des cercles qu'on peut ajouter à e atteignent leur liniile supérieure. 



QUESTIONS m: MINIMUM HKi.\ri\ES AUX COUHni:s rmuiioiiMKs. "f) 

férence a un [joiiiL coiiimiiii au moins avec F; sans (|uoi, en cHcl, la 
plus grande distance de A au\ points de F serait inférieure à D, 
soit D — £. En ajoutanlau domaine A limité par Fies points du cercle 
de rayon >:' et de centre A, et certains de ces points sont extérieurs 
à A, on aurait encore un ensemble de largeur D; donc A ne formerait 
pas un ensemble complet, F ne serait pas une orbiforme. 

Ainsi la circonférence de rayon D et de centre A touche l'orbiforme 
en un point B, la circonférence égale de centre B passe par A. Ces 
deux circonférences se coupent en C,, C^ et F est dans le fuseau limité 
par les arcs C , A Co , Cj B C , . 

Soit M un autre point de F; supposons-le situé dans le triangle ciir- 




vilijfne ABC,. M ne peut être entre la corde AB et l'arc AB de 
centre C,, car tous les points de cette région, étant distants de moins 
de D de tous les points du fuseau, sont intérieurs à F. 11 résulte de là 
que la circonférence de rayon D décrite de M coupe l'arc A(>._, en un 
point X et l'arc BCj en un point j3. F est tout entière dans le triangle 
curviligne C, (xj3. a^ contient d'ailleurs des points de F, car M est dis- 
tant de moins de D de tous les points intérieurs au triangle C,aJ3 
et des points des côtés C, Aoc, C, B^ (a et [i exclus). 

Traçons les arcs de rayon D et de centres a et 3 joignant respecti- 
vement BM et AM. Nous obtenons un pentagone II limité par les 
arcsAM, MB, B^, Ba,aA. 

Si l'arc a|3 fait loiil cnlior jiartio de F, F ne peut pas avoir do points 



8o HEMU LEBESGVE. 

extérieurs à H; d'ailleurs, H étant évidemment une courbe orbiforme, 
r ne diffère pas de IT. Si certains points de aj3 ne font pas partie de F, 
Tensenible complet limité par F pourra, au voisinage de M, sortir 
de II; mais, en ce voisinage, il contiendra tous les points de II et tous 
les points intérieurs à H. 

Pour énoncer les résultats obtenus, rappelons que l'on appelle tan- 
gente {on droite d'appui) d'un contour convexe en un point P toute 
droite passant par P et ne passant par aucun point intérieur au 
contour. Une perpendiculaire en P à une tangente en P est une 
normale en P. 

Les tangentes en A et B aux arcs CjAC,, C,BCo sont des tan- 
gentes à F; AB est donc une normale double à F et sa longueur est D. 
Les tangentes à F en M sont tout ou partie des tangentes à II en M, de 




méiu<' pour les normales. C'est dire que les normales en M à F ren- 
contrent toutes l'arc v/^. Donc aucune ne passe par A, à moins que a ne 
soit en A, donc que M soit sur BC,. Dans ce cas particulier, il devient 
un triangle curviligne H, constitué par trois arcs égaux de rayon D, 
décrits respectivement des trois sommets. A, M, j3 d'un triangle équi- 
latéral pour centres, et sous-tendus par les cotés de ce triangle. F se 
réduit à II, si tous les points de A [i font partie de F. Si tous n'en font 
pas partie, F diffère de II,; mais, en tous cas, F contient l'arc Mii 
puisque les points de MB ne sont pas à une distance supérieure à D 
d'aucun des points du triangle C, A[3. 



QUESTIONS DE MINIMUM RELATIVES AUX COURBES OHlillOHMES. Si 

l*"n résumé, si, do A, on abaisse une normale AI» de pied B, AB = I) 
el AB est aussi normale en A : Touto. normale à une. orblfnrmc est 
normale doubln, la cUslancf des deux points d^ incidence est la lar- 
iicur de la courbe. 

De A on peut toujours abaisser une telle normale puisque la ou les 
normales en A répondent à la question. Si l'on a deux normales Ai} 
et AVI, toutes les droites intermédiaires sont aussi normales et l'orhi- 
forme se réduit, entre B et M, à un arc de cercle de centre A. 

A une courbe con\exe quelconque on peut toujours mener une lau- 
j^ente dirigée unique; pour une orbiformeon peut dire, de plus, qu'elle 
a un seul point de contact. Si, en effet, elle toucliait la courbe en A 
et B, les normales A A' et BB , de longueur D, feraient connaître deux 
points A' et B' de l'orbiforme. (]e qui est absurde, car A B' est plus 
grand que D. La lans;en/es et normales à une orbi forme sont donc 
di'ti'rniiiiées par leur inclinaison et iHirient de façon continue 
avec elle. 

7. Considérons une orbiForme P analytique, ou à laquelle du moins 
s'applique la tbéorie des développées. En chaque point de F, le rayon 
de courbure compté vers l'intérieur de F sera compris entre zéro 
et D, les valeurs extrêmes pouvant être atteintes. La développée A 
de F sera une courbe à distance finie, à laquelle, parallèlement à 
chaque droite, on ne pourra mener qu'une tangente. En d'autre> 
termes, les tangentes à A de directions a et x 4- ~ seront confondues, 
quel que soit a. A sera donc une courbe ayant un nombre impair do 
points de rebroussements, trois au moins ('). 

Prenons, par exemple, pour A, une hypocycloïde à trois rebrous- 
sements; el soit F une de ses développantes. Soient w un point décri- 
vant \, lot la tangente en o) affectée d'un sens variant de façon con- 
tinue avec o). (^uand w a parcouru tout A, w< ne revient pas à sa position 
primitive, mais dans le prolongement de cette position primitive, le 
sens étant difTérent. 



(') J'omels les démonstrations rigoureuses; les faits énoncés dans les n"' 7 
el 8 ne seront pas utilisés, ils sont donnés pour Caniiliariser avec la nation 
d'orbifoi me. 

Journ. de Math. (S- série), tome IV. — Année 1921. ' ' 



82 HENRI LERESGUE. 

Quant au point M de mI qui décrit F, il vient, après cette révolution, 
dans une position M,; un calcul immédiat montre que M et M, sont 
symétriques par rapport au point de (x>t qui décrit celle des dévelop- 
pantes de A qui est une hypocycloïde. 

Quand eu a décrit deux fois A, (.0/ revient exactement à sa position 
primitive et F se ferme. F a donc pour normale double toute tangente 
à A, c'est une courte parallèle à elle-même; c'est une courbe double- 
ment parallèle à rhypocycloïde dont A est la développée. Si donc F est 
convexe, F est une orbiforme. 

On comprend ainsi qu'Euler ait été conduit à la notion de courbe 
orbiforme par Fétude des développantes des courbes triangulaires, 
c'est-à-dire des courbes, analogues à Thypocycloïde à trois rebrousse- 
ments, formées par trois arcs de courbes convexes raccordés par des 
points de rebroussement de première espèce. L'élude des courbes 
parallèles aux courbes triangulaires, ou à 5, 7, .. . points de rebrous- 
sement, y conduirait aussi. 

Déformons une courbe triangulaire de façon que les trois arcs qui 
la composent diffèrent de moins en moins des côtés du triangle des 
rebroussements et prenons chaque fois la plus petite développante 
orbiforme; si le triangle des rebroussements est équilatéral, nous 
obtiendrons à la limite l'orbiforme équiiatérale, que nous avons déjà 
rencontrée et que nous avions désignée par 11,. Pour II,, ce qui joue 
le rôle de la développée, c'est le triangle AM[i. Pour II, ce serait 
la figure, limite d'une courbe à cinq rebroussements, formée par les 
droites Ai], Ha, aM, Mp, [ÎA. 

Si l'on imagine que, dans les déformations dont il vient d'être parlé, 
les longueurs des arcs des courbes développées, triangulaires par 
exemple, sont conservées, on peut établir une correspondance entre 
les points to de ces différentes développées transformées. Kt si l'on 
imagine que, dans la déformation d'une développée A, chaque tan- 
gente (ul emporte le segment tu M qui va du point co de A au point M 
de sa développante F, on établit aussi une correspondance précise 
entre les diverses développantes. En particulier, dans le cas où A est 
triangulaire, les différentes développantes triangulaires des A défor- 
mées se correspondent. Or, transformons A en un triangle .\BG, 
ce qui est toujours possible, car entre les trois arcs a, b, c, on a évi- 
demment des inégalités telles que a <Cb -\- c. La développante trian- 



QUESTIONS DE MINIMUM RELATIVES AUX COURBES ORBIFORMES. H3 

gulaire, dans le cas du triangle ABC, est constituée par trois arcs d<^ 
cercles de centres A, B, G et tangents entre eux. Les points de contact 
de ces cercles sont les points de contact avec AB, BC, CA, du cercle 
inscrit dans ABC. De sorte que les points de rebroussements de cette 
développante partagent les arcs de la dévelopjfée en morceaux de lon- 
gueurs connues p — a, p — b, p — c. 

Ce que je veux faire remarquer surtout, c'est que l'orbiforme équila- 
térale est la plus petite courbe convexe qui soit |jarallèle à la courbe 
triangulaire formée de trois arcs de cercles égaux. De même, H est 
la plus petite courbe convexe parallèle à une courbe à cinq rebrous- 
sements formée par cinq arcs de cercle de rayons égaux. 

8. Ce n'est pas seulement par la géométrie analytique que la notion 
de courbe orbiforme s'est imposée aux mathématiciens; si les courbes 
parallèles aux courbes à 3, 5, . . . points d'inflexions et très voisines de 
ces courbes ont reçu une application mécanique, car ce sont les formes 
de raiisqa'on peut adopter pourrpi'en parcourant la voie ainsi construite 
une locomotive se ti'ouve retournée bout pour bout (' ). les courbes 
convexes parallèles à ces courbes-là sont aussi utiles industriellement. 

Pour transformer un mouvement circulaire en mouvement recti- 
ligne on emploie quelquefois une came agissant sur une pièce P, dont 
le mouvement rectiligne est guidé par l'un ou l'autre des deux bords 
parallèles d'une entaille faite dans P, entaille entre les bords de 
laquelle la came peut tourner. On voit de suite que, si l'on veut que le 
mouvement puisse avoir lieu dans les diux sens, auquel cas la came 
doit toucher constamment les deux bords de l'en taille et si le mouvement 
de la came doit être révolutif complet, il faut que cette came soit limitée 
par une orbiforme. 

C'est surtout à l'occasion de probabilités géométriques que les 
orbiformes ont été étudiées. La plus simple des questions de probabi- 
lités géométriques est celte de l'aiguille de Bull'on : On jCifc ot/ 
hasard une aiguille sur un plancher^ quelle es/ la probabilité pour 
quelle rencontre une raie du plancher? Convenons d allrihiier à un 

(') Va cela, parce (pif (|iiiiiul m pait-ourl une lois \. (,i/ ne revient à sa posi- 
tion piiinitl\e i|u'au sens près, n" 7. 



84 HENRI LEBESGVE. 

coiij) le [)oids // si raigiiille rencontre // fois les raies du planclier, 
soit parce que l'aiguille est très longue par rapport à la largeur des lames 
du parquet, soit parce que l'aiguille est courbe. Dans tous les cas on 
peut partager l'aiguille en éléments de même longueur assez j)etite 
pour que chaque élément puisse être regardé comme rectiligne et soit 
moindre que l'écartement des raies du plancher. La probabililé pour 
qu'un élément déterminé rencontre les raies est alors la même pour 
tous les éléments et la probabilité jjour l'aiguille tout entière, étant 
la somme de ces probabilités élémentaires, est proportionnelle à la 
longueur de l'aiguille ('). 

D'autre pari, la probabililé pour que l'aiguille, supposée tombée 
dans une orientation déterminée, rencontre les raies ne dépend que 
de l'écartement des tangentes à l'aiguille qui sont parallèles aux raies. 

Or, si l'aiguille est une orbiforme, cet écartement est indépendant 
de l'orientation de l'aiguille, c'est le diamètre de l'oibiforme et par 
suite l'élude de celte forme d'aiguille s'imposait. Pour une aiguille 
orbiforme^ la probabilité ne dépend que du diamètre. 

En rapprochant cela de ce qui précède, on voit que toutes les orl)i- 
formes de même diamètre ont même longueur. 

Nous retrouverons cela plus laid. Je reviens maintenant à la ques- 
tion de M. Bricard. 

î). Soit A un point du plan d'une orbiforme F de diamètre D. 
Soit C^ le plus petit cercle de centre A conlenani F, soit 11^ son 
rayon. C^ a au moins un point commun avec F, sans quoi on pourrai! 
rapetisser C^; soit B un point commun à C^^ cl à F. AB étant normale 
à F en B esl aussi normale à F en un autre point C, situé sur la demi- 
dioite indéfinie liA d'origine B, à la dislance D de B. 

Si A est intérieur à F, ces points ont la disposition BAC et R^^ D; 
si A est extérieur, on a la disposition BCA et Ra!> D- Plaçons-nous 

(' ) Celle remarque capitale esl due à Darl)ier qui a le premier élaljli la iilatioii 
eiiire les (|uesiions de probabilités et les propriétés des orbiformes {Journal de 
Math., 1860). Je tire celle référence d'un petit Li\re : Conlribulion à l'élude 
des courbes cninexvs fermées, publié à la librairie llermann par MM. Ch. Jordan 
el H. Fiedler, dans lequel le lecteur trouvera des renseignements inléi-essanls 
concernant les orbiformes. 



QUESTIONS DE MINIMIM RELATIVES AUX COVHIÎES OHBIFOIIMES. HFl 

dans la première hypoLlièse, puisque nous voulons chercher le mini- 
mum de R^, pour A variable. Dans ce cas, le cercle c\ de centre A el 
passant par C, dont le rayon /\ égale D — R^, est le plus grand cercle 
de centre A qui soit intérieur à F. La recherche du plus petit cercle C^ 
est équivalente à la recherche du plus grand cercli' i\ ou encore, 
puisque [{^H-/\=D, à la recherche du minimum de R^— /\. Nous 
allons interpréter cette différence. 

Soit A la circonférence de centie A el de rayon p. Établissons sur A 
et r le même sens de parcours direct, les tangentes à A et à F sont 
par là même dirigées. Ktablissons entre A et F une correspondance 
par tangentes dirigées parallèles et soit s. le maximum de i'écartement 
des tangentes correspondantes de A et de F. Si Ton a s> l\^. on a 
évidemment î = p — /\>> R^ — r^; si l'on a p < /\^, on a 

c^ll,-o>li,-/-,. 

Enlin, pour ll^>p>/•,^, la valeur de i est le [>lus grand des deu\ 

nombres R^ — o et c — /\. Il résulte de tout cela que li' minimum de t 

M.V— /•» Ha-haa n 
est — > qui est alti'iiit pour o = = — - 

Si A est extérieur à V, le mmimum de £ est supérieur à — cl il est 

obtenu encore pour p = —, comme on le voit facilement. 

Donc, trouver le minimum de R^revientà trouver le minimum de ï, 
c'est-à-dire à trouver la circonférence qui diffère le moins de F quand 
on établit une correspondance par tangentes parallèles dirigées entre F 
el cette circonférence. C'est un problème à la Tchebyclieff. 

Représentons la courl)e F par ses tangentes, comme on le fait 
toujours quand il s'agit d'une courbe convexe. Soit 

(i) .r rostp -(-y siii o — p =: o 

l'équation de la tangente dirigée à V de direction ç. -i- -• /) est une 

fonction /(çi) bien déterminée et continue. Si l'origine des coor- 
données est intérieure à F, p est constamment positif. Dans tous les 
cas, l'équation p =f(z,) peut être considérée comme l'équation de F. 
Dans le même système de coordonnées polaires langenlielles. 



86 HENRI LEBESGUE. 

l'équation d'un cercle de rayon R est 

(2) /> =: R + a coso -f- 6 sin (B, 

a ei b étant deux constantes. Pour ce cercle A, la valeur de î est le 
maximum de la différence 

(3) !/(?) — (R -1- f? co'^o -f- /> sin©) I ^ I 0(0, R. a. h\\. 

Doue la recherche du iniiiiinum de t est exaclemeul équivalente à 
la recherche de la meilleure appro.iimalion avec laquelle la fonc- 
tion /(o) peut être représentée par une expression de la forme (2). 
C'est le problème même de Tchebycheff. 

10. Tchebycheff a surtout considéré le cas de l'approximation 
d'une fonction continue par un [)olynome. Ses raisonnements ont été 
simplifiés et précisés par MM. Rirclierberger et Borel ('). Le cas de 
l'approximation par des suites trigonométriques finies a été considéré 
par M. J.-W. "^ oung;(-) et par M. Fréchet('). Mais il sera plus simple 
ici de prouver diiectement les quelques résultats qu'on utilisera. 

Remarquons d'abord que l'on a 

(4) /(?-^7:)-/(<p)=D. 

en supposant l'origine intérieure à F, ce que nous réaliserons toujours. 
Donc 

0(0», R. a, II) -^ 0(9 -+- r.. R, a, !>) — D — ■jR. 

Si donc, quand :p varie, a, h, R étant fixes, 0(0, R, a, b) atteint la 
limite supérieure m, il a pour limite inférieure — /t = D — 2R — m. 
Et par suite en prenant 2R = D, nous rendons aussi petit (|ue possible 
le plus grand des deux nombres ni et n. En d'autres termes, |)Our «, 
b fixes, c'est-à-dire le cintre A d'un cercle A étant fixe, on obtient le 
minimum du maximum u. de \o{o^ R, a, />)|, c'est-à-dire la circonfé- 

(') \ uir l'exposilioii qu'en a donnée M. Rorel dans ses Leçuns sur tes Jonc- 
lions de variables récites et aussi la manière oi'iginale grâce à laquelle M. de la 
Viillée Poussin retrou\e et complète les résultais de Tcln'byclifir {/iiiltcli/i clc 
l' Académie royale de Belgique, 1910, p. 809 et suiv.). 

(') Transactions of llie American malhemalicat Society, 11)07. 

(^) Annates de l' l'Jcote I\onnale supérieure. 1908. 



QUESTIONS DE MINIMUM HEI.ATIVKS AUX COURBES ORBIKOHMES. 8^ 

rence A différant le moins de I' au sens précédr-mment indiqué, en 
prenant R = — et alors loi varie entre — a et -+- a. Résultat déjà 

i 2 ' ' ' •' 

obtenu et, en somirie, [)ar le même raisonnement. 

Prenons ainsi 1!, et faisons varier a et />. Si l'un des deux, ou tous 
deux, auf(mcntent indéiiniment en valeur absolue, [j. auf,'(nenle indéli- 
iiiment. Donc le minimum de [x, pour a, h variables, s'obtient pour 
des valeurs linies de a et h. 

Cette valeur minimum de ij. est positive, sans quoi/(9) serait de la 
forme (2) et F serait une circonférence, cas que l'on peul laisser de 
côté. Alors donc, pour les valeurs minimisantes de a d />, varie 
entre [j. cl — r^ et Ton a 

0( 9 -f- Tl) + 0(9) =r O. 

Soient deux valeurs, a et a -+- -, de ç. annulant 0. Dans (a, a -h ~) 
atteint soit la valeur a, soit la valeur — a, ceci est évident; je dis 
qu'en réalité, il atteint les deux. Su[)posons on effet que varie 
entre ij. et — ///, avec m <^ u., et modifions a et A de façon à rem- 
placer a cos^ + Asin^ par a cos'^ + A siu'^ 4- Asin( o — x); deviendra 

d — }. sii) { ra — oc) :n à' 

el Cl' varie entre a' et ///' avec [J- <C [J-- "' <^ ''ï <C I-*-) si A est posilif et 
assez petit. Ainsi a n'aurail pas sa valeur minimum pour les valeurs 
considérées de a et l>, ce (]ui est contraire à rhy[)0tlicse. 

Traduisons le résultat en disant que, pour les valeurs minimi- 
santes a et A, o(cp) atteint ses valeurs extrêmes + [x et — a dans toul 
intervalle (0, -i- u) d'étendue tc. 

La réciproque est vraie : si o(^) atteint ses valeurs extrêmes ■+- iti 
et — m dans tout intervalle (ô, + Tt), pour tout autre système de 
valeurs de a et //, |o(9)| atteint des valeurs plus grandes que m. En 
effet, modifier ti et h revient toujours à remplacer dz) par une 
expression de la forme 

0(9) 1- X sin(9-— ac) _^o'(9), 

et, puisque o(^) atteini -|- m et — //> dans (a, a + t:), dans cet inter- 
valle 0' atteindra des valeurs supérieures à /// si X est positif, des 
valeurs inférieures à — m si À est négatif. 



88 HENRI LKBESGUE. 

Nous pouvons conclure : // exislr loujour.s une circonférence A 
rjtii, dans la rorrcspnndance par lan<i('ntcf; parallèles dirigées, 
di/fère moins que toute autre d une orbifornie donnée F. La cir- 
conférence C^ concentrique à A est la plus petite de toutes celles 
qui enferment F, nous Vavons appelée la circonférence circons- 
crite ; la circonférence c^ concentrique à A est la plus <xrande des 
ci rconfé:re nc.es intérieures à F, c'est la circonférence inscrite. Si 
l'on considère deux moitiés correspondantes de C^ et c^ [c'est-à-dire 
données par les mêmes valeurs (a, a + -) de yj, il v a toujours sur 
chacune de ces demi-ci rconfé rences des points de l\ 

11. Ces propositions correspondent exactement à celles des n"* 1 
et 2; elles sont un peu plus complètes, maiss'appliquent seu'ement aux 
orbiformes. Quant à la similitude des raisonnements, qui va souvent 
jusqu'à l'identité, il est Inutile d'y insister davantage. 

Soit l'équation d'une tangente en A à une orbifornie F 

( I ) .c cos o -h y sin (p — p =0, 

soit 

(j) — x SU] ;p H- j' cusa — y =: o, 

l'équation de la normale» correspondante. /) et y sont des fonctions 
continues de o (n° (»). La tangente voisine est 

((")) X cos(cp -I- Offl) -t- )' siu ( o -4- ôcp ) — p — o/> ^ u ; 

le point commun à ( i ) et (6) est aussi sur la droile 

(71 — X SI 11 O -I- y cos — IJ : s^ : ;r- r= O. 

•' ' ' sin 09 siii 09 

Faisons tendre oç. vers zéro, le point communaux deux tangentes doit 
tendie vers A, c'est-à-dire vérifier (5), donc ■-- tend vers 7. Ainsi : la 
fonction, p = /"(;, j définissant une courbe orhi forme est continue et 
a une dérivée continue. 

(^•tte fonction doit vérifier la condilion 

et uni" autre condilion qui exprimera la convexité de l'enveloppe de ( 1 >. 



OIKSTIO.NS DE MIMMl M IU:i.\TI\KS MX COlRFiKS ( )IUil KOIOIES . 89 

Les coordonnées du point A sont 

x^ p cos c» — p' si n o, r ^ /* sin 9 -i- p' cos 9 ; 

donc, le segment O V projeté sur la direction -l donne 

p co*(-j — 'J-) — // sinl'j. — 'L). 
et, |)0iir la convexité, on doit avoir 

(Si /m L ) >/j(9) cos ci; — 9) +//(9) sin('i; — 9). 

Pour la commodité, posons D = -ir. p = /i -h r e[ rcpn-srntons //< 9) 
par une courbr L comme si // et o étaient deux coordonnées carté- 
siennes rectangulaires. Supposons, de plus, que O est le centre du 
cercle circonscrit à F, alors h varie entre -t- a et y.. 

La condition (8) exprime alors que la courbe L est tout entière au- 
dessus de chaque sinusoïde de la forme 
(8') /i ^T A sin 9 -H B C0S9 — /•. 

qui lui est tangente. Et, comme conséquence de ( '1 ' '"•• {^), on ^oit 
que L est tout entière au-dessous de chaque sinusoïde de la forme 

(8') /( = A sin'j ^ B C0S9 ^ /■, 

qui lui est tangente ( ' ). 

Soient a un point où //(ç.) = o. ^ la plus petite valeur supérieure à x 
où // (o) = =n a et supposons que /> (3) = -f- a. L'arc de L correspon- 
dant à a;^of:^ est au-dessus de la sinusoïde ( 8' ) (|ui lui est tangente au 
point 9 = ^, on a donc 

h(o) Z(r-\- [x) cos {o — ^) — r, 

d'où, en faisant 9 = a, 

/' 

cos(:i — X) . 

r ^- IX 

Appelons cos 6 le second membre, étant aigu. On a j3 — a>6. 

(' ) Ceci revient ;i dire que si l'uii comiiiil un poiiil A <■! une normale dirigée 
en A d'une orbiforme T de diamètre f», on en déduit le second pied B de la nor- 
male AB el r est située entre les tangentes en \ et H et aussi entre les circon 
férences de ravon D et de centres A et B. Comparer a\ec le n" 6. 

Journ. de Math. (**• série), tome IV. — Année 19J1. '2 



qO HENRI LEBESGUE. 

Soit Y la plus petite valeur supérieure à ^ et telle que 9(7) = — u-- 
Quand on passe de fl à 7, h passe de + a à o, [luis de o à — u^; en uti- 
lisant comme on vient de le faire la sinusoïde (8') et de faron analotiue 
(8"), on trouve que y — B = 20. >.ous savons que y e^^t inférieur à «-(--. 
Je dis qu'entre y et a -1- t: il y a encore un point où /*(o) ;= + u.. 
Sans quoi en elTel il n'y aurait pas de tel point entre y — et y -1- - soit 
dans un intervalle d'étendue supérieur à -, ce qui est impossible. 
existe donc et Ton a 

6 — y_27, a. -h r. — ôl6; 

d'où 

D 

Donc 

7: V 3 

/■ ; ('' -+- 1^) cos-^ =(/■-+- p) —, 

d (lù pour le ravon r -+- u. du cercle circonscrit 

Le j)!us i^rand cercle circonscrit est donc de rayon -^; mais celle 

\ 3" 

valeur n'est atteinte que si toutes les inégalités précédentes se changent 
en égalité, auquel cas L est formée de sinusoïdes (8') et (8"). Donc, en 
prenant a ^ o, on a 

p{o)^z -^cosl'j — ^|, de o à {f : 

\.i \ ' 0/ i 

, . D . , - . 27: 

P('j) = =s)nc/^l>, <ie - a—;-; 

D / 57r\ , 2- . 

pio) = ;= cos o ^ , d e -^ a - ; 

v/3 V 6 ; 3 



les valeurs non écrites de p(z>) résultant de suite de la condition (4). 
Or on reconnaît la définition de p(o) pour l'orbiforme équilatérale. 
C'est donc pour elle et pour elle seule que le maximum du cercle cir- 
conscrit est atteint. 



QUESTIONS DE MINIMI'M RELATIVES AUX COURBES OIUtlFORMES. 9I 

12. On pourrait traiter de même le cas des ensembles de l'espace, 
les modifications à apporter à ce qui précède sont banales. Seules les 
considérations du numéro précédent doivent subir des modifications 
assez notables. Mais je ne veux pas traiter à nouveau la (juestion de 
la sphère circonscrite, je dis seulement quel sera ici le problème 
d'approximation de Tcliebychefi". 

I^'équation (i) sera remplacée par 

X coscp sin Q -\- y sin cp sin (j -\- z cos ^ — p = o, 

OÙ p sera une fonction continue de 0, o, à dérivées partielles du pre- 
mier ordre continues. Va nous aurons à représenter au mieux cette 
fonction /j('f , 0) par une expression de la forme 

\'\ — I \ coscp sin Û + B sin © sin 9 4t C cosG]. 

Je signale encore la nouvelle forme que jirendra la relation (4) : si 
l'on suppose ({uey;(x», 0) est définie pour o<!p;^u et quel que soit 0, 

/>(u, 9)4-/^(cp, 9 + 7i) = D. 

Cette relation montre que le contour apparent en projection d'une 
surface orbiforme est une courbe orbiforme. De là il résulte que ce 
contour apparent en projection est de longueur indépendante de la 
direction des projetantes. Minkowski ('), dans un ingénieux petit 
Mémoire, a démontré la réciproque. C'est le seul travail (pie je con- 
naisse sur les surfaces orbiformes. Au point de vue géométiique, celles 
de ces surfaces qui sont analytiques doivent mériter d'être étudiées. 
Leur surface des centres doit être bien curieuse; la correspondance qui 
existe entre leurs lignes de courbure doit aussi être l'origine de faits 
géométriques intéressants. J'ai dit que le problème du maximum du 
rayon de la sphère enveloppante se traitait comme le pioblème plan 
analogue; il y a cependant une difTérence à signaler: 

Il existait une seule forme de courbe orbiforme donnant au rayon 
du cercle circonscrit sa valeur maximum; dans l'espace, il existe une 
infinité de surfaces orbiformes inégales donnant au rayon de la sphère 
circonscrite sa valeur maximum. En voici la raison, une courbe orbi- 

(') O/ùures. I. Il, p. ■'.--;. 



t)2 HENRI LEBESGUE. 

forme de diamètre D est enlièremenl déterminéo quand on l'assujellit 
à passer par les trois sommets d'un triangle équilatéral de côté D; au 
contraire, une surface orbifornie de diamètre D n'est pas définie par la 
seule condition de passer par les sommets d'un tétraèdre régulier 
d'arête D. 

15. Nous avons déjà remarqué que toutes les orhiformes de même 
largeur D ont la même longueur. Comme parmi ces orbiformes se 
trouve la circonférence de diamètre D, elles ont toutes une longueur 
égale à -D. Du théorème des isopérimètres, il résulte alors que la cir- 
conférence de diamètre D est, de toutes les orbiformes de même lar- 
geur, celle qui a la plus grande aire, ■^— ; cette remarque conduit 
naturellement à rechercher quelle est l'orbiforme de largeur D qui a 
la plus petite aire. 

Pour traiter ce problème, j'emploierai ici une méthode purement 
géométrique qui nous permettra de démontrer à nouveau que toutes 
les orbiformes D ont même longueur que celle de ces orbiformes qui 
est circulaire et qu'elles ont une aire plus petite qu'elle. 

Soient a, = o, a^, a.,, ... un ensemble dénombrable de nombres, 
positifs et inférieurs à-, partout dense dans (o, ~); je pose ol, = a,+ 7:. 
A chaque entier /, j'attache les deux tangentes T,, T^ , de directions a, 
et a^ , d'une orbiforme donnée. Cette orbifornie sera parfaitement 
déterminée par la connaissance de cette infinité dénombrable de tan- 
gentes; sa longueur et son aire peuvent être considérées comme des 
fonctions des nombres a,. Les problèmes de Calcul des Variations rela- 
tifs aux orbiformes peuvent ainsi être considérés comme des questions 
de minimum pour des fonctions des variables a,. Cette transformation 
banale est ici avantageuse. 

Nous allons, pour une orbiforme (juelconcjue, calculer L et S comme 
limites des nombres analogues relalifs au polygone circonscrit 11^, 
formé par les tangentes T,, T',, T,,, T'^, .. ., T,,, T^,. On passe de 11^, 
à 11^,^1 en enlevant de 11^, deux triangles; pour préciser, supposons 
que a^^., soit compris entre les deux nombies a^. et %f, de la suite a,, 

Les tangentes 'L, et T„, distantes de la largeur D de l'orbiforme, et 
les deux tangentes T/^ et T^, distantes aussi de D, for nrent un losange 



QUESTIONS DE MINIMUM RELATIVES AUX COURBES ORBIFORMES. Cf3 

dont les points A el A' de rencontre de T^ et T^, de T^et ï;^sont deux 
sommets opposés. De sorte que AA' est la bissectrice de T„ et de T<, 

de T'^ et de T^ dont la diieclion est r'" ^ "*" 2)' 

Si T/,+, rencontre T„ en M et T* en N et si, de même, T'^^, ren- 
contre T'„ et T;j en M' et N', MM' et \N' sont les bissectrices extérieures 
des angles AMN, \'M'N'; AN M, AN' M'. Les deux trian5,Wcs AMN, 
\'M\' sont donc lioinothètiques, le centie d'Iiomotliétie étant le 
(•entre à la fois du cercle exinscrit dans AMN. suivant le cùté MN, et 
du cercle analoi;ue relatif à \'M'i\'. 




La longueur MN -l- M' N' est la base N'/;« d'un triangle semblable à la 
fois à OMN età O MN' et dont la bauteur est la somme Ddesbauteurs 
de ces triangles. MN -I- M'N' a donc une valeur que l'on peut calculer 
dès que l'on connaît a„, a^,+,, ot^- et qui est indépendante de celle des 
orbiformes de largeur D que l'on considère. 

De même AM + A'M' et AN-f-A'N' ont des valeurs connues, 
celles des longueurs des côtés am, aN' d'un triangle 0,, semblable 
à AMN et de base MN + MN'. Donc, quand on passe de II,, à 11^,, 
un diminue le périmètre du polygone circonscrit d'une longueur bien 
déterminée Dî^,. 

La longueur de 11,, est donc égale à 

longueiii' de IK — D(£o -H cj + . . -^ c^_i ■> ; 

elle est donc la même pour toutes les orliiformes de largeur l) et. par 
suite, celles-ci ont toutes même longueur; résultat déjà connu. 



94 HENRI LEBESGt'E. 

14. Évaluons de même la différence entre les aires de 11^+, et IT,,; 
c'est-à-dire la somme des aires des triangles AMN, A'M'N'. Cette 
somme est égale à l'aire du triangle 6^, déjà considéré, semblable 
à AMN et de base MN + M'N', multipliée par '/r -t- (i — >>)' ^' \' ^^^ 
le rapport .^ï^^^j^. 

Le triangle 0^ est indépendant de l'orbiforme considérée; c'esl- 
à-diic de la forme particulière du polygone 11^,; il en est de même 
de son aire. La soûle quantité qui varie d'une orbiforme à l'autre 
c'est la grandeur de la quantité )y qui peut varier de o à i. Or, le 

multiplicateur | /^J, + ( i — /■/,)' | est minimum pour A^, = - , c'est- 
à-dire MN = M'N', et maximum pour Kj,— o, ou i, c'est-à-dire MN 
ou M'N', égal à zéro. Los deux limites entre lesquelles peut varier 
l'aire de 11^^ sont donc, en désignant par v]/j l'aire de 0^,, 

aiie de IIj — - ( -n, -+- ru -h ... -I- ïi,>_i ) 
et 

alredellj— (ï),-|- r/3 -t- . . .-h y),,_, )• 

Et puisque l'aire de l'orbiforme est la limite de Faire de II^j, les maxi- 
mum et minimum de celte aire seront 

aiie de H., (r,., -h "/i,-!-. . .) 

2 

et 

airedellj— (r;^ -t- rj3 -(-...) ; 

du moins s'il existe bien des orbiformes ])our lesquelles ces limites 
sont atteintes. 

Le maximum est atteint pour une orbiforme telle que l'on ail eoiis- 
tamnienl MN=:M'N'; alors les deux triangles AMN, A'M'N' sont 
égaux et les deux circonférences de centre O exinscrites respective- 
ment dans AMN et A'M'N' étant de même rayon, sont confondues. 
Le point O est donc également distant de T^, T' , T^, T)^, T,,^,, T'^^, ; 
par suite, en raisonnant de proche en proche, on voit qu'il existe un 
point O égaletnenl distant de toutes les tangentes à l'orbiforme (pii 
est donc une circonférence. Ilésullal connu. 



QUESTIONS DK MIMMLM ltEI,\TIVES AIX COIHUES OBBIIOHMES. (p 

16. Le minimum indiqué serait atteint si Ion avait conslam- 
nicnt MN = o ou \r.\'=o; on va voir que cela est impossiLlf, en 
général, de sorte que le véritable minimum est pins petit que celui 
que nous avions trouvé plus haut. Ceci peut paraître en contradiction 
avec les dernières lignes de ma Note des Comptas rendus des séances 
de la Socièlc mathématique de France, igi4, p- 76. Aussi je vais 
développer ici le raisonnement indiqué en quelques mots seulement 
dans la Note citée. 

Sans précautions parliculières, on ne peut pas avoir constamment 
MN.M'N'^o; supposons en efiet que IL soit un carré ABCD;T., 
ou T!, devrait passer par un sommet de J\.,; par A, par exemple. Alors 
A appartiendrait certainement à i'orbiforme, AB et AD seraient donc 
deux normales à la courbe; B et Oseraient deux points de I'orbiforme. 
ce qui est impossible, car BD =: D v'2. 

Mais nous allons voir qu'en choisissant convenablement les orienta- 
tions a, , a^, il est possible que la condition MX . \\ \ — o soit réalisée 
à partir dii passage de II^ à H,. 

Prenons a.^ = o, a^, = ^; IL est un losange formé pardeuv triangles 

équilatéraux accolés par leur base. L'aire de IL est la même pour 
toutes les orbiformes. 

Prenons a., = "^-^ si la condition MN. M \' = o est remplie, l'une 

des tangentes T3 ou T3 passera par l'un des sommets de IL en lequel 

l'angle de IL, est ^ • Soit A ce sommet, soit ABCD le losange. Alors 

A fait partie de I'orbiforme, donc les perpendiculaires en A à AB et 
AD sont deux normales et leurs points de rencontre, respectivement 
avec CD et BC sont deux autres points ^ et y de I'orbiforme. Mais 
A ^7 est équilatéral ; I'orbiforme est donc I'orbiforme équilatérale. 
C'est par celle-ci, et par celle-ci seule, que le minimum est atteint. 
Ainsi V orbiforme d'aire minirnitrn est Vorhi forme équilatérale: 

son aire estïi'-\'j^ ~ V ) (')• 



(') Le calcul elTeclif des £ et rt fournil des identités intéressantes, mais qui 
ne dillërenl pas de celles que donnent les calculs classiques de t.. 



()6 HENRI LEBESGUE. 

16. Présenté sous la forme précédente, l'artifice paraît très spécial 
et basé entièrement sur le fait que toute normale à une orbiforme est 
une normale double. On peut lui donner une forme qui le rend utili- 
sable dans des cas assez variés. 

Supposons que nous ayons à cbercher le minimum d'une fonction 
de contour F(c), qui conserve la même valeur pour deux contours 
hoiuothétiques et dont le minimum ne puisse être atteint que par un 
contour convexe. Il sera alors tout naturel de déterminer ces contours 
par leurs tangentes de directions a,, a^, . . ., les a^, étant des nombres 
donnés partout denses dans (o, 2-). Les p premières tangentes 
forment un polygone II/,; le passage à 11^,^., fera passer la fonction 
de F(1I^,) à F(n/,^,) et, grâce à la condition d'bomothétie, il arrivera 
souvent que le gain, ¥{]\p) — F(n^^+|), le meilleur qui puisse se réa- 
liser, soit indépendant de 11^; on déterminera donc alors facilement 
les tangentes successives, donc le contour minimisant. 

Pour retrouver ce que nous avons fait précédenmient, il suffit de 
recberclier, pour les orbiformes, le maximum et le minimum du quo- 
tient -^i du carré de la longueur à la surface; dans ce cas, pour tenir 

compte de la définition de l'orbiforme, on déterminera toujours simul- 
tanément les tangentes de directions a^, et a^, + -. 

J'ai montré, dans la i\ote citée, qu'ainsi présenté, l'artifice réussit 
très bien pour le problème des isopérimètres, problème qu'il faut ici 

énoncer comme étant encore la recherche du minimum de ^; mais 
cette fois pour toutes les courbes possibles. 

On voit, qu'en somme, on trouve avantage à ne pas raisonner sur 
une intégrale, comme on le fait ordinairement dans le calcul des 
variations, mais à raisonner sur une expression construite à l'aide de 
plusieurs intégrales. 



RECHEnCIIE DES 1>01NTS SINGULIEKS DE CEHTAINES FONCTIONS. 



S//r la i-fclicrclic des points si/ii(uliers de certaines /onctions 
définies pnr leur développement de Tayior; 

Par J. SOILA. 



INTRODUCTION. 

1. Les problèmes abordés dans le présent travail peuvent être 
classés en deux catégories : 

A. Je me donne deux séries de Tayior dont les rayons de conver- 
gence ne sont ni nuls, ni infinis : 

3(j;)= 7 a„x" , l'{x) ^^/, ^n~g"- 

n = /| = 

Elles définissent deux fonctions analytiques. Je désignerai, dans tout 
ce qui suit, la série Za,J>„x" par H|ç/(.t), />(./•)] ou par H| s, A], et ce 
symbole représentera aussi la l'onction analytique correspondante. 
D'après un tbcorème de M. Hadamard, tout point singulier a de 
H I o, A I est égal au produit Sy d'un point singulier ji de çi(.r) par un 
point singulier y de k{x). M. Borel ('), puis M. Faber (-) se sont 
demandé dans quels cas on peut affirmer qu'un produit ^y est bien 
singulier pour H [9, A|. i^n fait. I^y peut être un point régulier de 

(M BonF.i,, >■"/• les sin^^alarilés des séries de Tayior (Bull. Soc. math. 
de France, l. \.\\ I. p. ^:î<S). 

(-) Fabeh, .laliicsbericlite dcr de<ilr.clie malhematiker f'erei/u'^iin^. 1907, 
Hd XVI. 

Jouin. (le Math. (S- série), loiiio IV. — Kasr. Il, 1931. ï-' 



f)8 J. SOULA. 

Hl^, />■] et la disparition de celte singularité se produit souvent quand 
il existe un autre point singulier [il' de 9(-t') et un autre point singu- 
lier y' de k(x) tels que py ^ ^Y ' ^^ "l^^ nous exprimerons en disant 
que [Jy pei/f (Hre obtenu plusieurs fois. Il peut arriver que [iy soit 
point régulier de H[ç, A] sans que ^y soit obtenu plusieurs fois. On 
verra de nombreux exemples de ce fait dans ce qui suit; je signale 
dès maintenant le suivant : 
Je pose 

©(.r|= > cos — - — j". 

On sail que cos^^^ — est une fonction entière de u, de genre inférieur 

à I. Il en résulte, d'après un théorème de M. Leau, que 9(.') n'a pas 
d'autre point singulier que le point i , qui est d'ailleurs point essentiel. 
Je prends ensuite 

/,(,r) r="y ./■(■/"-!; = _ 

série présentant un grand nombre de lacunes et qui, d'après un théo- 
rème de M. Fabry, admet son cercle de convergence comme coupure. 
[i étant égal à i, y étant un point quelconque de module i, la singu- 
larité jiy disparaît, bien que [3y ne puisse être obtenu qu'une fois, 
o{x) n'ayant qu'un point singulier : on a en effet HI9, A] — o. 

Pour étudier de telles disparitions de singularités, nous aurons à 
faire usage de l'une des re.narques essentielles de M. Borcl. Supposons 
que o(./-'') admette un point singulier isolé et sépdi-ahic. J'cnlenilrai 
par là. dans tout ce qui suit, que l'on peut écrire 

'j,(./;) n'ayant pas d'autre singularité (jue [i à distance Unie, •l>(^.') 
étant régulière en [i. Soit y, un point singulier de la fonction /<(•'■), 
si [iy ne peut être obtenu ou'une fois, l'allure de la l'onclicjii il| o. A | 
en ^y ne dépend que de la partie irrégulière ©((x), elle est l;i ménie 
([ue celle de 11 1 9,, A |. M. Borel signale ensuite des catégoiics de 
points singulieis [i, les pôles entre autres, pour les(|uels Il|'f. A| est 
toujours irrégulière en [iy, si ,jy ne peut être obtenu (|u'une lois, et 



HECIIKRCIIK DES POINTS SINGULIEHS DE CEIiTAIXES FONCTIONS. <)g 

cela, (|iielle (|ue soit la fonction /.('-■), irrégiilière en y. J'ai été ainsi 
condiiil à nie poseï' les c[ueslions suivantes : 

I" A (jiielles conditions un point singulier [i de 9(xj esl-il tel 
que ll|o, A] admette le point singulier ^y toutes les fois que k(x) 
est singulière en -' et que ^y no peut être obtenu qu'une seule fois? 
Si 3 possède cette propriété, je dirai que c'est un poirif singulier 
pi-iinipal de 'f('). Cn piMe est un point singulier principal, le fait, 
pour un point singulier séparable, d'être ou de n'être pas principal, 
ne dépend que de la partie irrégulière. Je serai ainsi conduit à tiaiter 
d'abord le cas où 9('") n'a qu'un point singulier. 

2" Je considère la fonction 9( '), admettant, entre autres points 
singuliers, un point singulier |3. ]->st-il possible que H[o, k\ admette 
toujours le point singulier [îy- ^luand k(^x) est singulière en y et cela 
même si ^y peut être obtenu plusieurs fois? Si J3 possède cette pro- 
priété, je dirai que c'est un point singulier principal ahsolu. 

B. Je me donne la fonction ç>(x) = la,,./," et une fonction £^(«), 
définie pour a = a„(« = o, i, 2, ...), qui sera, en général, holo- 
morpbe pour ces valent s de la variable. Je cherche les points singu- 
liers de F(./) = S^'(a„ )./■" en supposant connus ceux de ^(-r). 

Ce problème a été traité dans des cas particuliers importants et 
les résultats obtenus sont bien connus : je ne puis tpie renvoyer à 
V( )uvrage de M. Hadamaid : k(i série de Taylor el son prolongement 

analytique ('). Je citerai les théorèmes de M. T.eau (-) : si a„— - et 

si l'on prend g{ u) holomorphe pour // = 0, F(i) n'a que le point 
singulier i ; si a„ = n et si g{u) est fonction entière d'ordre inférieur 
à I ou égal à 1 (jar excès, F(a) n'a que le point singulier i. qui est 
essentiel. Ces théorèmes ont été démontrés à nouveau, notamment 
par MM. Le Roy et Faber (^). M. Leau traite encore le cas où g{u) 

(') Colleclion Scicntia. G;nilliiei"-\ illars. 

(-) LEAr. Recherches sur les siiigularilcs d' une fonction définie par une 
série de Taylor {Journril de Liouville, t. V, 1899). 

(') Lu Roy, Sur les séries divergentes el les fonctions définies par un dcfe- 
loppenienl de Taylor {^Annales de la Faculté de Toulouse, t. II, 1900, p 0.4 1 
el 3'i9). — I'aiii-ii, Mat/ieniatisclic .inmilen. ii|i>ô, Bd LN'II. 



lOO J. SOULA. 

esl une fonction entière et où d(.c) vérifie certaines conditions. Les 
résultats les plus simples sont ceux où f{x) n'a que le point singu- 
lier I et où il existe un nombre positif gr tel que |i — a?|^| <d(,/;)| soit 
borné au voisinage du point i, ce que j'exprimerai en disant qi.e ce 
point singulier est d'orcb-e fini et que son ordre est q. F(x") n'a 
encore que le point singulier i si y <^i; ou bien, si çf > i et si l'ordre 

de la fonction entière g{u^ est inférieur à _ • 

M. Fabry (') a traité le problème quand «„= n et quand i,'\'/) est 
holoniorphe dans un angle qui admet la partie positive de l'axe réel 

pour bissectrice et telle, de plus, que -j — r L| i,'(«)| devienne inférieur 

à tout nombre positif donné dès que |m| dépasse un nombre 
convenable. Nous exprimerons ce fait, dans la suite, en disant 

que -| — j-L|^'(m)| a uniformément zéro pour plus grande des limites 

dans cet angle. M. Fabry a montré que F(it), n'a, dans ce cas, 
pas d'autre point singulier que i sur son cercle de convergence. 
M. Le Roy(-) a traité le même problème dans un cas particulier. 
.MM. Mellin et Lindelôf(') ont étudié la même question que ^L Le 
Roy et des questions analogues. 

*2. F^es méthodes que j'emploierai présentent quelques analogies 
avec celles que M. Volterra a créées pour étudier ce qu'il appflle la 
composition de première et deuxième espèces {^). Je considère 
H[s, A] comme transformée de, /\(x') par une opération distributive 
par rapport à l'addition. Il y a lieu d'étudier l'effet de plusieurs opé- 
rations successives et l'on voit que, transformer p fois /i(-f) revient à 
effectuer l'opération H[ç./,(x-), /i(x-)J en posant cp/,(-^') = -«Ji-x""- 



I ' ) Faiirv, Sur les points singuliers (fune série de Taylor {Journal de 
Liouville, t. IV, 5*^ série, 1898). 

(^) Le Roy, Mémoire cité. 

(') LiNDELoF, lierons sur le calcul des résidus {Collection lioret, |). 108 
et suiv. ). 

(*j Voir, par i^xuiiiplc. N'oltebra, Leçons sur les fonctions de lignes (Col- 
leclion liurel). 



RECIIEKCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. 10 1 

Il faut étudier aussi Topération inverse de la précédente, c'est-à- 
dire celle qui s'obtient en nniplaçant ç^r./") par o_, (./; ) = > ^— • 

On a pu construire des théories générales des opération? distri- 
butives ('). Toute théorie de la transformation T qui remplace F 
par T(F) demande l'étude préalable de la transtoiniiition (jui rem- 
place F par 

/.T( F) + /.-T-( F) -+- . . . -I- /./'T/'(F) -I- . . . , 

T^" étant le résultat de/» transformations T. Cette étude préalable a 
fait, par exemple, l'objet des théorèmes de M. Fredholni dans le cas 
de la permutabililé de deuxième espèce. On passe ensuite de la trans- 
formation précédente à la transformation qui remplace F par (*) 

F(F) = C,/.ï(F)-i-C,/.^T(F)-f-G,>.'T(Fi-... 
et qui fait correspondre B(Fj à la fonction analytique 

-(A) = G, /. -h cj:- -t- C'A, -h . . . . 

Nous verrons, de même, qu'il est possible de déduire l'étude de la 
fonction 

\\{.r,'/.)— C,À9(j?) -i-Cj/.îO-(j:-) -h. . .T-CpÀP^pCx) -(-. . . 

de celle de 

Q(a:,À) = /,s)(a:)-f-/.-?j(j)-l-... -hlPOp{x) -h 

Or, la deuxième est formellement égale à — A "V et la pre- 

/. 

mière à ^ g(Aa„)x'', ce (jui permet de prévoir que le problème B, 
dans le cas où irU/) est l'onction analytique de u, se ramène au pro- 
blème B particulier où ir(«)~ ^" ^^ faudra donc taire l'étude 

X — - 
u 

de Q(.r, X) et nous n'y parviendrons que pour des fonctions o{x) 

particulières. 

(') Fo//- PiNCHERLE, Atti delta li. Accadeinia dei Lincci, 3 noveuiLre 191 !. 
(') Voir VoLTERRA, Ouvrage cité, et Lebesgie, Sur un thcorèmc de M. VoUerra 
{liull. Suc. math, de France, t. 40, 1912). 



Je n'emploierai pas d'ailleurs, explicitement, la méthode de 
MM. Volterra et Lebesgue, mais une méthode équivalente indiquée 
par M. Borel('), dans un cas particulier. Pour juslilier le calcul 
formel qui précède, plusieurs méthodes peuvent être employées : je 
m'appuierai toujours sur la méthode due à M. Montel(-). Quelle qre 
soit la méthode employée, il importe toujours de commencer par la 
recherche d'une borne de Q(r, A) quand./; et X varient dans certaines 
conditions. 

5. Les problèmes A et B sont liés l'un à l'autre au point qu'il est 
préférable de ne pas les étudier séparément. On verra que la condition 
nécessaire et suffisante pour que le point singulier, supposé unique, 

de la fonction cp(^:)soit principal, est que la fonction ^-.(.r) = T] — 

n'admette qu'un point singulier, ce qui ramène le problème A à un 
problème B. Mais, d'autre part^ la nature de la fonction Q(x, A), 
considérée comme fonction de -a;, dépend dé la question de savoir si 
les points singuliers de o(x) sont ou ne sont pas principaux. J'ai été 
ainsi conduit à m'occuper alternativement des deux problèmes. 

Dans la première Partie, je reprends l'étude des théorèmes de 
MM. Leau et Fabry. Je généralise un des théorèmes de M. Leau en 
traitant le cas où ?(as) n'a qu'un point singulier d'ordre q inférieur à i 
et où g(u) est non plus entière, mais holomorphe à l'origine. Je 
reprends ensuite la démonstration du théorème de M. F'abry relatif 

aux fonctions de la forme y^ g[n)x" ; la même méthode permet de 

traiter des eus particuliers, celui de M. Le Roy, entre autres. 

La deuxième Partie est consacrée au problème A. J'y donne des 
conditions pour qu'un point singulier soit ou ne soit pas principal et 
des exemples de points principaux et de points qui ne le sont pas. 

La troisième Partie utilise les résultats de la deuxième pour l'étude 
du problème B en ne supposant plus que la fonction 9(.f) n'a qu'un 
seul point singulier, mais en adoptant des hypothèses plus générales. 

( ' ) BoREL, 5m/' ta recherche des points singuliers des séries de Taylor ( C. li. 
Acad. Se, 12 décembre 1898). 

(') Mo.vTEi-, Leçons sur les séries de polynômes, p. 27-28. 



HECllKKCHE DES POINTS SI.NGLLIERS HE CERTAINES FONCTIONS. I o3 

J'ai reçu de nombreux ercouragenients de MM. Borel, Fabry, 
Hadamard et Vessiol; je dois surtout beaucoup à M. Montel qui m'a 
aidé de ses conseils avec une inlassable bienveillance. Je liens à leur 
exprimer à tous ma viv<' reconnaissance. 



PREMIERE PARTIE. 

4. Géncralisatioii d'un théorème de M. Leau. — J'aurai besoin 
de traiter le problème suivant : Dciir points x cl z parcourent d'um- 
manière indépendante un rontour fermé: étudier le domaine 

formé par les points t -= —■ 

Je suppose d'abord que le contour est une courbe simple C, entou- 
rant l'oriaine/convexe, et même (il n'y a pas d'inconvénient à parti- 
culariser ainsi le problème) que celle courbe est une ellipse C ayant 
son fover à l'origine O. Je désij,'ne son excentricité par e, et le 
domaine cherché, par D. Je pose / = re'^; on voit que le module /• est 
donné par 



où l'argument 9 et le paramètre w peuvent prendre toutes les valeurs. 
o étant donné, /• vérilie, si / fait partie de D, 

/•-(i — e-) — 2/(1 — f-cosç/) H- 1 — e-ao, 

de sorte que le domaine D comprend deux courbes F, et Fj. entourant 
l'origine et la région située entre ces deux courbes. F, et T. appar- 
tiennenl à une même courbe algébrique d'équation 

r-(i — e-) — ■2r{i — e- cob 9 ) -h 1 — e- = o ; 

elles se coupent au point i tiui est point double de la c<uirbc algé- 
briipie. Les tangentes au point i, symétriques par rapporta l'axe réel, 

font avec lui des angles dont la tangente est i — rr- • Ln tel angle 



I04 J- SOULA. 

peut être rendu arbitrairement petit, il suffit de prendre c assez 
voisin de i. 

^'importe quel point du plan peut appartenir à D, s'il ne se trouve 
pas sur l'axe réel, il suffit que rexcenlricité soit assez grande. En 
exprimant que le point re'^ appartient à D, jai, en effet, 

r- — 2r coso + i 
Or, 

{r-iy 



1 r coso -t- I 



<i. 



Tous les points du cercle 7'^= i appartiennent à D; la courbe 1', est 
intérieure, la courbe Y., extérieure à ce cercle, car le produit des 
valeurs de /• correspondant à une valeur de o est égal à i. 

La demi-droite L qui est située sur l'axe réel, du coté positif, qui 
part du point i , n'a en commun avec D que le point i . 

Je vais traiter maintenant la même question en remplaçant le 
contour C par un autre contour C défini de la façon suivante. Je trace 
un arc de spirale logarithmique d'équation p = ae'"'^ (a et m positifs), 
et je marque les points A(cd ^ o, p = a) et B(aj = — 27!:, p = ae-""'). 
Les tangentes à cette courbe font, avec les rayons vecteurs aux points 

de contact, un angle V tel que tangV = Je désigne par a l'angle 

aigu et positif tel que tanga = — ; j'ai V = — a. Je trace ensuite une 
droite AD, au-dessous de l'axe réel ()./•. faisant avec lui un angle aigu 
dont la valeur absolue est y.', tel que o <^y.' <^'x <^—- AD coupe 
l'arc de spirale en D voisin de B. 

Je raccorde la droite AD et l'arc de spirale en liaçanl deux petits 
arcs de cercle a^ et y^ tangents à ces deux lignes; a est pris très 
voisin de A, et o très v(jisin de D, sur l'arc de spirale AD. Le 
contour C sera formé de l'arc de spirale oa, du segment de droite [By, 
et des deux raccords «^ et yo. Cherchons le domaine D' occupé par le 

point t — - quand x et - parcourent C. 

On voit d'abord que D' est borné, ne ^conliciit pas l'origine, et se 
transforme en lui-même si l'on remplace un de ses poinis / par-- 



UECIIEUCHK l)l"S I>01.M> ■-l M ;II,IKHS KK CEItTAINES FONCTIONS. H).5 

Il est facile de vi.ii (jiic D'à des points sur tous les ravoiis vecteiUb 
issus de rorigiiic < ). l'our trouver les |)oints sur le rayon d'argu- 
ment o, il suffit de faire pivoter un an^le ét^al à i autour de < >. ( n de 

Fig. .. 




ses côtés coupe C en x, l'autre eu ;, et l'argument de — est o. 
— I ne garde pas la même valeur quand l'angle l(jurne, de sorte qij'il y 

a plusieurs points sur chaque rayon issu de ( ) ; le domaine D' est une 
sorte de couronne entourant l'origine. 

Pour l'étudier d'une façon plus précise, nous considérerons D' 
comme engendré par une courbe C, qui est elle-même le lieu du 
point — = ^ quand r reste fixe et quand ./• parcourt C. ('ette courbe 
est semblable à C' et passe par le point Z = : . Elle fait en / = i , avec 
l'axe réel, un angle égal à l'angle de C avec le rayon vecteur (); du 
point :;. Cherchons, d'après cela, la forme de 0' au voisinage du 
point I. Il suffît de chercher l'angle que fait, avec l'axe réel, la tan- 
gente T- à la courbe Cl au point i et de suivre ses variations (juand r 
parcourt C (voiryïi,''. 2). Je trace, au point i, les droites RR' et S5', 
dont les directions au-dessous de Oj: font avec lui les angles aigus x 
et a'. Si z parcourt l'arc oa de la spirale, la tangente T^ reste sur KR'. 
Si z parcourt l'arc a^, on voit que T. balaye un angle RS', (^etson 
opposé R'S, ), S, S', est la position de T^ [)Our j en p; elle est aussi 
voisine de S'S qu'on le veut, si l'on considère le raccord ^ comme 
infiniment petit. 

Journ. de Math, (s* série), loiiic 1\. — Kasc. II, 19J1. '4 



Io6 T. SOULA. 

Quand ;; parcourt le serment de droite ^y, l'angle aigu di^ T^ 
avec O.r diminue et T. balaye les angles opposés S, S^ et S', S,, S.S^ 
étant la position de T. (jui correspond à y. Si, enfin, s est sur le 
raccord yo, T- balaye les angles S.R'et S;R. Finalement, T^ n'est 




jamais dans l'angle RS (ou R'S) et elle peut être aussi voisine qu'on 
le veut des deux côtés de cet angle, si le raccord a^ i-st assez petit. 
T- occupe toute autre position à l'intérieur des angles RS, , R'S,. Au 
voisinage de i, D' a des points infiniment voisins de i sur tout rayon 
dans l'angle RS', et n'en a aucun sur un rayon de l'angle RS. D' présente 
donc une sorte de pointe. Ajoutons que D' est évidemment une aire 
bornée par une frontière qui est une courbe formée d'arcs analytiques, 
.le dis maintenant que ranp;lc RS (au-dessous de Ox), est entiè- 
rement extéiieur à D'. Je trace une droite L' située dans cet angle. 
Elle fait avec O / ; un angle aigu dont la valeur absolue vérifie 

o < a'< <; X < -. Si cette d<i.ii-droitc ivucontiail D' en un point / 

autre que i, on aurait x = Iz^ jc et z étant deux points distincts de G'. 
La demi-droite ;;L' déduite de L', en multipliant l'aflixe de cbaque 
point par :;, rencontrerait C en un point x autre que z. On peut 



RECIIKHCMK DKS l'DINTS SlNCil I.l KUS DE CKHTAINES FONCTIO.NS. lOT 

tracer z\j' pour clia(|ue point - de C, elle part de - et fait avec le 
rayon vecteur un an^lc é^Ml à - 0. Si ; est knr l'arc de spirale, ^L'esl 
exlériiiir à ( "/, |)ui<ijui' la taii^eiilr fait, avec le rayon vecteur, un 
an^le iiéijatif — x et ijue Ton a a > Si c décrit (>' en entraînant zh' 
avec lui, zL' ne se confondra jamais a\ec une Lan^ente, (]ui m- fail 
jamais l'angle avec le rayon vecleui-. : 1/ est donc toujours dirigé 
vers l'extérieur de C. li reste à savoir si cette droite ne va j)as ensuite 
couper le contour (V en des points éloignés de z. L'étude de la figure 
montrera aisément qu'il n'en est rien. L(i dcmi-droitr L' est donc 
c.vlériewe à D' pour a.'<^0<^a et cl n'a avec D' aucun poinl 
commun aultc que, i . 

Par contre, D' conlicnt un sci^mcnt mn de l'arc rccl et i est situé 
sur ce segment entre m et ii. 11 n'y a qu'à remarquer qu'on [leut 
prendre sur C deux points xcXz de même argument. On peut choisira 
voisin de V et .r voisin de B. Alors - est voisin de i--'^'"' et, en prenant 
le raccord assez petit, cette quantité est aussi voisine de c-'"' qu'on le 
veut. Le segmcnl mn peut donc englober loul poinl de l'axe réel, il 
n'y a qu'à prendre m assez grand (et, par suite, a et x' assez petits). 

Est-il possible de tracer un chemin entièrement intérieur à I)', 
joignant un poinl de module inférieur à i,à un point de la ligne L? 
On peut répondre anirmativement, puisqu'il y a des contours C. qui 
coupent L et qui ont des points intérieurs au cercle de rayon i , il 
suffit de prendre z sur [iy pour s'en rendre compte. C. possède alors 
deux points réels d'argument zéio et dont les modules sont l'un supé- 
rieur, l'autre inférieur à i. Mais il esta remarquer que ces chemins ne 
coupent pas les lignes T/ et sont, par suite, situés au-dessus d<'0 /•, au 
voisinage de L. Ils ne permettent d'aborder L que du côté supérieur. 

On peut considérer le contour C' symétrique de t^' par rapj>ort 
à Ox'. Il donne lieu à un domaine D" possédant des ()ropriélés ana- 
logues à celles de 1)'. Je signalerai que l'on peut tracer des chemins 
situés dans D" allant de points intérieurs au cercle | r | = i jusqu'à des 
points de I. et abordant I, du côté inférieur. 

,Ie remanpierai ("ilin cpie l'on peut associer uu conlour (. cl un 
ciiulour ( "/ de fuciin ijuc Ir dunHUue formé par ht réunion de H 
el D' recou\-re enlièreuicnl un cercle usse' pi'lil de centre i. Il sufdl 
que l'angle US, soit intérieur à l'angle des tangentes aux courbes P, 



I08 -I. SOULA. 

et l\ et pour cela que l'ellipse C soit assez excenlrique. On peut donc 
se donner C, C existe tel que la condition précédente soit vérifiée. 

o. Je considère deux séries 

9 ( x) — l a„ .r" et f{.r) = l h„ ,r " 

qui définissent deux fonctions analytiques <ù(x) et /(x). Je suppose 
qu'elles soni holomorphes dans tout domaine fini comprenant l'origine 
et n'ayant aucun point commun avec la demi-droite L et aussi dans 
tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec une demi-droite 1/ 
située, par exemple, au-dessous de l'axe réel, qui fait avec lui un 
angle aigu quelconque et qui part du point i. C'est ce qu'on peut 
exprimer en disant que ces fonctions n'ont à distance finie pas d'autre 
point singulier que i, quand on n'effectue que des prolongements 
analytiques qui ne font le tour d'aucun point singulier. 

J'admets de plus que l'on a an voisinage de a-' = i, et pour toute 
valeur de ./; située dans un des domaines qui viennent d'être précisés, 

l9(-)l<i:^' '/(•'■)i<TT^^'' 

A el B étant des constantes positives; y et y' des nombres positifs 
inférieurs à i. On pourra dire que (o(x) admet i comme point sin- 
gulier d'ordre y. Je vais étudier l'intégrale 

.y) - 



^^-^•^ = ^i^(i)-^ 



prise sur le contour C dont il vient d'être question, x qI y étant deux 

points de C. Comme ~ el -_ appartiennent au domaine D, qui n'a pas 

de point autre que i commun avec la ligne F^, comme les fonctions 
oit) (il/(f) sont uniformes dans 1), l'élément dinérenliel est bien 
défini sans ambiguïté et c'est une fonction liolomorplie de z sauf pour 

Je suppose ./; diderent de y, lelémenl difiérentiel devient infini 

comme -, r et 7 r-j- On peut montrer que, comme pour des 

I- — ■'•!'' I = — .>'!'' ' ^ ' 

variables réelles, l'intégrale peut être définie sans diflieullé. Dansée 
init, je trace deux petits cercles de centres respectifs ./ et r, de rayons 



itKcnKHciiic i)i:s points singuliehs iik ckht\ines ionctions. log 

p et p' assez pelils pour qu'ils ne se coupent pas entre eux, pour ([u'ils 
cou[)enl C en deux points seulement, pour qu'ils laissent l'oiigine à 
l'extérieur. Je désigne par F la partie de G qui est extérieure à ces 
cercles, par y, la partie du cercle de rentre x qui est extérieure à 
l'ellipse, pary^ la partie du cercle de centre y intérieure à C. L'intégrale 



''<-'-^> = î7î,( 



fm 



a,, h., 



représente le prolongement en x de la série "^ " '" x"', cela résulte de 
la démonstration du théorème de M. Hadamard. Le point singulier j' 
dey(-^j est bien extérieur au contour, le [joint singulier .r est bien 

intérieur, la ligne yL est extérieure, la ligne j obtenue on prenant 

l'inverse de chaque j)oint de L et en multipliant para est bien inté- 
rieure au contour comme le demande cette démonstration {Jig- 3). 




On voit (pie /' = - ne coupe pas la ligne L cpiand r parcourt 
le contour 1" + y, -i- y^, 5( ^ ) est donc bien délnii et l'on a 

A 



et, de mémo. 



- < 



V\y)\< 



- \'i' 



L\alnoiis la partie de l'inlégralo relative à l'arc y, ; je désigne pir M 



J. SOULA. 



une borne du module de /(-) quand r est extérieur au cercle de 

centre j' et intérieur à un cercle de grand rayon contenant toute la 
figure à son intérieur. Je pose z = ./; + p f"", m varie de co, à to^ sur 
l'arc y, : 

Cette quantité tend vers zéro avec p. On verrait, par un calcul 
analogue, que l'intégrale le long de y., tend vers zéro avec p'. 

L'intégrale le long de p a donc une limite lorsque p et p' tendent 
vers zéro et c'est cette limite qui sera l'intégrale 3(x,y). D'ailleurs 
y (x, y) est indépendant de p et de p', de sorte que i(r, y) = ^(x, y) 



ïfcX/(l)<l)T = "[/ 



o(.r) 



et l'on a ainsi une sorte de généralisation de l'intégrale de Parseval. 

Ce qui précède s'applique si l'on remplace le contour C par C, 
1) par D', L par une des demi-droites L'. 

6. Je pars d'une fonction ©(/) vérifiant les conditions que j'indique 
au début du n° H et je forme 

9,(.r) = ll[9(.r). o(,.-)J; 93(.^■) ^ll[?.(-r), 9(-^-)], 

Ces fonctions n'ont que le point singulier i. Je considère o.,(/) 
pour / appartenant au domaine D. Cette fonction sera donnée par 



-o,l - 



^B^mm- 



d'après ce qui précède, ./; et^élant surC. Ceci montre (jue ^^^" 

est le premier noyau itér-é du noyau - o ("' ) fonction des deux 

variables '■ et / (jui parcouicnt (L I/ordie de grandeur de o^ ( ) pour 

j: voisin de y doit pouvoir se déterminer comme on le fait |)(mr les 
noyaux qui deviennent infinis pour ./• =^ y dans le domaine réel. Mais 
ici encore, il n'est pas tout à fait évident (pic les méthodes ordinaires 
s'appliquent. Je reprends donc le calcul. 



KECHEBOHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. I I I 

Ji' choisis une origine des arcs sur C. A chaque point x, y ou r, 

•I- \d' \ 1 

correspond une abscisse curviligne s^, Sy ou s.. —, a pour borne 

supéiieure i. Comme C est une courbe analytique, z — x se laisse 
développer en série suivant les puissances de s- et de Sj. et est de la 
forme {s.- Sj.)u.{s., s^). La fonction u.(Sj, s^) est analytique pour 
.s.,et.9; réels et compris entre o et /, longueur de la courbe. it.is,, s^)ne 
peut être nulle, d'après sa délinition, que si z — x, elle serait donc 
nulle pour des valeurs de s, et Sj. égales et égales à un nombre détiT- 
miné a. Mais alors {s-- a)\i.{s-, a) admettrait la racine double a. 

— admettrait la racine a, ce qui ne peut avoir lieu que si a est un 

ds- 
rebroussemenl. La fonction continue | a(.s--, .sv) |, qui n'est jamais 
nulle dans le champ o'isj.<^l. oIzs.^L a donc une borne infé- 
rieure m. On a 

et, a désignant h' layon vecteur minimum de l'ellipse C, 

Il (x\\ I A- c' I 

On peut, maintenant, appliquer un calcul classique (' i. On voit 
que cpJ^.) est de l'ordre de -j^^^r^^p^' et, par suite, de |^._'^.|,^_, 
pour x et y sur C. Donc, |i — /|^'~' |?;!(0I est borné, si t appartient 
au domaine D. 

Les considérations précéihmtes sont valables si l'on rem|ilace 
C par C et D par D'. C est. en effet, formé d'arcs analytiques, 
ne présente pas de points anguleux, les coordonnées cartésiennes d'un 
de ses [)oints ainsi que h'urs dérivées sont fonctions continues de l'arc 
de la courbe. 

La fonction |i — / 1-''-' | ^^(Ol ''■'^^ ''""'^ bornée dans D et D'. Or. 
D et D' peuvent être choisis île façon à recouvrir le voisinage du 
point I. Je rappelle que 9(./) est holomorphe dans tout domaine 

C") Viiir, par exemple, Goursat. Cours d' ina/yse. l. III, p. 35~. 



112 .7. SOULA. 

n'ayant aucun point commun avec une ligne L'. ligne qu'il faut consi- 
dérer ici r.or.:nie donnée. Je choisis C de .façon que L' soit une des 
demi-droites extérieures à D'. Je puis ensuite choisir, comme on Ta 
vu. le contour C de façon que D et D' recouvrent le voisinage du 
point I. 

11 est donc démontré que l(i — /)-*"' o.,(t)\ est borné au voisinage 
de I quand / est contenu dans un domaine où nous avons admis 
que Zi(t) est holomorphe. 

Ce résultat obtenu, on démontrera, par l'étude de rinlégralc 









que - ©a (-] est h- deuxième noyau itéré de - o ( ^ j et l'on calcu- 
lera de même son ordre de grandeur pour x voisin de /. On peut, 
évidemment, continuer ainsi, et — ^ — '- o„( — ) est le (n — i )"'"'novau 

y ''^KyJ ' 



itéré de-o( — )-Il est comi)arable à -, ; -, — n-Donc. comme dans 

y ' \yJ ^ |,r— ri'"/-'"-" 

le cas des noyaux réels, '^ o^, ( - ) finit par rester borné pour p 

assez grand. 

Il est à remarquer que ces résultats ne sont obtenus que par la 
considération simultanée des contours C et C. Ils ne sont pas démon- 
trés pour une fonction qui aurait la ligne L comme coupure essen- 
tielle et qui vérifierait les autres conditions. Il faut que 9(^) soit pro- 
longeable au delà de L vers le bas. jusqu'à une ligne L' (ou vers 
le haut, jusqu'à une ligne L"). pour que notre démonstration 
s'applique. 

7. Ce qui précède permet de considéi'er l'intégrale de Parseval 
généralisée comme une intégrale de Fredholm et d'aj)pli(|ucr les 
théorèmes de M. Fredholm. Je dois étudier le noyau résolvant ilu 

noyau -of - )• Ce noyau résolvant Fi. r,j-, a) vérifie 



(0 



lfL^(±y(z,y,}.)dz = r(:c,y,l)-Lo{^^y 



ItKClIKIiCllK l)i;s I>OINTS Sl.NGULIEUS lii: CEUTAINliS FONCTIONS. Il3 

Il est Ir prolongement analytique en A de la sciie 



(■'-) 



r{j:, va — -9 - H fflJ - -; ...+ - — o,, - 

y \ y J y \y y y . 



l'inlin. il y a lieu d'en écrire rex|)rcssioii que donne la théorie de 
M. Fredliolm. 
Je désigne par — — - — ^„ ( — ) le premiei' noyau itéré qui reste borné 

|)()ur X voisin de y et j'utilisr des notations analogues à celles de 
M. Goursat (' ). 

Je désigne par D„(A) le « déterminant d'ordre infini » du noyau 

'' — o,J-j, |)ar r„(x-, /, a) son noyau résolvant. Le premier 

théorème de M. Fredholm permet d'écrire : 



r„(^,.v,-/.)=: p;;^;/ , 

D„( A) étant une fonction entière de A. Je pose ensuite 

-, I f-x\ 'îi~l /'.<-\ (■217:1)"-'- /■i-\ 

" y^\yJ y \yJ y KyJ 

"■{:['•) 

(:5) V(.r, J, i) = ii(.r, .V, /.) 4- /."-' ,^^^-^-'„^ 

+ . '''". fuir, :. >.) D„( ^\l") (h-, 

et j'étudie les termes du deuxième membre, en commeiirant par 
D„( 'a")- Il est connu que c'est une fonction entière de A dont les 
coefficients sont certaines combinaisons linéaires des noyaux itérés 

y ' \y ' 

\y\ J -— * ^>- \.>' / 

a = 1 

(') (ioimsAT, Cours d' Analv-tf, t. III, ji. 382 et siiiv. 

Jourri. de Math. (H- sùrie), tniiu- IV. — l'aso. 11. ii)ii. ' ^ 



Il4 J. SOUL.V. 

avec 

On sait de plus que celte série admet une majorante. On a 

\^J-)\<B^, 
I \7/| 

pour j: ely sur C, B,, étant tel que 20^/," soit une fonction entière. 

Ceci montre d'abord que, sur C, D„( A") est de la forme 

-'^i-, A )• Posons / = -^ '.{;(/, a) est définie et holomorplie lorsque / 

est dans D. '^(/, A) est en effet somme d'une série de fonctions holo- 
morphes, série admettant une majorante, dans tout domaine formé de 
points appartenant à D et laissant le point i à l'extérieur. 

li(x.y. À) est, de même, delà forme -f( - j et cette fonction devient 
infinie comme — pour ./• ely sur C. L'intégrale qui figure dans 

l'équation (3) est donc de celles que nous avons étudiées au n" o. Il 

résulte de là que TÇ/:,y. X) est de la forme -Qf^i 'm et aussi que 

Ol -' >'0 est fonction de / = - définie et holomorplie quand t est dans 

un domaine qui fait partie de D et qui laisse i à l'extérieur, pourvu 
que X ne soit pas racine de D„(A") = o. 

On peut aller plus loin et donner une borne de V(.i\, y. X) lorsque X 
est dans un domaine borné, la dislance d'un point de ce domaine à une 

racine de D„(X") = o admettant une borne inférieure et lorsque / = - 

est dans un domaine D, qui fait partie de D mais laisse le point i à 
l'extérieur. 

Il est clair (jue, dans ces conditions, 

admet une i)orne. II(./;, ^, X) en admet une aussi. Il reste à étudier 



HECIIKHCIIE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. II'} 

l'intégrale qui ligure dans l'équation (3). Je suppose x et y sur C et 
je reprends les notations du n" 6, 

I \y\ )\ \ y \ ^ ' '^^ ij>-i\x—y\i 

lî et B' étant des constantes qui ne dépendent que de l'ellipse (., 

l.'c V^l / I Jo 1 -■''I /"'ïl 

^ BB' /'' ds. 
"" ii.-"im'i J^ |.v^— .V;|'/ 
et cette (|uantilt' est bornée. 

En résumé, r(.r, y, X) est borné dans les conditions indiquées. 
Q(/, A ) l'est aussi. 

8. Je remarque que l'on a (si &(r) = léa„x") 



, 2 <7 



d'après la formule du n° o. La quantité — - est donc constante carac- 
téristique du noyau -o( — j- Ceci montre que a„ tend vers zéro 
avec -• C'est un premier résultat relatif aux fonctions définies au 

début du n" ii. 
Posons 

*(<, u)~ —.(}(t. -^\-^ - — ^• 



Je suppose que u parcoure un contour simple c entourant l'origine, 

contenant à son intérieur tous les points a„. S'il existe des valeurs 

. . • • - iir. • 

caractéristiques A^ autres que — je supposerai que a ne passe par 

aucun point d'affixe -y-^- 

Soit ii{it) une fonction liolomorphe sur a- et à l'intérieur de o-. Je 
considère 

F(o= 7^ r*(/. i')^'(u)du. 



II 5 J. SOULA. 

Si 1/ est sur cr et / dans D,, ()(/, -y^) admet une borne indépen- 
dante de / et de u, d'après les résultats du n" 7. 11 en est de même 
de $(/, u)g-(i/)- La méthode de M. Montel (') montre que F(/) est 
alors fonction holomorphe de t dans D, . 

Pour tirer parti de ce résultat, je cherche le développement de 
$(/, u) au voisinage de / = o. Je suppose 

U|<5<i; — >«>! (pour /( = i, 2, 3, . . .)• 

1 "" I 

Alors, la série 

71=0 n=0 ;) = 

admet une majorante 

'i: 



I -y v-< 0" 



r étant la plus courte distance de Torigine au contour t. On peut 
grouper les termes d'une autre manière : 

^mi u — a„ ^ «'"-' -^ ■' Il \ — t ^^ Ul'*^ -md 

„ = ,, = n=ll /' = ' " = U 

,/ 1 — / II- .^ M''-' '^ ' ^ 

Si donc tous les points du contour t sont tels que | '/ 1 > oa„ 
pour n=^\, 2, ..., on peut, pour les valeurs de t qui appartiennent 

à D, et qui sont inférieures à 0, remplacer <!>(/, u) par ^ j;zr^ ^^"^ 
l'expression de F(/). On peut aussi intégrer terme à ternie et il vient : 

V{t)=^g{a„)f. 
(') MoNTKr., Leçons sur /es sriics de /lulyiionws, p. 27-28. 



RECHKHCIIE DES POINTS SINGULIERS DE CEHTAINKS lONCTIONS. 11^ 

Cette série a donc pour prolorif^ement une fonction holomorphe 
dans D,. 

Si le contour i. à iintéricur et sur leciucl uiu) est holomorphe, 

ne vérifie pas une inégalité de la forme — > a > i , on n'a qu'à rem- 
placer ç>(.') par une fonction dont les coefficients vérifient cotte rela- 
tion en diminuant le module de certains d'entre eux. Comme les <^/„ 
n'ont pas d'autre point limite que l'origine, il n'y a qu'un nombre fini 
de termes à modilier et le résultat subsiste. 

Le domaine D, peut comprendre tout point du plan à l'exclusion 
de ceux qui sont sur Taxe réel. Donc F(/) n'a pas de point singulier 
hors de l'axe réel. 

On peut remplacer le contour C par un contour C (ou C ) : ce qui 
précède subsiste entièrement, F(/) est holomorphe à l'intérieur des 
domaines D' (ou D '), F(^) est donc holomorphe dans les régions où 
nous avons admis que ç.(/ ) l'était. .Nous énoncerons d'une manière 
moins précise : 

Sio (x) = 'La,,./:" n'a d'autre [)oiiil ■sin^ulici- à dislanre Jinic qur 
le point siriifulii'i' i , m supposant (juc les proton gcnicnls analytiques 
ne fassent le toui- d\iufun point singulier; si, de plus, le point sin- 
gulier 1 est d'ordre q ('), la fonction I,g(a„)x" n'a pas d'autre 
point singulier que i, toutes les fois que g(u) est holomorphe à 
l'origine. (Les a„ n'ont pas d^autre limite que l'origine, et g{(i„) 
est, par suite, di- finir dès que n est assez graïul . ) 

11 résulte de nos démonstrations que l'ordre de <1> ( /, u) est i, ce 
sera aussi l'ordre de F( /) en général. 

î). Cas nartieulii-r. Théurènn' de \l . h'ahry. — Le cas où a„ = -, 

o(x) =: L a été particulièrement étudié. On peut obtenir des 

résultats plus complets que dans le cas général et ne pas supposer 
que ir(") soit holomorphe à l'origine. Je pose u = /•<■"' et je suppose 
que gi^ii) soit holomorphe pour |a|<^a„, o<^r <[r„. Je suppose en 

(') Je rappelle (]iie ces façons de parler onl élé précisées au n° 5. 



Il8 .1. SOULA. 

outre que g(i/) vérifie certaines conditions de grandeur dans ce 
domaine où elle est holoniorphe. 

M. Fabry a démontré que si rL\g(u)\ a uniformément pour plus 
g rande des limites zéro ( ' ) lorsque /• tend vers zéro, F(j7) = S^ ( - j .v" 
n'a que le point singulier i sur son cercle de convergence. 

M. Le Roy a démontré de plus que si Xg est égal à ^> F(a;) n'a de 
point singulier que sur l'axe réel du côté positif. Il supposait, il est vrai, 
que g{u) vérifie une autre condition, mais MM. Mellin et Lindelôf ont 
établi que le résultat est exact sous la seule condition a„ = ^- M. Lin- 
delôf (-) donne, de plus, une étude détaillée de F(.r) dans le cas où a„ 
est égal à - et il signale d'autres cas plus particuliers intéressants. Je 
ne reprends pas ces questions, je n'étudierai qu'un cas particulier 
nouveau et je montrerai ensuite que le théorème de M. Le Roy et aussi 
le théorème de M. Fabry, dont la démonstration est assez compliquée, 
peuvent se déduire très simplement des propriétés de la fonction <1>(.*', u) 
pour u voisin de zéro. Je pose 



.ir.ii 



\\{.c, Il ) =y^ — — = Q (.r, . 
u 

et j'ai 

<I>(x, (0 = - — ^ 1- —, H(.z-. (/). 

it i — a: 11- 

Je considère un contour t du plan de la variable n = re"^ compre- 
nant deux segments de droite OA, et OA... dont les arguments sont a, 
et a, et un arc de courbe A, A, raccordant ces deux droites, les 
points I, ->•••) -j étant intérieurs à a. Soit^(«) une fonction holo- 
morphe à l'intérieur de a et sur le contour (sauf à l'origine) et admet- 
tant une borne quand u est dans ce domaine. Je suppose que R(x, it) 
soit bornée quand u est sur le contour C7 (mais pas nécessairement 
à l'intérieur) et quand x est dans un domaine A, contenant l'origine et 
laissant le point i à l'extérieur. J)a/is ces coiidilions, 'Lg(-\.v" est 

(') Celle expression a été définie au n" 1. 
(') Leçons sur le calcul des résidus, Cliap. V. 



RECHEKCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. UÇ) 

holomorphe dans A. Je vois, en effet, que «'-<ï>(.r, u) est borné si x 
est dans \ cl u sur t. Le raisonnement de M. Montcl montre encore 
que 

¥,{x)^ ^ I (/'a>(x, u)g{u)du 

est fonction liolomorplie de /; dans A. Si |.r| est inférieur à un nombre 

fixe, inférieur à i , on peut lemplacer *\*{x, u) par '^— — et inté- 

II 

/( 

grer terme à terme 

n 

La fonction li- ^(ii) n'estpas holomorphe sur i. mais elle est bornée 
et son seul point sinjiulier, sur le contour cr et à Fintérieur, est le 
point O. On peut, par un raisonnement semblable à celui du n" .">, 
établir que la formule habituelle du calcul des résidus est applicable. 
On a donc 

1 

et celte fonction est holomorphe en même temps que 

K(.^)=i;.(;;)-. 

ll(.f, u) est borné quel que soit ./• dans A, comme on Fa montré plus 
haut, tant que u reste à une distance bornée inférieurement des points 
\^ -,...,-,.. . Il nous suffit donc d'étudier ll(.r, m) sur la partie du 
contour n voisine de l'origine et pour cela sur une droite OA d'argu- 
ment a. 

10. Supposons d'abord cosa néyatif. Je prendrai comme point de 
départ l'égalité 



X 



t "fin=i 



120 1. SOULA. 

OÙ n est un nombre entier quelconque. L'intégrale est prise sur 
l'axe réel, la détermination de / "este " (L(/)réel). 

On sait que M. Hadamard a déduit de là que (') / ^_, ^ ^^' repré- 
sente le prolongement analytique de la série ^ —^ Donc 



/( H I 



R(a,-,«) = .r/ -. 

Soit A un domaine tjorné, contenant l'origine, laissant à l'extérieur 
la demi-droite L formée des points dontl'affixe est réel et supérieur à i. 

Si X est dans A. si / est sur le segment o. i, la fonction admet 

° \i — tj:\ 

une borne. D'autre part, si a = /y"', \l "\ — t '' , quantité qui est 

au plus égale à i si /est positif et inférieur à i . On voit donc queR( r. «) 

est borné dans \. 

Nous pouvons aussi étudier des domaines A coupant la ligne L. 

L'intégrale 

_ 1 
r' < "di 

représente toujours R(»', u) si elle est prise sur un arc de courbe rec- 
tifiable /, joignant o et i, ne se coupant pas lui-même, pourvu (jue la 
fonction à intégrer soit bornée lorsque /tend vers zéro sur cet arc et que 

le domaine A laisse à l'extérieur la courbe/ décrite par - quand / 
décrit /. Si je pose l^ ?c'", 

I ' I . I 

— (cosal. p -4-(o*Éna I- 

el si / tend vers zéro suivant une direction bien déteruiinée, 
cosaLo -1- cj sin« 

( ' ) IIadamaiii), .liiurnal de iHat/icnicilir/urf:, 'l'séiie, t. \ III , iSya. p. i5i) ut siii\ . 



ItKCIlKliCIIK DKS POINTS SINGIT.IERS DE CEKTAINKS FONCTIONS. 12 1 

croit iridéliniineiit par valeurs positives el|/ "|est inférieur à i. La 
fonction U(.r, u) est donc Ijornée dans tout domaine A du plan dcs^- 
pourvu de la coupure /'. (iette courbe /' est d'ailleurs une courte arbi- 
traire partant du point i , allant à l'inlini, ne se coupant pas elle-même 
et pourvue d'une asymptote. ( >n peut donc dire que 11 (x-, a) est borné 
dans tout domaine qui laisse le point i à l'extérieur et qui ne fait pas 
le tour du point i. 

En nous reportant au n" î) nous pouvons conclure : 

Si la fo/ic/io/i i^'(i/ ) csl Jiolitiintrplii- i-t horru'i' à riiiléricur ('n 
domaine parcouru par la variable ii (juaud un a r <^ /•„ | x 1 1. a^ avi'.c 

- <^a„<^~, — ,A'' ( - ) ■'■" n'a que le point .sinu;ulii'r j; = i, .ç? les pro- 

longcmenls analytiques ne font le tour fraucun point sirmulirr. 

II. Je suppose que le point u soit sur la demi-droite d'argument x 
tel que ces a soit positif. Les intégrales qu'on vient d'étudier n'existent 
plus. On peut cependant obtenir des résultats en partant de l'égalité 



X 



/" (// ~ 



l'intégrale étant prise le long d'une ligne C ne passant pas à l'origine. 

La détermination de / " s'obtient en posant / =-p c^"". / "=c " 

et en faisant varier w d'une manière continue à partir de oj = o (jui 

correspond à / := i . 

Je considère encore l'intégrale 



.<,,,„,= (-1^, 



Je suppose ./• dans un domaine A, borné, contenant l'origine, laissant 
à l'extérieur les points de la ligne C qui se déduisent dos points de C 

par le cbangenienl de l'alTixo / ''" ,y Alors, J(.r, u) est. de même que 

les intégrales déjà vues, pour une valeur de // biei. déterminée, fono- 
tion liolomorplie de *■ dans A. Je chercbe le dévelopoemenl en série de 



Journ. de Math. (8' série), loiiif IV. — l';isc. U. 1931. 



16 



122 •'■ SOLLA. 

J(j.-, it) au voisinage de l'origine, je désigne par t la plus grande 
valeur de | / 1 sur C, je prends |x| < -, étant un nombre inférieur à i . 

,1e pui;^ développer — ; suivant les puissances de .f et intégrer terme 

à terme : 

T/ \ V ■'■ --;;v ^{-.-r)" 

o« i ij n ^1 

Il II 

d'où 

_ i^ 
(4) a-J{j;,u)^R{x,u) — ç "{{(Ijc.ti) 

et cette équation est valable lorsque x est dans A. 

Je prendrai pour C un arc de la spirale logarithmique d'équation 

c = t^-'^'ang' de sorte que si / = p <"'" est un point de cette courbe, on a 
I I 

|/ "1 = 1. L'arc C et son extrémité le point ; sont pris intérieurs au 
cercle de rayon i . 

La courbe C est alors la partie de la spirale extérieure au cercle de 
rayon t et qui va du point t au point-- Je supposerai le domaine A 

5 , " 

intérieur au cercle de rayon -—-, étant un nombre positif inférieur à i . 

Je dis que dans ces conditions R (x, u) admet une borne indépendante 
de /■ = I M I et de x. 

I R (Ex, u) I admet d'abord une borne, puisque | çà- 1 <[ «< i 

1R(...,„I< i-^< i-4^; 



Iç "jest égal à i, enfin l'intégrale i(x,a) est bornée, car j / " = i 

sur C et adniet une borne si .r est dans A, i)uisque - parcourt 

l'arc C extérieur à A. L'équation ('1) montre que |Uf.r, w)| est 
borné. 

On peut déduire de là le théorème de M. Kabry : 

Supposons qu'une fonction ;^'-(«) soit holomorphe et bornée dans 
le domaine de la variable u = r e" défini par — x, < a ^ a..,, r ■< r„ (avec 
a, >• o, 7.J > o, /•„ >• o), sauf à l'origine qui est point singulier. 



UI'.CFIEHCIIK UES POINTS SIN(;LLIEKS DE CERTAINES FONCTIONS. 



Je trace {fig. 4) deux arcs de spirale p = e" 



^-Wl.nB! 



123 

'queje 



désigne par C, et Co. Ils sont intérieurs au cercle de rayon i et dis- 
posés comme l'indique la figure. Je désigne par C, et C'^ les arcs des 




mêmes spirales déduits de C, et de C^ par le chang;ement de l'affixe / 
d'un de leurs points en -• PZnfin, je limite C, et Co au point i et à leur 

premier point de rencontre ç, Cj et C, sont limités au point -■ Je 

considère ensuite un domaine A intérieur au contour formé de C, et 
C'^; il résulte de ce qui précède que si ./; est dans A, R (r, u) est borné, 
(|ue // soit sur la demi-droite OA, d'argumenl — a, ou sur la demi- 
droite OA._, d'argument x^. '^•A-\xn est donc holomorplie dans A. 

Je suppose maintenant, non plus que | §■('/)! soit bornée dans le 
domaine indiqué pour m, mais que | « | L | ^{iC) \ ait uniformément pour 
plus grande limite zéro lorsque |m| tend vers zéro. C'est dire cpie, (piel 

que soit £ positif, )i,'-(«) 1 1' '"' est borné. La fonction 4' (//)(' " est 
de module borné quoi que soit le nombre positif X, car 



\i;{u).C "| = |^(«)|t' '■ 



et cette expression est inférieure à | •j:K //) | r- ' , a' désignant le plus 
grand des deux arcs a, et x.. La fonclion -_i'(-^) ("^j est liolo- 

morphe dans le domaine A. La fonctio!i l:,''(-).r" est liolomor|ilio 



124 ■'• SOULA. 

dans le domaine Ay qui se déduit de A en divisant l'affixe de chacun 
de ses points par e^\ Comme e'- est aussi voisin de i qu'on le veut, 

Z^\-]j:" est holomorphe à l'intérieur de A, qui est lui-même aussi 

voisin qu'on le veut du domaine limité par les arcs C, et C!,. 

Si g [II) est holomorphe pour — a, "^v/^ a^, /• <^ /■„ el sur la fron- 
tière de ce domaine sauf au point u = o, si i-\^\g( u)\ a uniformé- 
ment dans ce domaine pour plus grande des limites zéro lorsque r 

tend vers zéro, la fonction F(.r) ^ X i,'' ( - ) /" //V/, sur le cercle de 



com'ergence, que le point singulier i <'l elle est holom&rp/ie entre 
les arcs C\ et C!,. 

Je suppose maintenant que Ton puisse prendre a. aussi voisin 

de - on le voudra, x, restant fixe. On peut supposer que . se 

^ ni -■ 

déplace sur C',. La valeur de w au point - de C\ est 

laiigai 



laiiga, -+- langa. 

Si a, tend vers-"» celte expression tend vers 'i-. Alors F(.'-) est holo- 
morphe dans le domaine compris entre l'arc de spirale p = r""""-"- 
pour o) variant entre o et it., et l'axe réel. Si y.., peut lui aussi être 

pris aussi voisin de- qu'on le voudra, le domaine que nous venons 

d'obtenir peut coulcnir tout point du plan autre qu'un point d'aflixe 
réel, supérieur à i et l'on a le théorème de M. Le Koy. 

Si g(u) est Inilomorpli.e dans le domaine défini par 
— - < a < - '• < /o- 

2 2 

si dans ce doninine et sur sa frontière rh\g ( u')\ est iufériritr à 
tout nombre donné z dès que t est assez petit, ^g(- ) x" n'a. de 
point singulier que sur la partie positii'e de Faxe ré<-l. 

On [)eul dcnuer un énoncé un pi'u plus généra! : il suffit (jue 



RECHEKCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. 125 

rL I ir(w)| devienne inférieur à z. pour : |arg«| <[ a; '"<! '"(,; ^n dépen- 
dant de z et de a et ne restant pas borné inférieiirement si a tend 

vers -• 

■le signalerai, pour terminer, un cas intermédiaire entre celui 
du n" 10 et celui du n" II. if (m) sera supposée bornée et holomorplie 

dans le domaine — y.^<^y. <^y., avec ^ <^ a, <[ o, - <^ a.-c^ z. 

Alors F(.'-) n'a de point singulier que sur la spirale p = e'"""'"' 
(pour (0 > o). On peut d'ailleurs remplacer cette spirale par la spirale 
p = e'"""s» si a <^ a, (x > o), ce qui montre que les points de la spirale 
p = e'""'"^*' ne sont pas singuliers si l'on éfFeclue le prolongement 
analytique en abordant la spirale du côté de sa convexité. Mais, 
peut-être, le sont-ils cependant, si l'on aborde la spirale du côté 
de la concavité et si <:( u) ne répond plus aux conditions que nous lui 
avons imposées quand on remplace a, par un angle aigu pius grand. 

Vl. Les coupures obtenues sont-elles essentielles? Il paraît difficile 
de donner à cette question une réponse générale. Je me contenterai 
d'affirmer d'abord que les contours C, et C, que j'ai choisis sont ceux 
qui, par la méthode employée, donnent pour F(j;) le champ d'holo- 
morpliie le plus étendu. Je n'ai pas mis ce point en évidence dans le 
raisonnement précédent, mais il est facile de s'en rendre compte. 

J'étudierai ensuite un exemple que j'emprunte à M. Fabry (') : 
F(jr) = i e«i-i+cos(i„,x j;« (o < X < .). 

Il résulte du calcul de M. Fabry que y., et a^ peuvent être pris 
aussi voisins de - (ju'on le veut. F(.') n'a donc de point singulier (jue 
sur l'axe réel. 

.le considère de même 

<P (X)=: i e"|-l-COSll.«)"'l j;« J 

un calcul analogue donne le même résultat. Il en résulte que la 
fonction 

(') Journal de fJoin'itle, y série, t. I\', 189S. p. 348. 



120 I. SOULA. 

n'a de point singulier que sur la droite qui joint le point e~'- au point 
à l'infini sur Taxe réel positif. L'une au moins des deux fonctions 
F(.î;) et^'(j) a un point singulier autre que celui de son cercle de 
convergence : S'il en était autrement, H [F, W] n'aurait que le point 
singulier r---, or, cette fonction est — — — ■ On peut donc prévoir qu'il 

n'est pas possible d'aller, dans le cas général, plus loin que ne 
l'indiquent les résultats précédents. 11 est certain d'autre part que, 

dans des cas particuliers, les coupures obtenues ne sont pas essen- 

_ 1 
tielles : prenons g{u) = c ". Si l'argument a de ii est tel que cos a 
soit positif, le module de g{u) est borné. On est dans le cas de 
ÎNl. Le Roy et cependant F(./) n'a que le point singulier c sur l'axe 
réel. 

Je signale d'autres exemples qui offrent de l'intérêt, à d'autres 
points de vue. 

Je 'prends i;(w) = c ""'■" (a réel). Alors |^'(m) | = c"" reste borné 
au voisinage de l'origine. Donc Zc"'""" a;" =: Z «"'./" n'a. dans tout le 
plan, d'autre point singulier que i. Il en est de même des fonctions 
S sin(aL//).r" et lcos( aL//).r". qui se déduisent facilement des pré- 
cédentes et qui sont bien connues. 

Je prends ensuite g{u)^=e""' .a étant réel et i réel et posilif. 

. j_ 
Alors I i,'(i/)| ^ r'^"''"° *'^' est borné, de sorte que -e '" x" n"a que 
le point singulier i. 

15. Je vais montrer, par létude de deux exemples, que les derniers 
théorèmes peuvent être utilisés, non seulement pour la recherche des 
singularités de certaines séries, mais aussi pour l'étude d'une fonc- 
tion g{u) au voisinage d'un point singulier. 

Soit g{u) une fonction singulière pour // = o, mais lioloniorplie cl 

bornée dans le secteur défini par — y., <^ a < a,, /• <; /„ avec y., > -• 
Alois, comme ilgi-\.,_" ne peut avoir que le point singulier i, 

d'après h- n" l(), la plus grande des limites de i / \g {'-)] H'' [)eutètie 
que I ou o; elle ne peut être un nombre compris entre o et i. 



RECIIEHCIIK DKS l'OINTS SI.NGULIKHS IlE CERTAINES FONCTIONS. Ili^ 

Soit, en second lieu, une fonction fi(n). singulière pour u = o, 
mais lioloniorplie pour tout autre point du secteur défini par 
— a, <a < a,, a, étant quelconque. Déplus, |h| \j\g{u)\ a uniformé- 
ment pour plus grande limite zéro, lorsque j«| tend vers zéro dans ce 
domaine. Je vais montrei- que, dans ces conditions, les points de l'axe 
réel pour lesquels la partie réelle R[i'( w)] de g{u) change de signe 
ne sont pas distribués d'une manièii' quelconque au voisinage de l'ori- 
gine. Par exemple, il est impossible que les racines de R| ,i;( «)] soient 

les nombres a, -,-,,■■■■,-:■• ■■> qu'elles soient simples, et qu'il n'y en 

ait pas d'autres (a est un nombre positif quelconque). 

S'il en était ainsi, R[o-(a« — «')J changerait de signe quand u 

passerait de la valeur - à la valeur _ . pourvu que n soit assez 
grand. 
On a 

I u \L\s{au - «') I = I a« - lû \ h\g{au - u^) \ ' • 



Or, si \ii\ est assez petit. \au — u')\'L\g{au ~ u'^)\ peut devenir 
inférieur à toute quantité donnée, cela tient à notre hypothèse et au 

fait nue au — lû tend vers zéro avec u. Coninn' ; tend vers -■> 

1 a — u- a 

on voit que | « | L \g(au — lâ) \ devient inférieur à toute quantité posi- 
tive donnée si | «| est assez petit, il résulte d'un théorème de M. Fabi-y 

que la série li' ( -, )''" n'a que le point singulier i sur son cercle 



de convergence. La série S(— i)" g y- -A x" n'y a que le point 

singulier — i. Or, ceci est impossible, puisque la partie réelle des 
coefficients est toujours positive. 

Si o' ( - ) était entière et d'ordre inférii-ur à i . ce résultat serait une 

conséquence des théorèmes de M. Hadamard sur les fimctions 

entières. On voit qu'il subsiste lorsque ^(-j <!t'"'"', si petit que 

soit £, dès que | u \ est assez grand, et aussi lorsque la fonction n'est pas 
entière, mais vérifie des conditions plus générales. 



128 



DEUXIEME PARTI]-:. 



14. Les mélliodes que nous employons dans ce travail ne permet- 
tent pas, en général, d'étudier toutes les déterminations des fonctions 
analytiques dont nous nous occupons. D'un autre côté, les nombreuses 
applications du théorème de la multiplication des singularités que 
nous aurons à faire seront facilitées si l'on considère les points inté- 
rieurs à des espaces lacunaires comme singuliers (' ). Nous adopterons 
donc, du point singulier, la définition particulière que voici : 

Un point A du plan sera régulier pour la fonction 9(-t) ^ -a^x" 
si le prolongement analytique de la série peut être poursuivi, au delà 
de OA, le long du rayon OA issu de l'origine O. Si un point A ne 
peut être ainsi atteint, il y en a d'autres dans le même cas que lui : 
ceux qui sont plus éloignés que lui de l'origine. Dès lors, parmi les 
points du rayon OA, qui ne sont pas reconnus comme réguliers, il y 
en a un qui est plus près de l'origine que tous les autres. Gelui-la, 
que nous désignerons par A, sera singulier. Soit maintenant B, sur le 
prolongement de OA. Il sera régulier si on peut l'atteindre par uu 
chemin OB nayant que O et B en commun avec la demi-droite OB. 
Dans le cas contraire, il sera singulier. 

Avec cette définition, le théorème delà multiplication des singula- 
rités ne souffre pas d'exception. Si H | o, A | est singulière en un point a, 
c'est que l'on a y. = 'iy, [i étant un point singulier de 9(') et y un 
point singulier de k(.i-). 

Ouand je dirai qu'une fonction n'a (ju'un point singulier, il faudra 
l'entendre au sens précédent. De plus, elle pourra être irrégulière au 
point à l'infini dont nous ne nous occuperons pas. Ee mot point sin- 
gulier ayant le sens qui précède, le point singulier [3 de ci(./) sera dit 
principal si, quel que soit le point singulier y de /i(.f), [^y est tou- 
jours point singulier pour II[ç./.J si on ne peut l'obtenir qu'une seule 
fois. 

(') Voir MoNTEi., Leçons sur les séries f/e polynômes, noie p. 30. 



RECHERCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. l IÇ) 

liî. Points singuliers principaux isolés et séparables. — Je 
considère simultanément les deux fonctions 

et je suppose qu'aucun a„ ne soit nul. Je désigne par R' et-n la plus 

petite et la plus grande des limites de la suite 'vV'«l- ^^ rayon de 
convergence de cp(.j;) est U et celui de 9_|(./;) est R'. On a 
d'ailleurs RR'^i. 

Si la fonction ':^{x) li'a qu'un point singulier [3, pour que ce 
point soit pri/tcipal, il faut et suffit que R' soit différent de zéro et 

que !p_|(â;) nail qu'un point singulier qui sera alors -f; et qui sera 
principal. 

Je suppose que [3 soit singulier principal pour ^{x), qui n'a pas 
d'autre point singulier. Si R' était nul, on pourrait extraire de la 
suite v/|f/,(|, une suite illimitée 

Vl"^. "vKJ. •■•, 
ayant zéro pour limite unique. La série 

/,{.r)=:.r".+ .r«. + . . . 

aurait au moins un point singulier sur son cercle de rayon i, et 
cependant H[cp, A | serait une fonction entière, ce qui est en contra- 
diction avec l'hypothèse que ^ est principal. 

Tl résulte de là que nous pouvons supposer qu'aucun des coeffi- 
cients a„ n'est nul, sans diminuer la généralité des énoncés, quand 
P est le seul point singulier de 9(.f) et qu'il est principal. Cela étant, 
<p_,(a7) existe. Soit y un de ses points singuliers : 

(0 Il[c?, 9 ,1 ^ -L-. 

PY ne peut être ohtenu qu'une fois; il est donc nécessairement égal 
à I, et |(j;) n'a pas d'autre point singulier que r- 

Journ. de Math. (S' sùric), lome IV. — Fasc. H, i.|Ji. '7 



l3o J. SOULA. 

Réciproquement, je suppose que <P-,(-f) n'admette pas d'autre 
singularité que ^- Soient A(j;) une fonction définie par une série 
entière en x, et o un de ses points singuliers. On a 

(2) n[o_i, H[9, /,]] = A(^). 

Le théorème de M. Hadamard montre que H [9, AJ possède un 
point singulier À qui, associé à ^> donne 0. Donc X = fjo (' ). 

Si. la fonction 9(x') n'a qu'un point singulier principal j3, 
\/|a„| n'a qu'une limite. S'il en était autrement, R' serait inférieur 
à 77 et, sur le cercle de convergence de o_|(./), existerait au moins 
un point singulier y dont le module serait inférieur à -> ce qui serait 
en contradiction avec l'énoncé précédent. 

l(i. J'indique une autre propriété des fonctions que nous venons 
de considérer et, pour cela, je sépare le module et l'argument des 
coefficients en posant cf„^ Pne""". Je désigne d'une manière générale 
par A l'imaginaire conjuguée de l'imaginaire A. On a 

o(.c) =: ip„ e-'^'-x" ; 9(-î') = — pn e"''"".c". 

Je pose ^{x) — '\'{-v)- Les deux fonctions cp(x-) et '\i{x) sont en 
relation simple : à tout prolongement analytique de l'une correspond 
un prolongement de l'autre, les chemins étant symétriques par 
rapport à l'axe réel. Les points singuliers de ?(a;) et de 'K-r) sont 
deux à deux imaginaires conjugués. 

Voici une autre remarque que je vais utiliser : Si deux fonc- 
tions 9(x) et k{x) n'ont, l'une et l'autre, pour toute singularité, 
(ju'un point singulier principal, il en est de même de H[o, AJ, comme 
on le voit, par exemple, à l'aide de l'énoncé du n° 13. 

Considérons maintenant une fonction 9(1:) qui n'a qu'un point 

(') Celle propriété a déjà élé ulilisce dans des cas particuliers (Mom'EL, 
Leçons sur les séries de polynômes, p. 87. — Fabrv, Mémoire cité, p. 35o). 



RECIIEIICHE DES POINTS SINGULIERS I)K CEIITAINES FONCTIfiNS. I »I 

singulier, ']>(-f) possède la iiiêine |)ro()riété et, par suite, 

n'a qu'un point singulier. Cette dernière fonction n'est d'ailleurs cer- 
tainement j)as entière, même si le point singulier de "^{x) n'est pas 
principal. 

Si f(xy n'admet quun seul point sirii^itlier, pour qu'il soif prin- 
cipal il faut et suffit que les deux fondions 

lrj;,.i-" el ie-'"'".;" 

n'admettent chacune qu'un point singulier et que ce point soit 
principal. 

Admettons que cp(a;) ne possède qu'un point singulier qui soit prin- 
cipal. Il en est de même de 

(]i-i{x) ^2, — e"'™"^'" el de . 'J/( j) z=y^ p„ e~'"".r" 
et, par suite, aussi de 



et enfin de 






Reste à montrer que le point singulier de -p,",x" est principal. On y 
parvient en associant la série ^e~-"""x" à la série '^ç,'-" e"'""" x" pour 
lesquelles la proposition est démontrée. 

Réciproquement, admettons quecp(x) = i^p„e'""a;" n'ait qu'un point 
singulier et que les séries lp,",x" et 'Le'"""./:" n'çn aient chacune qu'un 
qui soit principal. Il en est de même, alors, de ^^C-^) = ^f' ''"""-ï" 
qui s'obtient en associant les deux précédentes. Il en résulte que 

^-•i{x)=^'S'—^ n'a qu'un point singulier (n° lo). En l'associant 

à (p(a;) = 2a„x" on obtient cp_,(.r) qui n'a qu'un point singulier, ce 
qui démontre que le point singulier de 9(x) est principal. 

Conmie exemple, on voit que, si les a„ sont réels, si o(.r) n'a qu'un 
point singulier, pour que ce point soit principal il faut et suffit que 
celui de '^-.(x) le soit. 



J. SOULA. 



l32 

Je ferai encore une remarque. Je suppose que 9(3;) n'ait qu'un point 
singulier qui soit principal. Il en est de même de cpaC^)» mais (fî(x) 
possède alors une propriété qui n'est pas démontrée pour ^{x) : la 
série obtenue en remplaçant chaque coefficient par son module n'a 
qu'un point singulier qui est principal et il en est de même de la série 
'Le-"""x" obtenue en divisant chaque coefficient par son module. 

17. Cas particuliers, exemples de points singuliers principaux. — 
Les pôles sont des points singuliers principaux ('). 

Les séries {ce) — Zg i - \x" où g{u) est holomorphe pour u = o 

n'ont que le point singulier i . Ce point est principal, car la série (p_, (j) 
est de même forme pourvu que ^(o) ne soit pas nul. Si g(o) est nul, 
on peut écrire 



r = "' ^ /)'' li — , avec c^z;^ o. 

V /( / /( /( - 

Comme les séries S «?x'' e\.Z'\ii-\x" n'ont que le point singulier i, 

il en est de même de cp_,(x). Donc, même si o-(o) = o, le point 
singulier de ^{x) est principal. 

On peut aussi former des points singuliers principaux à l'aide des 
théorèmes du n° 8. Si (p(x) = Sa„x" n'a que le point singulier i, 
d'ordre inférieur à i, lu fonction 'Lg{a„)x\ où g{u) est holomorphe 
et non nul pour u = o, n'a que le point singulier i qui est principal. 

Par exemple, ^ ^ 'ii^) admet le point i comme point singulier 

principal tant que a n'est pas nul. 

Il apparaît donc que le fait, pour le point singulier supposé unique 
de la fonction o{x), d'être ou de n'être pas principal, est en relation 
avec la façon dont 9(0.) croît quand x se rapproche du point singulier 
et la régularité de cette croissance joue ])eut-être le rôle le j)lus 
important. 

Il existe, cependant, des fondions 9(/) admellanl un seul point 

(') BoREL, Sur tes singularités des séries de Taylor {Bull. Soc. math, de 
France, l. XWI). 



RECHERCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS, l33 

singulier qui est principal et qui n'est pas d'ordre fini. On le démon- 

11 /• .• i /t i^y . 6h(Lav/« ) 
trera en remarquant que les deux lonctions ch[La\u) et — — - 

sont entières et d'ordre inférieur à i . D'après un théorème de M. Leau, 

"Lx" ch.{\J n La) et "^ùx"— — ' 'n'ont, pour toute singularité, que le 

\J n 

point essentiel i. 

Il est facile d'en déduire que Sa*^x" n'a que le point singulier i 

qui est principal, puisque je puis changer a en -• Ce point n'est pas 
d'ordre fini pour la'"x" et la"*"*" simultanément, car il serait 
d'ordre fini pour ^x" ch{\!n. La) et l'on sait qu'un point essentiel n'est 
pas d'ordre fini. 

Je signalerai encore les fonctions Sz/'x", qui n'ont que le point 
singulier i quel que soit q positif ou négatif ( ' ). Ce point est principal 
pour toutes ces fonctions. 

Enfin, si la fonction Se'""x" (où a>„ est réel) n'a qu'un point singu- 
lier, ce point est principal, car I,e-"^'>x" n'en a qu'un aussi (n° 16). 

C'est le cas de co„ = — (c7>o) et aussi de (x>„=aiL/i (n" 12). Ce 

dernier exemple donne lieu à une remarque importante : Si deux 
fonctions nont, l'une cl l'autfe, pour loulc sintiulunlè, que le 
point principal ^, leur somme ri admet nécessairement pas 3 comme 
point principal. Prenons 

ca{a:):=lc'-' '".!■", i{>(.r) = 2c ^- "x'«. 

Alors 



et cette série a une infinité de ternies nuls, de sorte que son point 
singulier ne peut être principal. 

On peut trouver d'autres fonctions ayant un point singulier unique 
et principal en combinant celles qui viennent d'être obtenues par 
l'opération de M. lladamard. 

(') Le Roy, Mémoire cité, p. 339-34o. On peut aussi uliliser les lésullats 
du n" 10. 



l34 J- SOULA. 

18. Je vais étudier le cas d'une fonction de la forme 

|(a-) = A(i — .r)-"'+ A'(i — X)-'" + A"(i —.r )-'"" + . .., 

OÙ m > m' > m" > . . . , où le nombre des termes est fini, les A, A', 
A", . . . sont des constantes, et les différences m — m', m — m", . . . 
ne sont pas entières. 

Une différentialion remplace ^(j) par une expression de même 
forme où les exposants —tu. — m', ... sont tous diminués d'une 
unité. 

D'autre part, le point singulier est simultanément principal ou non 
principal pour '\'{x) et pour ses dérivées, comme le montre la règle 
du n° lo. 

On peut donc, sans rien changer au résultat, supposer ni positif. 
Je pose alors 

lt{x)^{^-a;) "'=2à TTl ' 



/; 



-.(-)=2 



m {m -h 1 ) . . .{ni + n — i ; 



A_,(x) n'est autre chose que la série hypergéométrique F(i, i,m,x-) 
qui admet le seul point singulier i, évidemment principal. Les deux 
fonctions <|'(a) et H[.p, /< ,] admettent le point i simultanément 
comme point singulier principal ou non principal. 
Or, la fonction H[.{/, //_,] peut s'écrire 

si l'on a posé 

, V . , V^ m'(//i'-i- i) . . . (m'-h rt — i) «! „ 



k" 



2d li 



n\ m(ni -\- i) . . .{m + n — i ) 

m" {ni"-\- 1 ) . . . ( m"-\- n — i ) /( ! 
\ m {m -i- i) . . . {m -h n — i ) 



<f[x)=^A'F{m', I , m, j; ) -(- A" F(/;i''', i , //(, .*■)-(-.... 

Le point singulier i de F(ni', i ,m,x) est d'ordre égal à i -+- m' — m, 
donc inférieur à i. On obtient le même résultat pour les autres termes 



nECHEItCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. l35 

de !p(.r). D'après le théorème du n° 8, appliqué à la fonction '^(x) et au 

cas où g(u) = -T , le point singulier i est principal pour Hf,|/, //_,] 

et, par suite, aussi pour la fonction proposée '^'(x). 

19. Nous avons rencontré plusieurs exemples de fonctions 

n'ayant qu'un point singulier qui n'est pas principal. Mais pour toutes 
ces fonctions, une infinité de coefficients a„ s'évanouissent. On peut se 
demander s'il est possible de construire une fonction ç(a:) n'ayant 
qu'un point singulier non principal et telle que la plus petite limite 
des i^|a„| ne soit pas nulle. Pour y parvenir, je vais montrer qu'il 
existe des fonctions (uÇt) n'ayant qu'un point singulier et telles que la 
plus petite des limites de \'\a„\ soit difîérente de zéro et différente 
aussi de la plus grande des limites; de telles fonctions n'ont pas été 
signalées, à ma connaissance. Je m'adresserai à des fonctions de la 
forme Ssin(aL« — x)x'^ qui ont déjà servi à montrer qu'une fonction 

peut n'avoir qu'un seul point singulier sans que le rapport -^^ ait une 
limite ('). 

Je pars de la fonction '•^(x) = I^sin j — ^L (- ) .r" qui est de la forme 
précédente. Je remarque que j e ne change pas le module du coefficient 
général en remplaçant n par— quel que soit l'entier A. J'ai donc à 
étudier 

VUinwJ avec w„ = JL L ( -!i- V 

' ' L.3 \y .2'' / 

J'écris n dans le système de base 2 : 

les £, étant égaux à o ou à i , et je prends A = p. 

Je suppose d'abord p fixe et j'étudie to„ quand n varie de 2'' à 
2''^' — 1 . Alors X„ varie de à 2'' — i . Je prendrai y compris entre \J2 

(') Hadamari), Journal de Mallicnialiques, 4° série, t. \ 111, 1892, p. i63. 



l36 J. SOULA. 

et v2. Dans ces conditions, p restant fixe, — - est compris entre -= 

2 -r . • TT 3 7: 

et j-p- L arc w„ est compris entre et -r- 

\fï . ^ ^ 

Je cherche la plus petite valeur de n (comprise entre i'' et 2^"" — i) 
pour laquelle | sin w,, | prend la plus petite valeur. J'écrirai : 

-^ = . + -^[>-«-(y - 2"]: 
y -21' •/.'.' 

y — I est ici positif, je le développe en série de puissances de -, 

a, c/., a,, 

y — i = — -l--f+...^4--+-..., 

' T 2- ■>'' 

les a étant égaux à o ou à i, 

+ .,_«,.2/'-'-=<,.2/--..._a,-^-^+...], 

la quantité entre crochets est la différence d'un entier positif ou 
négatif et d'une fraction positive. Elle n'est donc inférieure à i que si 
l'entier 

E„ = £, . 2''-' -I- £, . 2P--+.. .-+- £p — X, . 2''-' — . . . — «,,= /.„ — 3!, . 2^-^ — ...— a^ 

est égal à i ou à o. Or, comme \„ prend toutes les valeurs entières de 
o à a'' — I , comme a, 2''-' -t- oc, i''~- -(-... -I- x,, est un nombre compris 
entre ces limites, le nombre entier E, prendra une fois la valeur o et 
une fois la valeur i. 

Donc, pour deux valeurs N et N' de // convenablement choisies, 

on a 

N _ t , \' i_ 

y . Il' "'"*"■/. 2'' '" 7 . 2'' ~ ' y . 2'' ^ 

avec 

Pour toute autre valeur de n telle que .:''^« < 2''"^', si — ;,!>'» 

y .2 

on a 

y. 2'' y. 2''' 



HECHEUCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. IJ7 
n 

I, on a 



Il " 


> 


I ^' 


\"y..J' 


■/.■?.!' 



■/■■■'■'■ 



Les deux valeurs de oj„ coiicspondant 'à i\ et à N' sont évidemment 
inférieures à !^ en module, dès que p est assez grand. Comme (o„ varie 

de à -^ la plus petite valeur de | sin co„ | est donc : ou bien 



'■-[M'-^--)]- 



inférieure à sin co,,, si — - >> i : ou bien 
•/■'•' 



Ll ■?. \ y. 2'" ' 



inférieure à | sin a)„ |, si — ^, ■< i . 

Cela posé, je choisirai y de façon que tous les a^ soient nuls, sauf 
<z,.^, a,. , . . . , a^ , ... 

qui sont égaux à i. Les premiers /,, /.,, . . ., ^,. • . • sont supposés tels 
que Y soit compris entre sj'i et sji comme on l'a admis; mais, à partir 
d'un certain rang, on aura r^+, = a''. Je prends maintenant 

/■,,+,:; 2'' </v+j 

I y __ I r _ __i i__ _ 1 

y. 2'' '~ 7-2'' 1 i''f*'^P 2'-,+.-;' •■■ |- 

I I I 1 1 I 

Je vais d'abord démontrer que y |sinco„| a sa plus petite limite au 
moins égale à -• Je suppose d'abord n tel que — j > i ; sin co, est positif 

/ . ( T. . N \ .. 

et supérieur a sin ( t—, L ; — - !• (_)r 

N 1 r 1 L I . 

Journ. de Malk. (8'séric-), luiiie 1\ . — Fasc. Il, ly.M. l" 



el, 


, par 


■ suite 


et 


j'ai 


alors 

N 
y. 2'' 

N' 
y..'' 



l38 J- SOULA. 

j'ai en efTet remplacé dans le crochet p par /•,^+| — i . ce qui ne peut que 
diminuer l'expression. La quantité 



est inférieure à son premier terme multiplié par i. Elle tend vers zéro 
si q augmente indéfiniment. Dès que y est assez grand, on a donc 

N k 

k étant une constante positive. 

Si X vérifie o <:^ .c <[ <^ i , étant un nombre fixe, on a 

sin T-^ L( I T- .r") > A.r, 

A étant une constante positive qui ne dépend que de 0. 

Donc, dès que n est assez grand, si —, > i, sinw,, est supérieur à 

" — ^> 'v/sinco„ est supérieur à \/- — dont la limite est i si n croit indé- 
liniment. 

Je prends maintenant la deuxième hypothèse ^^-^ <^ i. La formule 
qui donne N' montre que 



Donc 



1 I r I I ~i 1 



Or, si o <^ ./■ <; <; I , on a 

Il TT II 

sin _L(l — .!■) > W.v, 

B étant une constante positive qui ne dépend que du nombre 6 choisi 
arbitrairement. Donc, dès que n est assez grand, 

s.no),, > - -;— >- - 



rtECIlEHCHE DES l'OI.NTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. 1 >g 



On voit que \/Isirico„| est dans le cas actuel supérieur à une quantité 
qui tend vers-- 11 est donc établi (jue in plus petite des limites de 

\/|sinto„| est égale ou supérieure à -> dans tous les cas. Je vaismainle- 

I 

nant montrer qu'elle est inférieure à ~r- 

' y/a 

Je prends/? = r^. Il existe pour cette valeur de p un entier N que je 
désignerai maintenant par N tel que l'entier correspondant E^, soit 
nul. On a d'ailleurs 

9.''7lN,< 2.'î'^1. 

La valeur correspondante de co„ est 
J'ai 

La quantité entre parenthèses est inférieure au double de son pre- 
mier terme 

I ■>. 

Si o <^ .1: •< ■< I sin p- L( I — r ) <C Cx, C étant une constante. 
Donc, dès que q est assez grand, 

Isiri'iiv ]< — - , 

y ■,/./-. 



'■■'AC I 



\ h''"".\, |< y/— 777;-; • 

Or r,^^, = i''-i et l'on voit (pie la quantité à hupielle nous parvenons 
a une limite unique égale à ^;- Il v a donc une intinité de valeuis de // 

pour lesquelles y/|siii(o„| a une plus petite limite au plus égale à -^ el 

cela démontre le résultat annoncé. 

Le point singulier unique de lsinco„.a?" n'est pas principal puisque 
la plus grande et la plus petite limite de '( | sin co,, | sont distinctes, et 
la plus petite des limites n'est pas nulle. 



l4o J. SOULA. 

20. Poi/Us principaur ahsolus. — Je rappelle la définition donnée 
au n" 1. On dit que ©(j") admet le point principal absolu ^, si, quel 
que soit le point singulier y de la fonction k{x), H [o, A] admet le 
point singulier !3y, même si l^y peut être obtenu plusieurs fois. Remar- 
quons que cette propriété dépend non seulement de la nature de la 
singularité !i au voisinage du point [5, mais de la fonction o{j:) prise 
dans son ensemble. Il suffit, pour le voir, de supposer o(,r) régulier 
pour X = — '^. Alors o(^a-) + o(— .r> se comporte comme 9(.') au 

voisinage de x^^ et cependant H — ^ — ^i o(,r) + o( — .r) 1 = o, 

de sorte que si ^ est principal absolu pour ^(a;), il ne l'est plus 

pour ^(x) H- o(^ — .r). 

Si 9(-ï') ne possède qu'un point singulier et si ce point est principal, 
il est aussi principal absolu. D'une manière plus générale, pour que 
le point singulier fl de ©(x) soit principal absolu, il faut et suffit 

que Zf _, (x) ne possède que le point singulier ^ ( ' )• 

On verra d'abord que o_,(x) existe comme au n° lo. Si o_|(x) 
possédait des singularités autres que ^> et si J3 était principal absolu, 
H[o, ç._|] aurait des points singuliers autres que i, ce qui est impossible. 

Réciproquement, si ©(x) n'a que le point singulier ^> si k{x) 
admet le point singulier y? l'égalité 

(2) ll[o^,, ll[o, /.]] = /.(x) 

montre que H[o,^-] admet toujours le point singulier ^y. 

Il résulte de notre énoncé qu'une fonction ne peut posséder plus 
d'un point principal absolu. 

Existe-t-il des fonctions admettant plusieurs points singuliers dont 
l'un est principal absolu? L'exemple du n° 19 montre que l'on peut 
répondre affirmativement. La fonction lsinûj„a;" que nous avons 
construite n'a que le point singulier i, et la fonction ^ -r- — dont le 
rayon de convergence n'est pas nul en a, à coup sûr, plusieurs, à 
savoir, des points sur son cercle de convergence, puis le point i. et 

(') Je suis redevable de cet énoncé à M. Monlel. 



RECHERCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. 1^1 

d'autres peut-être encore. Le point i est pour elle singulier principal 
absolu. 

Si la fonction 'f(x) = ^a^x" admet le point principal absolu ^, on 
a une borne inférieure de la plus petite des limites R' de \|«„|, celte 
quantité est en effet égale à ^• 

Je signale plusieurs problèmes qui se posent à propos des points 
singuliers principaux absolus. Si la fonction ^{x) admet le point 
singulier princi[)al absolu j3 et d'autres points singuliers, peut-il se 
faire que [3 soit sur le cercle de convergence? Peut-il se faire que le 
cercle de convergence soit coupure essentielle pour la fonction ç(a;)? 
Peut-il se faire que le cercle de convergence ne soit pas coupure? Il 
ne paraît pas facile de répondre à ces questions. Par contre, on peut 
donner une propriété intéressante de la fonction <^{x). 

21 . Points singuliers principaux non isolés et non sépatablcs. — 
Si la fonction ç(a?) admet le point singulier principal absolu ^ et 
d'autres points singuliers, le point ^ n'est pas séparable. On peut 
même montrer que les points singuliers de 'f (j?) ne peuvent être 
séparés en deux groupes^ je veux dire que l'on ne peut avoir 

9(j;) = |(x)+/(.r), 

'^(^x) et /'(.r) n'étant pas entières et n'ayant pas de point singulier 
commun. Je suppose qu'il en soit autrement, je suppose que c'est (|>(a;) 
qui admet le point singulier p. Par combinaison avec ç_,(a:), on a 

^-H[(p_„^] = H[9.,/]. 

Le premier membre ne peut avoir connue singularités que les points 
singuliers de ■|('') multipliés |)ar p^-, le deuxième que les points singu- 
liers de/'(.r) multipliés par-j- Comme ces points-là sont dilTérents, il 

' P 

faut que les deux membres soient égaux à une fonction entière Cî(a'). 
Alors 

y"(.r) r= Il [G, cp] :=: fonclion enlière, 

ce qui est en contradiction avec notre bypotbèse. 



t42 J. SOULA.. 

Ce qui précède paraît "montrer qu'il existe des relations entre le 
problème de la recherche des points principaux et le problème qui 
consisterait à chercher les fonctions dont les singularités ne peuvent 
être séparées en deux groupes. On peut même aller un peu plus loin et 
faire la remarque suivante. Soit une fonction o(x) qui possède un 
point singulier principal absolu p, soit une autre fonction k(x) dont, 
les points singuliers ne peuvent être séparés en deux groupes, la fonc- 
tion Hfo, k] possède la même propriété. S'il en était autrement, on 

aurait 

H[9. /.-]='l{j:)^f{T), 

^{x) et f(x) n'ayant pas de point singulier commun. On en dédui- 
rait 

/-(a-) = ll[o_„.^] + ll[-._„/], 

et comme 9_i(j?) n'a qu'un point singulier, les deux termes du 
deuxième membre n'ont pas de point singulier commun, ce qui 
contredit notre supposition relative à k(x). 

22. Remarque au sujet des fondions qui ont tous leurs points 
singuliers sur l'axe réel, du côté positif. — On peut essayer d'étu- 
dier certains ensembles de points singuliers, comme nous l'avons fait 
dans le cas d'un point singulier unique. 

Supposons que les fonctions ^(.r) et ç>_,(./) soient l'une et l'autre 
régulières partout ailleurs que sur l'axe réel positif. Dans ces condi- 
tions, si A(x) admet le point singulier p^"", la fonction H[ç;, A | 
admet au moins un point singulier sur la demi-droite dont les points 
ont pour argument w. S'il en était autrement, l'équation 

(2) ll|r-.. III-.. /.ll = /.(.r) 

montre que k{x) serait régulière sur la demi-droite d'argument o). 

On verra aussi facilement que, si o{x) est régulière tant que x 
n'est pas réel et positif, et si H [s, k\ admet toujours au moins un 
point singulier de même argument que le point singulier quelconque 
de k(x): alors, o_,(.f) a tous ses points singuliers sur l'axe réel. 

Ceci se produit pour la fonction 

9(T) = ij"e"'-'-"""'-"''l (n" 12). 



RECHERCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. l43 

On remarquera que, si l'on forme H[o, 9_,], la singularité i x e^*qui 
provient des deux points singuliers situés sur les cercles de conver- 
gence disparaît. Ces points singuliers de l'axe réel ne sont pas sépa- 
rément principaux, mais leur ensemble possède des propriétés ana- 
logues à celles d'un point principal. 



TROISIEME PARTIE. 



25. Elude dun cas particulier du problème B. — Les résultats 
obtenus dans la deuxième Partie permettent de prévoir que, pour 
aborder dans certains cas le problème que j'ai appelé au n° 1 le pro- 
blème B, il importera de savoir si les points singuliers de la fonc- 
tion 9(x) sont ou ne sont pas principaux. On verra aussi que le 
problème est particulièrement simple si olx) n'a qu'un point 
singulier sur le cercle de convergence. Nous commencerons par 

supposer g( u) = -• 

Nous supposerons donc d'abord que Z/(.t:) :^'La„x" n'a, sur son 
cercle de convergence de rayon H, qu'un point singulier p, que ce 

point est principal. Je dis que, dans ces conditions. o_| (.?■') ^:; > ^ — 

n'a qu'un point singulier sur son cercle de convergence elipie\|a„| 
n'a qu'une limite. 

On démontrera, comme au n" 15. que la plus petite des limites R' 
de \\n„\ n'est pas nulle, ce qui permet de supposer sans diminuer la 
généralité des résultats que o_,(x) existe et qu'aucun des a„ n'est 
nul. Soit Y un point singulier du cercle de convergence de ç._,(.rV, 
^Y est singulier pour H[^, 9_/J, car il ne peut être obtenu plusieurs 
fois. Il faut donc que ^y = i • D'ailleurs, si R' est la plus petite des 
limites de '\'\a„ |, on a 

2'i. ,1e suppose encore (jue ~'{x) n'a que le point singulier 3 sur le 



l/i/| J. SOULA. 

cercle de convergence, que ^ est principal et qu'il est isolé : il n'y a 
pas d'autre point singulier dans un cercle de rayon R H- a (a > o). 

Soient ^,, p.,, ... les autres points singuliers de o(x) qui peuvent 
d'ailleurs ne pas former un ensemble dénombrable. Soit y un point 

singulier quelconque de o_,(j:), autre que ^ dont on a déjà reconnu 

l'existence. Nous nous servons toujours de la relation 

(I) H[9,9^,] = -^. 



3y doit être obtenu plusieurs fois. Il existe donc un point singulier (3, 
de 9(-c) et un point singulier y, de ç_| (x) tels que 

Mais 

.3,|>I,3| = R- 
Donc 

l/.|<lyl- 

Si 7, n'est pas 4- on démontrera de même qu'il existe un autre 
point singulier Y2 de o_,(.r) tel que 

_ p _ yP' 

Tant qu'on n'obtient pas ^ do cette façon, on pourra continuer et 
mettre en évidence l'existence de points singuliers 

P" 

y,. ■/,. ..., y,,. .... ^,, _y-;r-3j 5— • 



Celte suite esl-elle illimitée? D'après notre hypothèse, les rap- 



ports A> :;^) • • • sont inférieurs à tt On a 



et comme | y^ | ne peut devenir inférieur à j-, la suite des Y/> est limitée. 
L'un d'eux finit par être égal à ,, > de sorte que tout poini singulier y 



nECIlEltCllK DKS POINTS SINGUI.IKIIS t)K CERTVINES lONCTIONS. l4o 

de o_i (x) pc!ut s'écrire 

(3)' V = ^-^'. 

les ^,, ..., [3^, ctanl des points singuliers de 9(/;j dislincts ou non 
dislincls. 

Les valeurs de y données par la formule (3 ) correspondent-elles 
toujours à des points singuliers de o_|(j;)'? Je traiterai d'abord le 
cas où cp(a;) ne possède que deux points singuliers tous deux prin- 
cipaux [3 et [i,. Dans la recherche des points singuliers de Hfs, ç- ,]. 

I 3 ■ 

associons [3, el-j- Comme Ç dilTèrc de i, il doit dis[)araUre. Il existe 

donc un point singulier j3' de 'p(x) et un point singulier y, de o_|(x) 
tels que 

Donc 

(5' _ « . -, — Cli . 

H — H' /i — ^ 



En associant [il et y,, on obtient un deuxième point y., ^ ^ et Ton 
peut ainsi prouver (jue ç._, (./) admet les points singuliers 

«) ^. |. ■■■. 0:,. ■; 

qui sont tous les points donnés par la formule (3). 

Mais, si 9(r) admet plus de deux points singuliers, des réductions 
sont possibles. Pour nous en rendre compte, échangeons le rôle des 
fonctions o(.t) et o ,(.<■) dont il vient d'être question et admettons 

(jue le point ^ de o_|(.r) soit principal, ce qui sera démontré, dans 

des cas particuliers, un peu plus loin ( n" 2iî). On voit, dès lor.«, 
qu'une fonction qui a une infinité de points singuliers peut donner 
naissance à une fonction qui n'en a que deux. 

Ce cas se présente d'ailleurs comme exceptionnel [lar suite de l'exis- 
tence de relations entre les points singuliers de la suite ( 'i) et il est 
facile de donner des cas où les valeurs de y fournies par (3) corres- 
pondent à des points singuliers. On peut montrer, par exemple, cpie, 

Jjur,,. de \lalh. (S- sciic), lomc IV — F.im-. II, ir,ji. I9 



l/|6 J. SOULA. 

si ^,, l'un des points ^|. 3^, ..., esl principal et non supérieur à l'un 
quelconque des autres, le point ^ est bien singulier pour ç^,(.r). 

2i5. Lorscjue, aux hypothèses précédentes, on ajoute la condition 
que P est séparable, on peut obtenir quelques précisions de plus sur la 

nature de la singularité de o_, (x) au point ^ • Je pose 

f(-f) n'ayant que le point singulier [3 dans tout le plan et ■\'(.f) étant 
régulière en p, de sorte que le rayon de convergence de '|(.'') est supé- 
rieur à R = |J5|. J'ai 

-^ =!![/, 9_,]+II['i,o_,], 

et, en combinant avec/"_, (.r) qui n'a que le point singulier ^ > on a 

/•..(.r).= 9_,(.r) + Il[/_,, |][o_,. 'l]]. 

Le rayon de convergence du deuxième terme du second membre est 
supérieur à t-- On voit donc (pie o^, (x) — y_,(.r)est régulière pour -r^ 
ce qui revient à dire que o_|(.r) admet le point i-ingulier ^ comme 

point s^ingulier séparable et par suite aussi, principal, puisque la partie 
irrégulière est /_ , (.r). 

On voit immédiatement que si 3 est pôle simple, ^ est pôle simple 

pour ^_| (j;). Si ^ est pôle d'ordre yt> de 9('"), on voit que -; ne saurait 

être un pôle pour z^,(x). Si ce point était un pôle d'ordre q, 
H[/,/_i I admettrait le point i comme pôle d'ordre (')/) + y — i et 
l'on ne peut avoir /) -h fj — i = i si p > i . Si par exemple 

o(x)- 



(i—U)' 



('} HonKl., S'ir 1rs sini;(ilaiitcs tle% séries df Taylor {ISiit. Soc. t)uith. t/c 
France, t. \.\VI, p. 3oS*. 



nECIIEIlCIlE DES POINTS SIXGULIEHS DE CEKT.VINES FONCTIONS. I47 

2f>. Élude iVuii pr(jhlriiic plus ^ihiérat. — Des considéralions 
analofïues aux précédentes pei niellent de généraliser les résultats du 
II" 8. Jr suppose que la fonction o(x) = Ii'l)„x" n'admette su/- son 
cercle de convergence de rayon i que le point sini^ulier i , d'ordre 
inférieur à i, séparable et isolé. C'esl dire (juc l'on a 

o{x)-.o,{x)-^'h{x) i cl je io,c 0|(.t)=i^f7„.<'' |, 

o,(.v.) n'ayant que le point singulier i tel (|iie (i — a7)'o,(.r) ait un 
module borné pour x voisin de i, y étant inférieur à i. Le rayon de 
convergence de '^{x) est supposé supérieurà i. Je le désignerai par /•. 
Je cherche à traiter le problème B pour la fonction 'fT'') et je com- 
mence par l'élude de la fonction 

n =0 

en supposant u différent de zéro, des b^ et aussi des a„. Les résultats 
du n" 2(î nous renseignent sur les points singuliers de Q(x, u) consi- 
dérée comme fonction de a-, puisque 1(^« — b„)x" n'a que le point 
singulier i sur son cercle de convergence, que la partie irrégulière 
pour a? = I est 1(m — a„)x" et que, d'après les résultats du n" 8, le 
point I est principal pour cette fonction tant que u n'est ni nul, ni 
égal à l'un des a„. Il importe d'aller plus loin et de chercher une borne 
de Q("C, u) comme on l'a fait à plusieurs reprises. Je pose 

<!»(.;■, 11) = ^ , 



et je remarque que cette fonction est bien celle cpii a été étudiée sous 
le même nom au n" 8. J'ai 



llf()(.r, „), — Q,(.r)--d/(,/) 

I I — X ■ ^ 



Il i)(x, u), o,(.r) -n \- 1I|(^), 'il, 

et, en combinant avec *I>(x', u), 

(5) Q(.r, »)=r<l>(.r, ») H- ll|<^>, II|<1'. ■l]\. 



i48 
Je pose 



«I»,= 1I[<1>, 4»]; a),= ll(a>,, <I>]; 



Je remplace, dans le deuxième membre de (5), Q(j", u) par 
l'expression ((ue nous en fournit Féqualion (5 ) elle-même et je répèle 
(p — i) fois celle Iransformation. J'obtiens : 

(6) Q = (1.^ II [<I>„ -i]^!] [0)3, ■!<,]+... 

+ H[«i.,„|,-,]+ ii[n. ii[av, •:,]]. 

Le rayon de convergence de H[Q, H[$^,, ■!^f,]\ est au moins égal 
à /■'', d'autre part, $,00. ...,$/, n'ont que le point singulier i. L'équa- 
tion (6) montre donc que les points singuliers de Q(-», u) autres que i 
et de module inférieur à /'' sont les mêmes que ceux de 'l, •j'oi • • -i '|'/,-i 
et ceci coïncide bien avec le résultat obtenu autrement (n" 24). 

Soit maintenant D^, un domaine contenu à l'intérieur du cercle 
de rayon /•'' et de cenlre origine; D^ ayant pour frontière une courbe Y 
simplement connexe, laissant à l'extérieur les points singuliers 
de Q(x, u), contenant Torigine à l'intérieur. Soit, d'autre part, une 
courbe simple u du plan des u, contenant à son inlérieur tous les a,„ 
tous les />„, ainsi que leur unique point limite, l'origine O. Si x est 
dans T)/, (ou sur F) et u sur a, $(/", u) admet une borne indépendante 
de X et u (n" 8). Il est possible d'en déduire une borne pour 

<I>.(.r, „) — -L- j «I»(c, ii)^(-, II)—, 

pourvu que .rsoit intérieur à un domaine \, ([uelcomjue intérieur à D^., 
sans point commun avec F. L'intégrale de Faiseval précédente donne 
bien en effet O^^x", «)dans ces conditions puiscjueF contient le point x 
à son intérieur et laisse le point i à revtérieur. <l'( :?, u) admet une 

borne indépendante de x et de u dans les conditions indiquées. - décrit 

un domaine qui laisse le point i à son inlérieur quand x est dans A, 

et ; sur F, $( - > u\ est donc borné (|uand '- est dans ce domaine et u 

sur g; l'existence d'une borne pour "P.f.r, u) est donc démontrée. 
On trouverait de même une borne indépendante de ./• et de u pour 



RECHERCHE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. 1 49 

*p3{x, u) (juand u est sur a et x dans un domaine \, inlérieur à A,, 
sans point commun avec la frontière de A, (\.. est encore supposé 
simplement connexe et il contient l'origine). On peut continuer ainsi 
jusqu'à ^p{x, n). Finalement, étant donné un domaine Ap_, intérieur 
à D^j, mais ([ui, /; étant donné, peut être pris aussi voisin de D^ qu'on 
le voudra pourvu qu'il n'ait aucun point commun avec la frontière 
de D/„ les fonctions <I*, 'l*:., ...,*l'/,_i admettent des bornes qui ne 
dépendent ni de u (supposé suro-), ni de x (supposé dans A/,_,). 

Les fonctions '^{x)^ 4'2C^)) •••! '^/j-i(-^')) ^I^^i ^^ dépendent pas de m, 
sont régulières dans A^,, elles y admettent des bornes. Il est facile d'en 
déduire, par un procédé analogue au précédent, que H[$2, •]/], 
H[$3, 'j/o], ... admettent des bornes dans un domaine A^ intérieur 
à Ay, , aussi voisin de lui (et par suite aussi de D^,) qu'on le veut et 
sans point commun avec sa frontière, ces bornes ne dépendant encore 
ni de x, nide u. 

Enfin la série 

iifQ, ii[av..%i|=y -"(K-o,.y 

'^ *■ '" '''M ^[11 — a„)i' {u — b„) 

est convergente dans A^, puisque A^, et D^sont intérieurs au cercif de 
rayon iP et que la plus grande des limites de \ \h„ — o„\ est r~'. 
Comme la courbe t contient à son intérieur les a„ et les /'„, on a 



I ( « — rt„ )'' { Il — L>„ ) 



M étant une borne indépendante de u (situé sur œ) et de n. 
On peut trouver z tel (jue si x est dans A^,, | ' |< i), — t. Alors 

|"1^*- "1'*'/" 'l^/'lll - ^'^ !'■''- H" K'" -«"!'■• 

11 = 

et le deuxième membre est une borne du premier, borne indépen- 
dante de u et de ,/;. 

De cette discussion il résulte que Q(-i", u) admet une borne, si x est 
dans A^, et u sur a-, puisqu'il en est ainsi des différents termes du 
deuxième membre de ré({uation (6). 

A/, peut contenir tout point du domaine intérieur au cercle décentre 



lOO J. SOULX. 



origine, de rayon r^ autre que les points singuliers de '\i, ^,, . . ., 'j'^-c 
On en déduira comme on l'a fait déjà plusieurs fois que si g(u) est 
fonction holomorphe pour h = o {donc aussi pour u = h" qui tend 
vers zéro si n croit indéfiniment), sous tes autres conditions énoncées 
plus haut, lig(^b„)x" Jia d'autres points singuliers que les points 
donnés par 

[5li, Jîo, ... étant des points singuliers de ®(a;) autres que i et qui 
ne sont pas nécessairement distincts. Ce résultat s'applique en parti- 
culier si I est point régulier de o(j:') et si o{x) a son rayon de conver- 
gence supérieur à i. On peut en effet, sans rien changer aux démons- 
trations, supposer que les a^ sont nuls et que $( x, u) = ;— ^- Le 

problème B est donc particulièrement simple si les points singu- 
liers de f(x) sont tous extérieurs au cercle de rayon i et si g(u) est 
holomorpfie à Vorigine, ce dernier résultat a été énoncé par 
M. Desaints ('). 

27. Cas où la fonction donnée a deux points sur le cercle de 
convergence. — Je me bornerai, afin de mettre en évidence les diffi- 
cultés qui se présentent dans ce cas, à démontrer la propriété suivante : 
Si la fonction Ç'(x) = Sa„x"" n'a, sur le cercle de convergence, que 
deux points singuliers ^ et Jî, tous deux principaux, si le rapport 

s ^^ 4- n'est pas racine de i unité, la fonction O-, (x) = V - admet 
son cercle de convergence comme coupure. (On suppose que la plus 
petite des limites R' de (' | «« | n'est pas nulle. ) 

Je suppose d'abord W inférieur à la plus grande des limites -j- de 

^/(a„| . Soit Y un point singulier de ç>_, (./) tel que [y| =R'; jîy ne peut 
être égal à i, il doit donc disparaître dans H[o, O-,]. Il existe un 
point singulier y' de o ,(./;) et un point singulier ^' de cp(u7) tels que 
(îy = ^'y'. Les modules des deux membres ne peuvent être égaux que 
si P' et y' sont sur les cercles de convergence respectifs des deux fonc- 
tions, P' n'est donc autre que 3, . Il existe donc sur le cercle de conver- 
gence de o_,(x) le point singulier y' = Y^- t)n verra de même qu'il y 

('; Desaints, Journal de malltémali'iues pures et appli(iii(}es, igoi. 



RECHKRCIIE DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES FONCTIONS. l5l 

a ys-, y.s', ... ; l'ensemble de ces points est dense sur tout le cercle qui 
est coupure essentielle. (On remarquera que celle démonstration 
suppose seulement ^ principal, [î, peut ne pas l'être.) 

Supposons maintenant H'=jr- il y a un point singulier y de 

9_i(x')et un point sinj^ulier de o{.i:) dont le produit est i, mais le 
produit des deux rayons de convergence R et W étant i, ceci ne peut 
avoir lieu que si les deux points en question sont sur le cercle de 
convergence qui leur correspond. Le point singulier de z>( -jc ) est donc 

[3 ou [i,, supposons par exemple que ce soit [3. l']n associant ^^ de ç>_, Çc) 

à 3, de f(x), on démontre l'existence d'un point singulier y' = ^ de 
(p(a') et l'on achève comme précédemment ('). 

Cette proposition montre la difficulté à laquelle on se heurte si l'on 
cherche à traiter le problème B dans un cas analogue à celui du n" 8, 
en supposant que le point singulier n'est p'us i, mais un point de 
module i : $(x-, u) peut alors admettre son cercle de convergence 
comme coupure. 

28. Je terminerai par l'étude de la fonction f^,{-c ) lorsque x possède 

sur son cercle de convergence deux points p et ^, tels que 5 = ^ soit 

racine de l'unité. La mélbode précédente ne donne pas de résultat : 
nous devrons appliquer des hypothèses plus restrictives, les points ^ 
et pi seront supposés séparables. 
.Je suppose donc que l'on ait 

/(■v) n'ayant que le point [3, g{x) n'ayant que le point singulier ^,. 

Ces deux points sont supposés principaux. On a | fJ | = | |5l, | = R et le 

3 
rayon de convergence de X-(x') est supérieur à R, s= -^ est la racine 

^lemc jg l'unité, V \(i„\ n'a que la limite tt et enfin une autre condition 
sera indiquée plus loin. 

(') Des exemples du cas précédent sont bien connus et utilisés pour former 
des fondions simples ayant leur cercle de convergence comme coupure : Goiusat, 

Cours il' A/iti/yxc. l. il. p. ^4*^ (-" t'dition). 



n2 J. SOULA. 

Nous partirons de la relation suivante : 

II[/,?_,]4-II[,^, -^_,]=_i- + ï(.r), 

H(x) désignant — 1I[^', 9 ,] dont le rayon de convergence est supé- 
rieur à I. 

Je combine les deux membres de l'égalité précédente avec /"_, (./) et 
je pose 

7(:r) = II[ -./_,]; i (^) = II [;./_, ]. 

J'obtiens 

(7) o_, (,r)-H['j_, ,./]=/_, Cj-)-^.i.f.r), • 

qi-Tc) a pour point singuliers, K-t) a un rayon de convergence supé- 

rieur a -y-- 

Je combine ensuite p — i fois les deux membres de l'équation (7) 
avec q (.''). Je pose 

ll[V.7]=7,: ll[,/,../]=,/3; .... 

J'ai ainsi : 

MI[?_,.7 ] + Il[?-,.7.]-H[A,. <7 ]-H[.i. ^], 

(8) , 

( l'L?-.. '//.-.] ^ "[?-„ 7,.] = "[./■>• lp-^^ + II[.L, v„_,]. 

J'ajoute ensuite membre à membre les équations (7) et (8), après 
avoir multiplié les termes de la Z''™'' par (— i)'~' : 

(9) ?-. + (-')"-' H [9_„7„] 

Je pose 

^i^)--;~. +(-i)"-'7/>(ï-) 

et je suppose que le point singulier i de 0(,r) soit principal, ce qui, 
d'après les résultats du n° 8, a lieu dans le cas où le point singulier i 
de qp{x) est d'ordre inférieur à i et dans bien d'autres cas usuels. On 
voit alors que les points singuliers de o^^{x) sont les mêmes que ceux 
du premier membre -de l'cqualion (9) et, par suite, aussi que ceux du 
deuxième membre. Ci sont donc ceux de y — y_. -(-...± y^,-, combinés 



RECHEnCHE DES POINTS SINGUMEllS DE CERTAINES FONCTIONS. l53 

avec le point ^ de f^,(-'') ou avec les points singuliers de '^/ix) qui 
dépendent de ceux de /.(x) et qui sont de module supérieur à jt- En 

particulier, les points singuliers du cercle de convergence de o^,(x) 

I « .1, si' ^' , , , , . 

ne peuvent être que j' -0' ir^ • ■ ' -^^' L'^ cercle de convergence n est 

H H P H 

donc plus coujiure. 

Les restiictions que nous avons adoptées pour traiter le cas actuel 
sont bien essentielles. Si, par exemple, on ne suppose pas que v /'« | 
n'a qu'une limite, le résultat ne subsiste plus nécessairement. 

Soit '^(x) = -+- A(.r), /i(x-) ayant un rayon de convergence 11 

supérieur à i. Posons A(.r) = lib^x", 

F^e rayon de convergence est le môme que celui de "^^ — au plus égal 
à 75 et les points singuliers du cercle de convergence dépendent de 
ceux de /»(•»'); ils peuvent être quelconques. 



Journ. de Math. (S' série), lome IV. — Kusc. II, lyai 



POTENTIAL FUNCTION AND ITS FORCE FUNCTION. 



CONGRÈS INTERNATIONAL DES MATHÉMATICIENS, STRASBOURG, 1920. 

SECTION III. — PHYSIQUE M.iTHÉMATIQUE. 



The uniaxial potenlinl fitnctioii fonction de potentiel) 
and its orthogonal force function {Jonction de Jorce) 
contrasted ; 

Pak g. greenhill. 



1. To recall the notation, a potenlial function (P. F.) V satisfies 
Laplace's équation, and this for uniaxial symmelryabout the axis Ox 

can be written. 

d [ d\'\ d { d\\ 

(A) d:^\yd-r)-^7n[ydy)=°- 

Then a funclion S exists, which \ve sliall call the force function (F. F.) 

such thaï 

dS dV dS _ d\ 

(') d7c=^^^dV' Ty-"'dx' 

and meridian sections of the surface V and S constant are orthogonal 
curves. Then conversely 

rfV _ I <r/S '!y_—_L — 

('^^ dy~ydl:* dl'~ y d/ 

d /i dS\ d fi dS\ 
W dl\jZI-)'^d^[ydy)="'' 

analogous to I^aplace's équation (A). 

Maxwell introduces a factor 2-, which may be Inserted when re- 
quired for a comparison of results. 



l56 G. GREE>HILL. 

To Standardise the notation, ^\e prefer to use the ordinary Carte- 
sian X and y coordinales, instead of MaxAveU's (b, A), or the (p, ::) 
or (tn, z) columnar coordinates; and gj today is a Greek lelter not in 
use by the printer. But we shall often require in the sequel to change 
to the notation of Maxwell. 

The name Force-Funclion lias been introduced after considération, 
and it is submitted to this Congress for its sanction and approval. 

And Professer Tait of Edinburg, in his Dynamics of a Parlicle, 
Chapterll, speaks scornfully of « theunnatural force-function, ^^hich 
disfigures most of the analytical treatiseson our subject of Dynamics », 
slill however in use in Germany. Tait nieaning thaï lie intends to sub- 
stitute the name potential function. 

So we raay be allowed to rescue the discarded name. and give it tins 
new signification, as representing a function constant along a line of 
force. 

Some writers call it the Stream or Current Function, from its hy- 
drodynamical interprétation; others call it the Stokes Function, 
because Stokes is supposed to be the first to bave employed it. But 
there is always the difficulty of rival claims to be considered, wlien a 
man's name is given to a mathematical function. 

In many cases where the P. F. Vis a complicated function, or given 
by an intractable intégral, it is, found ihat S the F. F. assumes a 
form of greater simplicity; a list of some such cases is given herewith 
in the sequel. 

The calculation of the !'. F. can be made according to a definite 
procédure of intégration, when the metliod of dissection lias beeu 
selected. 

But there does notappear to beany similar straight-for\\iird method 
of intégration for the F. F.; the form of the F. F. S is to be inferred 
from (i), and ihence by the partial intégration whicli lead to a resuit. 

2. Thus the P. F. of an eleclrified lens is given by Professer 
H. M. Macdonald in tlie Procecdings of llic London Malhinuilical 
Society (L. M. S. ), XW l,in tlie form 

(c) V = 7r-C + D, 



l'OTKNTIAL FUNCTION AND ITS FORCK FLNCTION. I 5^ 

\\ liere 



(2) u=f\/( ±1^1211) '^^A^/•< , 

J„ y V chÇ — chu J cU/Ç — co>/(f -i- -îZ) 

and C is deiived IVom D by putling ^ = o; as lliis V will be iound to 
satisfy Laplace's équation (A) and over the spherical surface p- ^ — [î, 
and r = a — ^, C = D, V = -, Avith /a = -. 

The coordinatos (m, p) employed hère are the coiijugate functions 
in the stereouraphic conformai représentation. 

( 3 ) X + iy =: a col - ( c -(- id) 

and tlien Laplace's équation (V) beconies 

d f d\\ cl i dX 
(^) dl^VdTj^dTcVl^ 

as well as for any othcr conformai représentation of conjugale func- 
tions 

(4) x-hir = /{'-*-iii). 

Rut the détermination of the F. F. ternis A and 15. corresponding 
to C or D, was a matter of guess work for llie mosl part, when it 
was Iound ihat 



(^) ^- "f\AM 



sh/ç./rf: 



s,, y clir — i-o,r cli/î — co>/(i'-t- 2PJ 

M chu — cosr \ sh; siw/i c -h 2^) fd^ 

cIlÇ — clw/ ' CllJ — C0#1- Cll/Ç — COS /( 1' -H •> jj) 

and A is derived froni R by putting [B = o. 
Willi thèse values it can be verilied ihat 

a dn dD a dU >/\) y sh// 

(6) -:7T + TT-=^o, 



j' du d\' ' r rtc du ' a clw/ — cosi' 

and tiie same with A and C, as rcquired lyProcccdings of tlic Royal 
Society, vol. 98, 1920). 



i58 G. greenhiLl. 

5. Begin by the consideralion of the. electrical polential ofa cir- 
cular dise AB ^vith axis Ox; tliis is given by 

. . AB 

(I) . 



AP + l'M 



making co ;= -71 over the dise, and w = o at infinity. 
But the eorresponding F. F. is an algebraieal function 



(2) A= -v'[AR-— (AP — PB)-] = v'(\l'-l^l^)s'"-AFB =j-tangco, 

so ihat Ais the semi-conj ugate axis of the eonfoeal hyperbohi thougliP, 
while sin co is the exeentricity of the eonfoeal ellipse, foei at A and B; 
and llie nieridian seetions of eonslant w and A are eonfoeal ellipses 
and hyperbolas. 

The charge induced in the dise, if to earth, by a point eharge q at P 

(.) 
is given hy ~ q — • 

On the conformai représentation of tliis eonfoeal syslem 

(3) y -\- iJ- — ach{n + iç), 

(4) AP, PB = a(chr, ztcosj), 

(5) sin'jj =: secho, A=:asiii£. 

More generally then, any oblate splieroid of whleh Al! is the 
focal circle, insulated and eleetrified Avitli a ehaigc E, will hâve 
a P. F. V, F. F. S and electrical density a, such that 



2E . , AB 



AB Al'-i-PB 

(6) 



-V[-("^)l 



f ^(AP + PB)v^(AP.PB) 



and this vérifies at infinilv, where 



■aE . . AB E 

^'^ ^^ÂB""^^ÔP-^ÔP 



POTENTIAL FUNCriON AND ITS FORCE FUNCTION. IKJ 

Tlie analoj^ous expression ol' 



, . AH 

&),:= cil 



AI'-HB' 

(8) ; 

I A, = - v'UAF + Vtif- — AB^J = v/(ÂFTlWc3i-^ APB = x colhf,,, 

\voul(l apply to an infinité electrified plaie, Ironi wliicli a circular 
lioli' AI! Ijad been cul oui [American Malhemalical Journal 
(./. M. J.), oct. 1917, p. 34(3, Pliil. Trans., 1891, The Stokes Func- 
tion, R. A. Sampson]. 

^l. Willi O y in tlie axis of revolntion and in any systeni ot' confor- 
mai représentation by conjugale functions, (A) and (B) in «^ 1 can 
be replaced, as in (A'), § 2, by 

d ( d\\ d I d\\ 
d /i rfS> d f i dS\ 

At a great dislance froni the axis Oy. where ihe variation of ./• is 
insensible, thèse équations reduce to ihe ordinary équations of tuo 
conjugale functions, \ and S. 

ïhen for a rod AB in O^, or a confocal prolale spheroid, wilh elec- 
tric charge E, 

(') '' = É''-'âW^' S=E(AP-PB), 4..= ^ 



(AP-hPB)v\AP.FB) 

The lineP. F. of thc rod AB willi AP, BP= /•,, r.,, is oblained from 
the intégral 

(2) / ■' =sli-': sli ' =^ =cli-' — — cl)-' — 

a(i\-~ r,) — .v(/-, — /■,) _ rtrt — ,y-+a'- 



= sh-' 



=: ?.lh-' \ / -î-^ I — 2tll-' - 2II1-' , 

\ /"i /"i -h J — v^ ^- a- j i\ r. r. r, 

and tiiis is infinilc alongr AB. 



l6o G. GREENHILL. 

The separate terms, 

(3) Vz=>l,--I±i^ = ch-'^, S = /-, 

give tlie V and S for a positive scmi-infinile rod Ar, and négative 
road \y'. 

Witli ihe break at O, and a = o 

(4) V = sh-'-^ =cli-'- r= il.-':^, S = /=OP, 

.r ^- r 

and tlie slream slieets l'or the corresponding streaming motion are 
spherical and of unifonn thickness, the flow issuing from a pôle and 
disappearing at the other pôle, ^vith velocity elsewhere inversely as 
the distance from tiie axis. 

The single Une source Oy wonld hâve 

(5) V= ili-'=^ +lo"j-- -log^l^t-Z + log.r = log(r + r), S = /- — y, 

r 2 r — V 

and sections of constant V and S are coufocal parabolas, with focus 
alO(A. J. M., XXXIX, p. 35G). 

Take the case of a spherical vcssel, witli a source A and a sink 15, at 
opposite ends of a diameter AB; the F. F. or slream function. 

^ AN NB AP + PB 
^^^ ^=ÂP + FB ÂB— ' 

makes S = o ovcithe surface, S = i aloug A 15, so lliat the llow is 2~. 
But the expression for ihc P. F. V. is more complicaled 

I 1 2 , , A B 

(7) V = -n-TTû-TTï + "> ' 



AP PB AB AP+PB 

i>. In ihe eleclrical dislrii)ulion a over an equipolciilial, 

(i) /,7:o- = !■ =— -r- = - — -. 

' an y cis 

\\\\cve dn, du dénote ihc elcnienl of ihe normal and arc of the meri- 



POTE.MI^T. ILNCTION AND ITS FORCE FLNCTION. iCl 

dian of llie equipoleiilial \ : 

{■>■) -r 

as 



= 1 r.'jy ds, 1 ( S, - S,) -rr ^2 -7.>' rh, 



Gcr 


= 


ca + 1 


•O 


'- 






S 

0(7 


= 


-acV 


-1- 


Af 


Q 


4-c' 




= 


('•■7 


+ 


U 

G: 


- /• 


cos: 



aiid lliis Is llic cliargc or cleciric induction thiougli tlie zone on llie 
equipolenlial. 

Tlience tlie ciiarge or capacily is inferred froni llie lialf difTerence of 
llie exlreme values of llie ¥. F. S. 

l'or tlie insulaled how I. of radius c, electiified to polenlial -, 

(3) V = - — 'jj H — &j', 

/• 

(4 ) S = A 4- ccij — cw' coss. 

But for tlie giavitalion polenlial U of tlie bowl, of uniforni super- 
ficial density a, g/cm-, 

(5) 

(6) -^ =— ad' -1- AtQ 4- c"i2cosy 



as in tlic American Journal uf Mdllicinatics (A. ./. -17.;, t. X.Wlll, 
p. 391, W denoling the P. F. of tlie plate on AB. 

Hère Q is tlie solid or conical angle sublended al P by tbc circle 
onAB, andlî' the solid angle sublended at P', inverse point of P in 
the sphère or bo\vl. , 

The gravitation P. !■'. and 1". I\ lias been worked oui in ihe 
A. J. M.. 1910, t. XXKIIl, p. 391, for a homogeneous piano convex 
lens, and thence, by addition or suhlraction. for a double convex, 
or concavo-convex lens. 

The converse process on p. 399 of deii\ing iho plano-convex lens is 
Iroublcsome, in leading to an indetorminate form. 

<). '["lie eleclrical problcni of a point charge q at Q in ihe présence 
of a conducting sphère to oarth and of the electrilîcation induced, is al 
the root of ihe melhod of inversion. 

Journ. de AfaCh. (8* scrie), loine IV. — l'asc. II, 19J1. 21 



102 G. GREENHILI,. 



Tlie potenlial ovcr the spliere is rcduced lo zéro if a point charge 
— q' is inlroduced at (^) , inverse point in ihe spliere oi' the point Q, 
adjusted so thaï at any point P of llie sphère 



(>) 



_2_ v_ 

l'O l'O' 



Thcn if PA, PB are the biscetors, internai and exlernal, of llie 
ansle ()P( )' 



(?■) 



r/' _ l'O' __ n'A _ (,) B _ O'Q' _ O V _ /0(,)'. 

7 ~ pQ" "" "oÂ" "" Tm " oÀ " OQ ~' y oQ ' 



APB is a right angle, and <)QP, OPlV are similar Itiangles. w ilh 
OQP=rOPQ'={i, , 0Q'P = 0PQ'=6', 

v'_PQ'_op_ /ôq; 
^ ' q ~ py "" og ~ \ / og) ' 

so ihal the capacity of the point images al (^, Q' may be Iaken as 
proportional lo ihe square root of (_)(^), ()(^)'. 

The résultant force V al 1' is ihen along iho radius PO, and esti- 
maled in the direction lo the insido of the sphère 

(4) . !• - '-p^ - ^ = p^ (^p cos^. _ cos5 ) , 

00-— OA' 

(5) OQcos6-OPcosO'=gR-PH = QP';rr ^^TTF^' 

... „ OQ— OA' 01' OQ-QQ ' 

• 
varying inversely as the cube of PQ. 

Put V = /iTo-, and ct is the density, eleclric or gravitation, of a sur- 
face lilm, like a coal of paiul, lo make a centrobaric shell, allracling 
external points as if concenlrated inlo ihr im;ige (^)'. 

7. Suppose a succession of eleclrified () points oulside the sphère 
to inake a ring; the séries of (^)' images will make anothcr ring, and 
ihe eleclrical field oulside ihe sphère, if uninsiilatcd. is due lo ihese 
twô rings. 

I^el ihe O ring for instance be a circle on diameter Ali, presenled 



l'OTENTIAL FUNCTION AND ITS FORCE FUNCTION. 



i63 



direclly to ihe sphère, and charged willi C coulombs of elcclricily. 
Tlie eleclrical densily Acr at a point l' on llie spliere induced by llie 



.dB 



cliarge ^ = C;-^ al Q is given by 



Aa=:C 



^ dO OA.-^— 01'^ _ Cj/e OA''— QP^ cosQPN 
r^ /iTr.OF.l'iV' ~ 8^ OP.FD FQ- ' 



if PIN is the perpendicuiar on ihe plane AB of llie circle. and lliis is 
llie componcnt atlraclion on P of the q parlicle al () perpendicuiar 
lo the [)lane AB, mulliplied by T^rTyrrTTv"" 

The total i induced at P will be the same multiple of the attraction 




of ihe ring perpendicuiar to ils plane, and tliis atlraclion is expres- 
sible by E, ihe complète E.l.ll. 
Because with = '2co, 

, PB 

(2) PQ5= PA2co,2oj-t- PB2sin-f.j= PA- A'^(w. y), 1 ~ Y\' 

and then llie coninonciil normal allraclion is 



(3) 



„ fr-dO_ V^ _ 9.C PN r rfc) 



ihis is reduced by a change lo the co-amplilude angle co , by 

(/w d(ti' 



(4) 



y' langfii ianga)'=: i, A'.jAw'^^y', 



Aw Aw' 



i64 

and 



G. GREENHILL. 



Theu on tlie sphère at P, in coulombs/cm" 

0.\^— 0P= I H 



P.\ JI^ 

I 

-Tï 



(6) 



;C- 



Ti.OP PA.IMi- I _ 

2 

The P. F. at any point R due to this electrified ring on AB is 

— r" <^-^^ _ c r'^'i^ _ r. G 



(7) 



G s/y' 



C 



7 ~ 



K/.' 

2 " 2 " 

C K 

-(RA -+-RB) -- 

2 2 

I - X HA 
RB' 



in a quadric transformation. 

If C is the charge on the ring A'B', image of AB in ihe spiicre, 
the P. F. at R 

(8) V: ^' ^- ^ O'^ ^' 



RA I 



RA OA 1 



and then U + U' = o when R is on tlie splicre. 

The F. F. of llie charge C on tiie ring AB al any point P will bo 
given by G a il,, where ii, is llie solid angle subtcnded al any point A 
on ihe ring by the circle on PP'. 

Tlie expansion given in a séries of zonal liarmonics is worlldcss and 
midloading. and gives no indication of the infinilies on llio ring AB 
and its image A B'. 



POTENTIAL FUNCTION AND ITS FORCE FUNCTION. 1 65 

S. 'Plir typical élément of a P. 1". may be lakcn as llie reciprocal 
ol' R, distance IVom a fixed point, and vvlien the fixed point is at C 
in ( )x-, willi ( )C = c, and OP = /•, xOV = and cosO = u. : 

(i) R^= C-— icr cosO + r-:= c^ — 2cv,a 4- z-^; 

and wilh respect to the axis Ox the F. F. is cos PCr. 

The expansion of the reciprocal of R is powers of - or -■, iiitroduces 
the coefficients of Legendre, or zonal harmonies as ihey are also 
called, denoted by P„(;-'-) such ihal 

and the discussion of the analylical propcrlies of liic zonal Iiarmonic 
is to be found in every treatise on the subjcct. 
They may be summariscd in the relations 

(3) i^(,.-,)^"='<(^<-^-.)l',„ 

(4) 
(5) 

(6) (p,-._.,) ^ = („ + ,) (i.,,^,_ ^p„) = /;(fzP„- P„_ ,) 

and so on (Mc.ssrni^rr' of Malliciiuilirs, AugusL 1919, R. Ilargroavcs, 
Standard relations of Le pondre s Funclions). 

Maxwell's interprétation by the coalescence of pôles along Ox is 
explaincd in his Electricily and Magnelism, giving a physical mea- 
ning to the résuit, such as in the rcpeatcd axial diflerenlialion 

(7) ^-^,j 7.-^:;^- 

13ut the corresponding typical elemcnl of ihe V. V. will be R, and 
cxpanded in a séries 



p„ 


(H-) 


_ . /- r/ \ 


rv— >)" 




" 'l" .ni W/;j.y 


' 


{« + 1)1 


H + l 


— (2/i + i);j-l' 


„-(- /( l*„_i: 


= 0, 


. dP„ 











(8) 






l66 G. GREENHILL. 

and since 

(8 y 1^=/^' 

^^"^ '^ J ^'^' '^ n(n-hi) du n{n-^\) d^.' 

_ P„.n — ,aP„ _ ;jlP„— P,; ., _ P,,^, — P„_, 



lis is cosi'LiX or 
The F. F. of R. is gfiven aireadv as 



But R is not ihe F. F. ofr;) as tliis is cosPGx or-;— • 
H dx 



(lo) fl'-'^ =ch-'p^' = lh-'(sinPCx)= loglangj'^Tr^ -VCx\=.... 

Cousult R. A. Sampsoii in the PliiL Trans., 1891, on the Slokes 
Function, and a discussion of the properlies of I„([ji). 
Similarly, for ihe F. F. relations of axial difîerentiation 

d \" n\\„{u) 

Thus for a solid sphère, take 



(■') 



(12) V = -, S=;^=cos5, 

r dx 

and for the magnetic doublet molécule, or a sphère moving alon^ 
0.r in infinité liqnid, 

, ., ,r d / 1\ X „ d-r . , rf9 y- 

dx \ r I /•' dx^ dx /■ ' 

Ileuce for a spherical boss ou a infinité plane, eleclrified, 

(i4 \=x — x — , S = v*_,î_ 

Siitisfying the relations V = o ovei' the surface, and in space 
, ., t/S d\ dS dV 



POTICNTIAT, l'UNCTKiN AND ITS FORCE FUNCTION. 167 

Coaxial doublets al S and T. inverse points in a spiiere, centre O 
and radius OA, willi lesiillant F. F. 

S — S — PN2 — — PN^ — , 
a, — 3.2 __ I i\ g|,j, I i> 'p|,,i' 

will liave S, — S. = o over tlie spliere, whicli caii be made to screcn 
tlie motion insidc and onlside ihe surface. 

A singlet source at S and equal source al T would be screened by a 
plane bisecting ST at right angles. 

But with a source S in tlie présence of the spbere and outside, tbe 
résultant F. F. 

S.\l OA TM TP - TM OP — OM 



S, 



^V os TP OA OA 



so ibal ihe liydrodynainical image of llie source S in tbe spbere is an 
image source at T, and a Une sink from T to O. 
Over tbe sphère tbis salisfies tbe condition 

MS TS — MS TP + OT 



Si = 



SP SP OA 



MS SP' SP OT 


MS SR 


AT 


AT 


SP "^ OS "^ OS "*" OA ' ' 


- ^sp "^ ""os 


OA ~ 


OA 



and if SP culs tbe spbere again in l'', SP.SP' = OS.ST, so tbal \\ilb 
OR bisectine: PP' al riglil an}2:les, 

S,=- 

a constant. Tbe P. F. can tben be writton do\\n, but is of more com- 
plicated analytical cbaractei', involving a logarilbm. 

A single source at T inside tbe spbere would bave en image source 
al S, and a Une sink exlending from S lo infinity, and would re(|uire 
to be associaled pbysically wilh anolber equal sink inside ibe spbere, 
to draw ofT ibe accumulation of tbe stream. 

Tbence ibe spociid case given already in § i. 

U. Tbe P. I'\aiid !•'. !•". bas becn calculated in {\\e Phil. Trans.,ïÇ)\g, 
Elcclroinagiiclic liili'gnih, for a luimber of problems in ElecU'omag- 
iielic and Attraction Thcorx , and tbe conlrast drawu of tbe relative 
simpUcily. 



l68 G. GREEKHILL. 

Tliiis for the rim poteiitial P of ihe circle on the diameler AB =^ ia, 
witli axis in Ox-, reluriiing to Maxwell's notation, 



(■> "=rî5. 



(2) (o = -Ô, PQ' Tzi r^ cos-u H- /■; sin- (0 = /-j A'(w, y ), 



■/ 



(0 1 



., 2(7 ç"" fl',i 4"*' p /'" f^i" , 4 \« 



Ikil S. the rim F. F. at P proves to be jiiven by the conical 
angle ft(i — /), snbtended at any point ou the rim of tlie circle AB 
by the circle on the diameter PP' : 

S=27irt£2(i— /.) [Phil. Trans , p. 5;), 

the conical angle snbtended at P by the rim AB being il = L}{/'), 
such that 



(4) 



.Q(/) + o(,-/) = 9.--P-. 



The solid angle 12 snbtended al P bv the circle on AB is the 
magnetic P. F. of nnit cnrrent ronnd the rim AB. or of the eqni- 
valent magnetic sheet on AB, magnetized normallv; and its F. F. is 
given by Maxwell's M. in E. and M., § 703, in conséquence of the 
eqnation (2), (3); and 



(5) 






i\> 



dO 



y, A., 

. + /')G1; 



(j and H, and so M is exprcssed by the complète F. 1, I and 11. 
Tliis M as definod by Maxwell is négative; sopiilling 

then (^cos'^ is the magnetic poleiitial of the circnlar sheet on AB 
magnetized parallel lo Ali; () is a veclor poletitial. 



POTENTIAI. IT.NCTION AND ITS FORCE I- UNCI ION . 1 69 

The inlej,n-ali()ii oT IVl vvilli respect lo h will ^Mve L l'or the iiiducliuii 
of a ciirreiil slieel round a cyliiider i FAcclroma'^ncAir. Intégrais) and 
this is also tlie !■'. !•". of a circiilar area on AB, 

L= ( Udb znabV + - AM —r.{a'-—k'-){:iri — il) 



(6) L=y"i 



= 7rA^ -l'+ -/yM -7r(r/'- .V')^i('— /)• 



riicii l'or llic r. V . W of llir circLilar area 

(7) ^-jj— FT^^^'^^^-'^- 

An iiilcgralioii of LavUI j<ivr iN [\\<- V. F. of lii<- solid cylindcr, al a 
point in tlic plane PI" of its base, and 



(8) N -- /lw/6=r7:rt(^^A»+ //Ml* 



= n\'-(ia+ -')l' 
\ 3 a j 



./iN 



'l^|„.„ IL is (lie |'\ F. of the cvlindrical sUin, 
an 

llic 12 bcing incliidcd in W. 

But tlif P. V. of tliis solid cylindor, and of ils cvlindrical skin, 
introdiiccs an inlraclablc inicgral, wlicrcas wc may say llial llic !•.!•. 
bas bccn cxijrcssrd in linilc Irrins, llial is by tabulalcd l'iincllons. 

So loo for llic 1'". I'\ of llic dise, wben llic dcnsilN varies as 
sornc // -- lli po\MM- of llif dislancr j'i'oin llir ccnlic; ibis can bc 
exprcsscd in linilc Icrins, wiicn llic P. I'". is inlraclablc. 

F(n' tbc dclails of llicsc inlr^ialions consull llic Mcinoir on Elrvlro- 
ma^n''/if //i/c^ni/s in llif /'/ni. Traiis.., Dec. i;)H). 

,yo»//i. (/<• l/(///i. (S« scric), tome I\. — I^'um-. 11, nr'- 



IJO G. GREE>'H1LL. 

The skin P. F. of llie cylinder is given by 

(,o) i^l"'acief'^^ = f""adOlh-'^^ 

and ihen \s\\\\ 

5 = 2w = 2ami/, a=:eG, PQ = 7, dn(/, 



put 



sn 2/ (jr =: — > en 2 / (j = > 1 1 n 2y (_i i= > 



i- z= (j -H 2/ U «, sn (■ =r , en i' =: 



(7 H- A « + A 

a — A b i en c 



a + A PO sn r dn ii 

b enr i . . . 2Sn('cncdnf/ 

lli^' T—- ^ i lan" -' ■ =r - / siii 



(■-) 



l*(^) '^ sni'diiH ! I — y-sn-rsn-H 

I . I . 

=: - ( uni ( (/ -H i) i ani ( it — c) ; 

I = 2 /« / I am ( » -t- (• 1 — a m ( M — r ) ] r/ a m ti 



ail inlractable intégral. 
Expandcd in a séries 

, I <* _'^ I / b Y"'" • ' ■^ I / b- ■/' 

('2) ti PÔ — Zl m +1 IPQy' ~-Zj 2rt + I V?7^ dïï^ 

1 

(.3) ,^4«y(J^'r'iMiO. 

(Work oui tlie surface longiliidinal pressure due lo self allraclion. ) 

10. In a change lo anolher sysLem of orthogonal co-ordinates, 
M and i-, given by ihe conformai représenta lion of a conjugale sysleni 

(i) y-4- j.r =/((•-(- t(/), 

(•(|iialioii (A) and (B) will change inio 
,^,^ d ( d\\ d ( d\\ 

(■') d7<Vdr.)-^T\yin>) = ''' 

// / \ dS\ d : I rfS 



- -r \=0 



POTENTIAL I LNCÏIDN AND ITS KOHCK FUNCTION. I7I 

Tliiis l'or a syslcm i)f cnnf'ocal C(jiiics, l'oci al A, 15, },mvcii by 

(2) V -+- t.r = cch{ (• -1- /m), I — c ilw/ cosf, .c = c shu sini', 

d'\ , dX d^\ d\ 

, , , f/- S , of S c/- S r/S 

(1) -7— >^'""7^ h -T-r -M'Tig'-r =" = 

or \Mlli c\m( = C, cosc = a, 

^ ,,,, ,^/V d , </V 

(6) (c^_,);g^(,-,^)g=o. 

Whcre V = U.W, S = (Kl{, iiiid U and i) aiv l'iiiiclions of 
u or C only, W and R. of v or a only, 

(8) ,C^-,,g=/.g, (.-,a^)^=-/,K. 

Tlins wc inay lakc 
(y) •,»=: / L '/c, H = / \\\/,u 

or 

(10) Q=(C^-i)-^, R = (,__p.-',__. 

11. In llii' conformai r('pr(^s('nlalion of lin- dipolar co-ordinales, 
« andc, of llic slrrrograpliicprojcclion of lin- hcniisplicrc, as in (^X) § 2, 

(1) y ->r i.r — a cotli - ((/ + /r) oi- a cni - (c -h f»). 

sli it, sine 



y,x—a 



ch « — co^ 1 



Tlicn, pnllnig \ :=P\(^clw/ — cosi), l.aplacr's ('(inalion {^\') 
becomes 
, , d-'v , dv dn' 1 ,, 

(. 3 ) —— ;- -f- cotli // -;- H 1-7 -+- - I ' r^ o ; 

du- ilti dv- [\ 



1^2 G. GREENHILL. 

while, Avith S = ■ (B') beconies 

\ ( cil u — cosf ; 

( 3 ) -— - — coih M 1 ;-— + -. Il = o. 

au- du dt- -1 

Thi^n witli P, R, varying' as e'"", and writing- C, S for clw/. sli«, 



'/ ,. (tP I 1 ,.. , d-W 

dU^\" 



(4) ^(<— ■'i: = i--r)'^ .c^^n^ = ;.^-;)R; 



so ihalPis a zonal harmonie or Legendre t'uiiction ofoidci- / = /i 
^^hile R is an 1 tunction, of the lorm 



/ 



PdC. 

Thèse are the toroidal functions considered b\ W. M. Hicks ii: 
Phil. Trans., 1881-4. expressed there in the forni 

I /■" d^) 
(5) P„(<')=-l ^ ;; 

"^^ iC-+-Scos9)"*^ 

and tiicii, by difTerenliation, 

( s + c cos 5 ) - 

and differenliating again 

(7) ("--)^'' = -P"-C-^ 



dC dC 

(8) (n^^ )S=P„=(«-t- 1^C(CP„— P„^,)-(«+ ^)(CP„^,— P„_,), 

(9) (2« + 3)P„^,-4(« ^ I iCP„^, + (2« + i)P„= o, 
the reciirring relation; e(|uivalent to 

(10) 4/î(CP„ - P„+,) = ( !/j — i)(P„-, — P,,,,), 

(..) H„=. l'p„dC = -''''"-'''-- =''-'-''-' =^, 



rolh.NTIM. IlINcrioN \NI> IIS inUCK KL'NCÏIO.N. \~) 

aiid otiier rclalioiis analo^oiis lo llir- former séries for llie zoiial liar- 
nioiiic of inlcf^ral order. 

12. The change is ruade lo llie form einpioyed hy .Vlacdoiiald. m 
/,. l/. .S'.. \ VVI, hy tlie subslilutioii 

(l) (.; + S COs5=: t'^— — i-- = ^ COS^W + — sill-O), 

yr/-2 7-2 7, 

1 i^y n n c r ■ S-sin-^ 
{t) ! . ch « — ch r = 2 C — L — h cos (/ — ^ ^ = ^ j , 

— SfiinOf/'J lit, —db 

(3) ^Ç=7T 



C + bcos^y v/(2chM — chÇ) v^l^ -f- Scosô) 

(C + Scos9) - '^ ^ ' 

Tlie réduction is made to elliptic funclions ihrougli 

i ■ . c- • (\\\- eCi 

l C'^r (( ; + S ) cosVj) + ((^ — S) biM-(u = t'" A-',i = — -7 — , 

- Ô ;= r,i — :i m e G ; 



(ô) 



/ 




7. 




I 


i"+<i dneG 
~ 7' 






~ dneG 



(6) e^ — ;— , sh-(« + Ç == -S-i n' 

, , . ,1 ^, v-sii'-eG 



dneG 



1 IV. , 1 ' / -, I I , vx y's-n^'eG cneG 

: cil « — cil r = 4 sli - // + r ) sh - ( (/ — ; ) = i , , - „ > 

~ 2 y dn^eG 



(8) 

(9) , . ^ ====-i\J^' deG, 

yi 2. en f/ — en ç) 



(lO) 



,, , 'is/y' r /dn'eG\" , „ 



beginning witli 

-~ -'^V''7' 

and llien proecediiig witli tlic se(|iieii('e ec|ualion (()), fi I I. 
(12) l'.^iGI', -^l',„ \\=..., 

.-> 

ail llio l*'.v = I al // — o, liiil al // — ao they are ail infniilc. 



174 
Theii, w ilh t'G = \ . 



GREENHII.L. 



(.3) («-l)R„=P„.._CP„=iAZ_/"[^-i(,'^^)],:!^P/. 

^J^ ^(c„^.-sn^■)(^)^A■ 
starting witli 

(.4) i,^^^G-H--(n-y^^ ^ A... ^ 

('■"') 2/iR„=P„^,— P,,^,, 

starting w illi /? = i , 

(,6) 



2K. = p,-p„=^((:p.-p,)^^'^/^'"-^v""; 

- '^7 vy 



and tlience hy the seqiieece équation (()), ^ 1 1, to the séries 
(17) (2« -H 3)R„+, - 4«CK„ ^ (2« — 3)H„ _, = o. 



1."». In a (^)uaclric Transformation of thèse Klliptic Funclions, lo a 
ncw niodulus 



(0 



_ ' - y _ 



lli - Ç = /. sn (1 — ■.>e)K, cli-Ç=: 



-, z=z l\t - it, 

I + y' 

(In-c'G i+xsii(i — 2e) K 
y' I — •/ Mi(i — 2e )K 

tin 2f'K ,1 X en 2eK 



(0 



., I 



ih -(u — Ç) lli - Il — lli -Ç 



y' in- t'G : 



ili -( » 4- D lli - « 4- lll -£ 

•', ■ 2,2' 

I — su (i — 2e)k (In 2eK — en ut- K 
I 4- sti ( i — 2 e ) K d n 2 e K -(- en 2 e K 



■lit := — y. sn 2/-K .(Vl >cK 



and 

(3) 



POTENTIAL FUNCTfON AND ITS l-OHCE Fl.NCTION. 
— ■/. sn 2eK,(/('.ieK) __ 



175 



,I,W. 



-sn aeK 



f" «î _ _ _ 

(1) / , . , ^ — 2y.'k. cîez' K = 2Gv/y', acOv/y'. /.'K=^Gi/v'- 

J_„ V(2-cli" — chr) ^' ^' ^' 

Theii 

I '■'-=■/, y iS-, -{y1-h-/l) = y,y,c\)ii, 

•.J«jcos0= 7(7; -H yï ) — /•' = ■/, y, (clw/ — e-), 

iln^eG 1 -f- X- dn 2eK H- •/ en 2ek 



cil // — (" = - ( —7 + y 



2 \y' ' / y' x'^ dii2eK — y. cn2<?k 

I -f- x^ — ( d n 2 e K -1- X CM ,! e K )- 
x'- 
I — il M - 2 e K — x c n ■> t? K d 11 2 c K 



(5) 



M /'" {cUii — e^) c/X 

2 v/(yi 72) '^-K V'( '^•'^'' " ^ '^'' ? 

r' , , ., . . , , 2Kf/e , k — F, 

=r — 2 / (1 — dn-!cK — xcn2ekdn2eK) =r— 4 — — ; — , 

, ' X y. 

K r=L I du- '. c k . '. k de. 



M=-'ir(y,+y,)(k-l<:). 






l'i. Tlic inlegral considered by Macdonald, /.. i/. >., \\\l. 
p. i6f), 



(I) 



is a zonal liaiiiioiiic or Inioidal fiiiutioii of llie second Ixiiid, and ol 



176 



G. r.REENHILL. 



order / = n ; and by ihe substitution 



:2) 



e'=C + Scli5', nchr — cli«) 



C-^Sch5' 



it takes the form employed by W. M. Hicks 



(3) 



>„(">^ /" 



M' 



° (C--Sch6') ^ 



Tlie réduction to llie eliiptic function relation is niade tliroui^b the 
substitution 

(4) e-^/snVG'. ■/'=e-". Q„(») = 2V'7/ (/snVG')"cyG'. 

Because 



(•'i) 



= y' sn /'G', e - = siiyG . 

ci|5/G'dnVG' ,, -^cn/G'dn/G' p, 



i sn-/G' 



,/G' 



(6) f" 



rfr 



,^ \ (-i.ch ' — ch (/ 
Then in the Ouadric Transformation 



= « G v'-/' . 2/G'\7'- oc > r > «. 



/ , ^r^i I ^ du /'K' ils, 1 ,1 , 

e~':rr y'sn-/ G = , ' ,., > tll-; = dn/l\. 

' ■' ■ n- dii/k' 2 " ■' 

secli - , = X sn / K , - a' = — — :-7t^, f/AK , 

3 - •' ' « ■ snyK' ■' 

I >■ i ' / i- ' >• u' ' \ ' c"-/''^' 

■>..cn ; — en « r= j 1 en-- i, — on- — f/ 1 ;= j -r- — „ ... , ; 
V ■'- " ■'- / x.'-snyk" 



(8) 



dZ 



^/(a.chÇ — cil /( ) 



'rf/K'; 



■ '//r V {■'-•cli ' — ch//) '^ *-' 

'J'Iie correspondinjj ellii>lic l'unclion expressions ol' l{„ ^ii\ in (i3\ 
«5 12, irrespective of a constant factor, are then 



(•") 



R„ ( M ) — / ( P„. ^)„ ) f/t; — / e '^"': v^i ■■'-cil // - ch r ) < 



rOTKNTIAI, IINCIION \N1I ITS KOliCK hUNCIION. 

and so reducible in tlie saine uay lo 



or 



(lii = eG\" 



SM-'t'G cn-ed At (le 



/• /(lii-eG 

j\-/su\/r.'ycn\fLydnyG'.G'^(f. 



lit. Cliange Z into ico in ( i), i^ I i, to olitaui anollici- for ni ol (^), 
not derivable however directly froni llic foi ni m (i ), ( lo ). ^ l'i. 



(1) 



i''-""=r 



cos/i w d(i> 

V/(2 C — COS. 

'•*v'n ^ COSrtwrff. 

dC ,1 , ^ 

(2 Li — cosw 



I \ ^^'v'-, " 'y' .1^1 . 



/COSrtwrff.) _ / l\<'*v'" " 

rr^^T^TlJ ^ V* ^ 2J 5 



and llien, wil 



(2) 



(3) 



i^ 



(7: — oj) = iiiii /'K'. 



c?w 



V'(2 C — co=oj) 

1 ' 1 I ' — y' 

/ -ech - '/. / z=: tli - Il -^ —,; 

■2 ■'. i 4- y' 

(^>„(«|— / cos/j ( 7: --■->. iiin/'l\')x'c//"k'. 



^zV/k'. 



As in llie Am. ./. Mdlli., \\\l\, p. i;"), ihis is convertible in lo llu 
forin(')), i^ l-î, by tbe siibstitulion 



.1 \l(C + ?>c\\V 

il) -lll-fO= ; 



Cil - Il 5I1 J 



(■■y) 



i\\ - Il ■+- ch - « cli V 
dr., 



ill - Il -+■ cl) - Il cil 0' 



rf5' 



V/(2C — cosa.) v'(<'-*-Sch9') 
Hei'C a_î!;ain. siibsliliite 

(6) cil - 5'= scci;, sli -^9 — hiiif;-;. f/ô'= 2 seciiT';, <■ « — y' 

(7) Ci Scii6'=e"cir--'y' — t-''sii-';^r ^•■'^■-•^"i, 

Journ. de Math. ('• siTie), tmiie l\ . l-':i>ii-. M. 1 ,■! 



■2,^ 



i7« 
and 

(8) 

(9) 



M' 



\j[C. ^ S cil 5') 



G. GREE>HILI. 



2vV'^=2v/-/<i(/G'). 



.m /"G': 



G -H s ch 5 



,_ dn^G' 



y'cir-/G' y'-M (I — y )G' 



and tlien, as in ( lo), § 12. 

(10) Q„(«) = 2v7/ [/sn^(i-/)G'j''GV//=2vy / (/^nV-G')"GV/. 

A qiiadric transformation connects up tliis 'o and llii'oui;h ihe 
relation, 

,- ■ — ^ . ch - « ^ sh - (/ cil 6 

(11) dn/K.'=t/(^i-/:^i,i.,-^w) = — ^ '^- , 



:'2) 



1— dn/K' 
1 + dii/G' 



sh - » -^ cil - (t cl) 9' 
-''lh--5'=-/sir/G', 



(n--/)sn/'G' ... cn/G'dn/(i' 



> + y's,iV(-; 



l^-/sl.\/(. 



llie usual formulas of llic comijlementary (^)uadric Tiansformation; 
and 

, ,, ,- ^ , vsn/G' cn(i— /)G' 

cn/(i dn/(j cn/G 



sii(i — i/)G' 



/, dn s/G' — en 2 /'G'\ / 

V Vdn2/G'-l-cii2/G7 ~ \/ T-f-sn(i — 2/)G'' 



(i5) 



In/K _. /,^-/>n(i — 2/)G'_ // ■^•/' \ ■-7'-"\/'G' 



VZ ~V/ I — -/'sri(i — 2/)G' 



16. Tlie réduction can be carried ont in tlie sanie manneras for the 
toroidal fonction 



J v'(2-chr-h( 



cos5) 
solution ()f llie D. K.. witli cn-O = a. 



POTENTIAL KUNCTION ANU ITS lOHCK ILNCTION. 1 79 

llir.oiiijli the siihsiilulldii 



(3) 

(4) 

(5) 
(6) 

(7) 



2 ' I — cos ç 2 ' sin cp 



I sin 

: col- 9 



I COS® 



in2- Ssin^ 






, — sin -0, 



r/u 



rfs 



V/(''..cliÇ-Hcos9) ^? 



-r— = — (/(eK), o=;amt'K, 



x: 



^; 



^(2. cil? + co>9) 



:.-K, 



1^0 — :« 



V'( 2c.hÇ +cos6) ^ 



cl n e K 



Il (-k en (1 — e) K 
In lliiMjiiiulric IraiisfiM'iiinlioii 

dn ~ eG + âni i elG 



(8) 



(9) 



(10) 



dn(i— e)K 



dn-(i — f)G4-dn-(i + e)G 



th^-r = 



2 vy 

,, en' -(1 + r')K 
I — sn 2eK a 



, I ^ I + snaeK ,1 ... 

cil -Ç -I- r cil' -(I — <:')l\ 



I -Hx sn eK. 1 + 



I — -x snc'K I 



I — ■/. su- - (l — (-) Iv 



cln^-(i — r)(i 



I + y. su- - (1 — e)K 
tir- - r =r- •/' lu- - (1 " <')G, •/'— tang--^i- — 5). 



I I A'Ii ^ -+- Ciis9 

(11) suc K ^secli - ;, cnck — - tli - C, ilnek-rt/- — ï-— , 

^ ■> a V ch; -(- I 



1 8o G. GREENHILL. 

and 



I K = t / i I c 11 ( 1 — p K = i / — — 



' / / cil + 1 

dn(i — r)k--cos-&l/ -p-r ; 

3 \/ cil ' -t- COSI 



17. Thfii tliere are llie (leriiillioiis of llie loroidal luiiclioii in llie 
foim 

. . 1 ■'^ J_() v( a.costp — cosô) 

[ R„(ciis9~) = - /\/('î.coscp — Cos9) cos« cp rr/cp, 

leatliiin- lu Vieil lor's deliiiilloii <if llie zoiml liariiioiiic (if onler /// \\ lien // 

is replaced by m -^ -■ 

Hère in a rediiclKHi In llie elliplic fnnclidii \\ e snhslllnle, as in 
pendnlnni inolion, 

(a) !,ln-a=:sin-5siny, cos-9^r A/, z ^ ^i^ - 9, 

(3) 2 .coso • — cosS = îi.siii- - 5 — sln- - o ^ 'i sin- - *} A-/, 

sin-^cos/'// 
r M ' ,/. - ^? _ '//. 

''■ ' ^7. \/(2.cosffl — cos6) -*7, 

and llien ros/zz-p iiinsl be expanded in pnwer of co-^- - o l<> oblain a 

resemblance willi previons iesnll<. 
When // is liai fan odd in|cg(M-, 



n ^zi m + 



cos/i o -zr cosnica cos - co — ^ sin 7H0 sin - os, 

^ '.! ' ' 2 ' 



and ihe inlegralion can be elTccled algebraically. hi llie ordinaiy foriii 
of llie Zdiial liai'inDiiic of I^egcndix". 

Tlie sohilion nf llie I ). I".. for llie Meliler fnnelion. 



POTKNTIM. FUNCTION .\ND ITS FORCE FINCTION. l8l 

is i)l)I;iiiMMl frorii Macdonald's form <pf P„ ami Q„ hy a cha\r^c <jf //' 
iiilii - ///-, ami will iheii be giveii by lin- fortii 

(fi) ^./..^--/ ~ ^_^ 



M(«)=/ ^ = 

J —II, «vA^.cli u — cil ^ 



reducible as before to definilo elliplic iiilegrals (.l.-W. Hoiîso.n, l^liil . 
TiaiiH., i8f)G. — W. Bi iiNsmi., Mesm-n'^cr of Mallicinalirfs. t. XIV. 
|,. ,22. — W.-D. NivKx. /.. lA. .S'., I. \X\III, |.. 218;. l/H. ./. oj 
l/r////., I. XXXIX, p. 371;. 

Tbe verificalion of ibe 1). K. (5) is Iruiiblesdme becaiise <>i" ibe 
iiiliiiily arisiiif,' al llie liiiiils, ami il reqiiires ibe saine Irealmeiil as 
Macdonald's C and 1) in ?; *i. 

IS. In Sonine's inlo^nab Mitli. \ini.. I. \\ 1. ([no^'d by Mac- 
.Innald in L. M. S., l. X\\ I, p. iCo, 



(I) 



,1 f U-" c/jr 

•'0 _'. ^ (,.,.- y, ^„ \/{r--.i-.r--.r- 



Here \\e snbslilule 
(a) ■/;/(/■/■') = ■je-', •/.,r = 2, j- = ^/l V'') '' ' '• ^7 

and inlindnL'ing ibe Fonrier l'unclinn in place ol' HesseTs, 

(3) yl7F~)i^f J„[..e5''*"'jJ„[-2e^"""'je^'< 

r ('■ + -): 

— \ F„(c-+")F„(e':-")f ' < 



e-"î r/: 



_ 1 /•- e-"^ it; 

~J„ v(2.cllÇ cil « 



Q«("). 



Ci) v^( /■/■')= ' " , , vM — e- ^ (î.cli» — COSI-), 

\/(2 . cil M — COS (') 

(.5) /■-—./•-=/•/•'(<'" — e-'!), r'î — x'= /•/•'(('-" — (•-'), 

,6, "•' -'" 



\j{r''-~x'-.r'^ — .i-') 2v/('-/')v'(-?.chÇ — cIih) 
lî>. l'or lb(> snlidan-de Q, and ils dissections. lefer lo llie Trans- 



l82 G. GREENHILL. 

American Maili. Society, ocl. 1907, p. 54, f<>r tl^e defiiiilions and 
results. Begiii, as iii Phil. T/a/is., 1919, § 13, Electromagnetic Inlc- 
orals. willi ihe forni 

oblaiiied foi' the perimeler <I> of llie sphero-coiiic, recipmcal in tlie 
coiie on llie circnlar base AB, verlex al P, uf wliich ihe solid angle 

Hère P Y' is tlie perpendicular on the langent of the circle al P : anti 
in MaxuelTs nolalion \^ithJ^=: A, 

PA = /,, PB = /-,, 9 = 2to, 
( ■'. I PO2 = r, /•., e-, P.\^ = /•, /•, f ", l'B« — /■' r. e—, 

(.! . PY^— PQ2—nY^ =/■,/■,(-— .V sin-^5, 

(4) 4Aa sin-^-e= P\i—]>(y'=:rir.{é"—e'), 

(5) 4Aaco5=- 9 = Ptj-~- P]i'=:r,r,(f'i — ('-'•), 

(6) 4(7^nY^=4A=«7-'sin25 = ar2 7-|(ciiH ^ chnc' 

= 2/-, /•, (clw/ — ch:)PQ-, 
, , Q\- '1 '■> , , . , „ chu — cliÇ PY- cil Ç — cosf 

llj- '.a- clw/ — (-o~r PO- cliH — cosc 

Wilh another dissection of i2 inlo olemeiils i)y (}N(^)' slices, 
(9) VK^— PQ-— QN2=;r,/-oe^— rt^sin-'/ 

:.= PQ= 



r w: I 



PO» I _ 



(cil II ^-COSC ) (cil II — cil ') 



sli'w I 

PQ2 

T= , - (ch M — cosc ) (cil!!' — cosi'). 
sh' « / \ - 

, I — cil (/cosc . slif/siiw/ I I , , 1 

(10) cosc = — ; , sinc=-; laii" -c laii" - c : lli - //, 

cil u — COSl' cil (/ — cosc •'. 2 2 



l'OTENTIAL FINCTION AND ITS FOHCK FINCTION. irti 

iriterpreled gfotnelrically in parao^rapli 25, and tlien uitli 

(t: — r) ^ am/k', -(- — r' j ^ ani (i — y'; K . 



■') 



./ y \chM — COSC/ CM, — cosc 



To connect up i2(PN) and ii(PY), tlie Addition Tliooiem of tlie 
E. /., III is required ; so taivc 

(12) 1=M, 



\/(chZ — cosc.chÇ — cos(') 



Slll (/ / / cil u — chi 



^'^°* vAclw/— cosc) V \c^''— cost'.chÇ— cosc' 

then 



iV/(e-R 



(,:i) 



I i —Mil» / ; - — r»llll 

d\ ivhti — co-c . i //chu — ch,\ 2 

f/r y \cliM — cliÇ / cliï — cosr y \clw/ — cosi- ' ch^ — cosr' 



and integrating beluîen o < '^ < u and mulliplying by 4 

(i4) 2;T-(i(PV) + n(PN). 

(lô) PQ'=z /■-= A' + aAa cos9 + a- -t- 6'-= r\r,e'-. 

(i6) - 2Aasinef/9 = /■,/-,e'C('; = PQ'c?r. 



(i-) 2Art sinÔ = v('i''2) \/l2.cliH — chC) l'Q, 

^/9 1 c?r 



(i8) 

(20) 



l'Q \/( /•, /•, ) v/(2.ch«~cliQ 



PQ y/(chH .cost') \/(2.ch(/ — chÇ) 

0(PY)z=r // clw/ — cosi \ 2siiii-c?C 
•0 V \ch/f — cliÇ ' chÇ — cosr 



and SO this il is seen to salisfy Lapiace's eqnatioii, in tlio procédure 
of'§3,/=i. 

The substitution 

(21) cii: = .<. = ' - > 

V(3-c'"' -chÇ) v'^S 
T^cose, — i zr: 'i sin- i(rli // — cosi), /"■=-- -^ =r lli' - ", 



brings back Uie fonn 



G. GllKENHlLL. 



(22) 



(23) 



(24) 



a» = 4 / j^ —2Tï/-h !iKzn fK'; 



sh- 



ch'^-C 



'-■2eK. 



=: dn- 2eK, 



-11--;/ cil--;/ 

2 2 

tli -Ç = /. sii(i — 2e)lv; 
- =r siii- - i'^ CM-/ iv. - (k — I') := ani /K . 



Tliis l is ihe l,j of tlie Traits. A. M. S., 11J07, \\liere 

R 



(2.J) 



//sin9.PQ 



l^Y.l'iN 



(26) H = A(7Cos=5 H-(A'-+ rt-=H- />=)i-os9 -1- \a =. — ND.NK. 

aiid Llien, by a slraigbtt'oi ward differentialion. 



c/W I //.PY^ 1 d.V?<- 



(27). 



;-/6 



l'Y.MN \ H ,y9 2 F\^f/9 



1 d.VK' \ 

2 l'N-.^Ô/ 



/;siii9.P(» 



PY.P.N 



\PW "^ PN* / PQ 
r/ii(PY) (/£2(PN; 



altei' rediiclion. 

Heie \\ illi .9 as vatiab'e, and cos r' = a', 



i2(|•^) = 4/'^^\/( 






(28) 



= 2 7:/' -h 4 K '."./■' K -4K/.''"''^ ''"■^' 



du/' 



i7r(i — /) - 41^ /.Il /l\'. 



l'OTENTIAf. HNCTrON AMi ITS lOWCE lUNCTION. 

'l'his is il(\ — /), so llial 
(79) i>(i -/)-+-<>(/).= 2- -.',K/.m/K'- ',K/„/ K' 

=: 27: — 4 K /.'- sn/K'-ii/'k' ^12- — I' — • 



2(>. Soinelimes /• is a convenienf variable to use. Then for anv 
point <^) lin llie circle AB at angular distance A( )Q = 1= 2co from A, 
iiiid witli AP ^ /■,. HP = /•., 

rf — r] = ![<iy. r] -h ri := njc-^v^-î- a-), 

l'O-— /■■ ^ .r- -h y- + '.rtj'cos9 ^- «'-:= 7-7 C03-C.1 4- '^ siii'(,j — /•; A-('.>. y), 

('M V= — ' '■? — r- = (r:' — /•;) sin-',), /-—/•:! = (/■! — /•;) cos-r.), 



f/5 = 2 f/w = 



(■') 



dO__dO 
PO - , 



v/('-î-'-'-'--'î) 

I dr ■>. d(,> 2 de G 



^/( /• j — ;■- . /■' — f; ) '1 ■^'•> '1 

Applied to tlie inte,i;ral for Maxuell's M, 

/ ^ — 2 - / -^^ ( H — /•; — /•' . /■- — /■; ) 

— = 2H — (.4--/=)G, 



= --('■] 



-(/•î-^/-; 



(4) 

as before. 

you/". de Math. ( !<• scne), tome l\. — F.isc. II, ig'i. 



24 



l8b . G. GREENHILT.. 

^^ illi Mincliin's dissection of ihe circle AB inlo seclors radiating 
from M (P/iil. Mag.. Feb. 1894) and laking r as thc variable, 

and willi a neu variable /, 



(6) ( -i =e-' = 



^ e~" =t 



(7) 



\\ )' 

v( "1' 






r= e" — c, 



\( ) 

,'- _ ^a ^ _ _ 



e "^j 



/•, /-, 









=c > /, X > /s > r > ^, > — oc, > « > r 



-.'.:^\/^^ 



(9) i2(NKM=4r^i^-^4i^/^/(^;ii:=^^ 

Hère, lo correspond uitli llie preceding, 
/ ^ !■ dn-cG , I . , 

(10) «"• =; ; , yrrrt'—". w = - 9 = aiii cO, 

y -j 

, . . - y'sn*eG , y-cii^t'G 
(il) e" — «■• r= -i ; , c — e-" =: ■ » 

y y 

(12) e"-c-°= ""■( , e-«-6'-«= y cn=/G', t- ''-■/' sn^f G' . 



POTENTIM- rUNCTION \M) ITS KOHCE Fl'NCTION. l8y 

tn llie second ( hiadric 'l'iaiisloririHlion. belwoon "' and /.'. 



(■3) 



tli - = j: = '- f^j^, =r (in / K 



I , .1 

- 'j (•\\ - Il 



>n/"k = 



ch 



and so on. lieninning at /' = o on tln^ plate. /"= i on By heyond, 



(,5) 



a^— A- 



= cn-./G'dn'./G'. 



wiiicli is négative il y ]> -> 



(i6) — = " "^^ -ry'sn-^. /•(■'■ ABI' = am ./^G'. 



(-7) 



/•: — />- _ ^a — A r- _ /., 



= y'cn=2yG', 
_cl"-^'./G' 



(i8) '■.'■• 'Vî \( ) "/ 

\ dnî/G'= cosBAP. 

*2l. Tiiese substilulions l)el\\een llie \iiriiihles /•. /, 'i are recapiln- 
liited in tlie relations 



/■; - / -. /•- — ri 



i, — t.i ~ I., 



(■) 



(^) 



(t-'l:,)\'{'i—',.t,-h) 

tir _ _ dt 



= ^3 .cil (/ — Ch ;, 



','(r,r.,)'/r 

s/ÏÏ 






t. — 1.1 — f. 






V' {<-/,)\'{'.-<a.'2-/3 



\/(2 .cil II — cllk) 



— =o.^/y' il(eG) = / <i(2eK). 



i88 
and 



(3) 



-■^ — I,'- 



G. r.REENHILL. 



/ - 



b V'( --':<) _ 



= e' — e-''. 



V''(/-, /-o) \'(<i — /s./î— 'J S(2.ch« — cost') 
/•:, ~ ^S /■; — b- _ /| — T. /; — t 



V'( ^ -/,.<.- /3) 



1 ''i'-; ~~ 



(i) 



V/( J LU L\^p 2 ./(acliô — cli«)- 

„ I ^ ., • . I , 
/•- =r /■■- ros- — 7 -i- /■; -.m-- 'J, 



5 = 2 sin 



^.-'y/- 



(5) 



fie. 



— rcir de — c//- 



(<•') 



riieii froiii Traii-s. /. l/. N.. p. "io'i, 



1>{M(.|)= / 



' ' ' /■- — A- -+- «- — 6- 2 6 dr 



_ r:>.bdr r^i'—A^ -.ibdr 
And fiuiii ( ()), p. ^o'>, Tiruis. I. M. S., (m- ilic iiicdriipIrMe iii(ei;r;ds, 



(7) l'(MQ)-i2(l'V)z sin '\^[~ 



MV.I'U 

rv.Mo 



l'^ bfiiig llie pcrpeiiditidiH- IVoiii 1' mi ihe Unigcnl al <^>; and I is llie 
angle belweeii llio planes l'( »^'. 1M^)0. 

As tliis angle oscillâtes inid ilucs ikiI revolve, in tlie complele inlc- 
grals 



(8) 



i>(M(.»)i=i2(l'^ ^ — a>-27r— i>(l'\) 



POTENTIAL FUNCTION AND ITS FORCE FUNCTION. I 89 

22. Referriiijï lo FA<tclroma<j;n<'Ur Intégrais, p. Ig and Im- W^^. i 
and '5, repeated licre 

am/K — i^^DF-P =r nr'15, and llien ItKP = arii ( 1 — /) K', 

and |i. 4), on fig. i. 

aiii2/G':=-/=r ABP. 

Tlien lo sliow am /'(i';=: on tlie fignre, and lu diau llie cnaxial 
circlc es loncliing l"P, ihe point of conlacl s will be where \\s will 
hisecl ihe angle ABl'; and If ihe langent al ihe lowesl point c of ihis 
circle culs llic circle on l'^D in //, 

; - : aill/(i' \15/;. 

The angles t^w lig. 2 for modulas y or x are sliow n hy 

AIK ) r= - 6=: 0) — anifti. AH 7 — am ( 1 — r>)(i 

an<l 

Al<;(} = — ani !('K. (p. ')()). 

Tlie geometrical interprelalion of llie inlegial fnr !'„( //) is given 
ou p. j(i 

and a siinilar inlerprelalion eau be consli iicted for <^>„(^'/) iu 5; 1 'i. 

lu a dvuauiical interprelalion, wlieie S in lig. 2 oscillales froni llic 
level of E, or (J follows il, round llie circle on AB willi velocily due 
lo ihe level of I'", llic liiiu' / = '■'!', T denoling ihe hcal of S oi- period 
of (^. And on lig. /i, if 1* describes I lie circle ou DI-], willi u pu a ni gra- 
vily, and velocily duo to ihe level of O, proporlioiial lo AP «u- IU', 
/ = /T', T' denoling tlie [leriodic lime of 1'. 

'llie variable 0' in t; \\ may be iulerpretcd dyuamically by pulliug 
-()'=/// in ihe molion of a parlicle S round tlie circle on (M) willi 
velocily jusl suflicient lo reacb I) in a gravily lield, lli'' parlicle 
making- beats in small oscillation al (>. Tlien willi 

ODS= - 'j. cos - "; cil - '/ -- 1 . 



19^ r,. GREKNIIII.L. 

23. Willi d^, c.h the se'Miicnts of (lie circle on DE ou the tansfents 
al llie highest and lowesl point of (lie inner coaxial circle on dr \\'\\\\ 
centre/, g^h is a strai-iit line, and DB^' = am /"G'. 



^ 




r~~\ 




-^ 


"A 


r^-^ 






/^ 




\ \ 


<i_f^ 


/ 


d 


_\ ^ 


\ 




/ 


-f^-l 


\ 




yx 








\ \ 




^ 


\ 


F \ \ 








F 


\ 




\^ 


^fî^ 


?n\ \ \ 








C 


\ 


pY~~^\ 


.1 


^ 


A] \ 


1 






,B 


—^ / 




-^ 


^ 


^LV 


{ 




"r^ 






B 
M 






'"Tir 

\ 


^^^^y 




\/y 


^^ 




/\/ 


i 


^ r^°* 




^ 


^ 


E 


\ 


\ 


î^^^ 


^^N<^I/f| 












\, 


\\ 





\^^ 


H \ 


\ 







N 


r\ 


^ 


1 


^' 




\ 


\ 


^ 


P- 





Tlie perpendicnlar V(/ on gli hisecls ^'7/, sd llial /'and y arc al llie 
same level, and 



\\\\\ï 



■ - •/ sn VG- FK - F/ _ Ë/ yi,/- ;,B . ^.., 

I + / sn-yr, ~ FK ^- F/ -/n - 7î) - Bïï ~ ""•^'^ • 



l>i:/, - |)|'|{=^:uii/"i\', 

a (^uadric Transfuraialiun ; and 

cIn'/G' _ di./K'-^ >c 



(3) 



7 



dii/K' 



POTKNTIXI, FINITION AND I TS I-OIICK IINCTION. I9I 

The ciirvilinear angle DBT inaile l)y lil) aiid llie ciicle BPA is 
p = APB, in ihe allernate segment ; ami llion 

^^' 1 /■ '' \ 



Eqiiaùon (lo), ?; lî), is inleiprelod geoineliically willi 

(5) r'-:= curvilineai- aiii;le iJH/i -r angle \'>/i\, 

in tlie allernate segment, 

= 'iBpK = - — 9.Uj>i) — r. — ^l'I'.l» -:- — ''.ain(i -/)k', 

(6) ir'=i;i)P, -<—\:\)ij; 

1 1 , k».i:p ey i:b , . 

( -\ laii" - i' Inii" - (' — ' = ^— " — r- '-— ■< - Il - "■ 

^' ' '''"■., "o 1)/.I)P 1)/ l»l! 

where EY, DZ are ihé per|)cndiiiilars ou P/j, and il is llic équivalent 
of the elliplic fiinction relation 



_ lll - « = z. 



I ' f 

(8) lai)'; - I' taiig - r -rr-, ; TTY^i 

^ ' "3 2 liij K 111(1 — /] Iv' 

(9) / iii/K' ln(i — /)1\'— 1. 

Proceeding \^illl tlie geometiical interprétation of llie foinuilas oi 
Quadric Transformation, 

D/- p/- dif ,.^, 

(■') DB-=^ = ,^=^"-'^' 

by the properties of coaxial rircles; and if /■ is liie |toint ol conlact 
uith 11/>. 

\ DB= IJF + FH=: DF(i + •/'), ^ == i^ ^- sn/C', 

/ D/-::^DF(H-y )sn/('.': 

Dr (l + V)sn/C. 
V ' •' ' DF I -+- 7 sn-y 

(1^) fr- = fd' — fK./\ — FB cn=/(; .FA (ln^/"G' = FD- cn2/r.V(ln-/G', 

, , fr en /•(/(In /■<;' 

(l:-)) CM./ K'rxn COS Dhp ^^^ -"'^^ ■ >/'■ ^ iy^ = i + /s„yC,' ' 



iq2 G. GREENHILL. 

Again. wilh Vt bisectiiig Pp el wiglit angles, 

dn-/ Iv' _ d'i/I^ _ pï'' pt - tV> 



(.6) 
(-7) 



(iS) 



X ^ dn(i— /)lv "~ BH /)<- /B 

( jyl = \ Pj> — ^ El) dn 2/0 = FD dn 2/r.'. 

I lB = VB cil 2/(r'= FD.y'cri î/G' ; 
dn-/k _ dn 2/G'+ yen 2 /'(i' i -h y'sn(i — ■'./)G' 



('9) 



/ dii2/G — ■/cn2/'G'' I — y snli — 2/lG' 

If BI3 is liorizonlal. AU llie Inngenl from A, 
[i B 



y 



B"A 



cos AH ' B 



AB' 1j is llic modular angle for y- B' E biscrts llie angle BB'A. 

And so ail llio formulas of ihe coniplemenlary (^)iiadric Transfor- 
malioii can recL'ivc a gconirlrical inlerpretalion on lig. i, witli lin' 
nolalion. as aljove 

■l^ Di:/»r - D/V =0111 /K . 7 r- lJBy< = am jLjr,'. DW, _-;ini /('.'. 
;: = DB-=am./G'. 

*l't. riic Diiplicalion formulas for / k and ^./K' arr sliowu ou tlie 
f ire le KPD, whero 

A = DPy» = ain /K'. 9 = DE^a- = am ;^./'K', 

.<o llial pi', i'D are langents lo an iimer com yclic circlr; lieie is ihc 
kei-nel of th<' geomclrical iulerprelatioii. 

llie centre of lliis cinle is al r on ^r, thc hiscclor of lin' angle 

l)i,7J-=7T — llK/; -T.- ,UM / K. 

so llial 

I >i'c — - r: ani /k . ix- 1 r= - am /K'^ - i, 

! 2 ■ -2 -^ 2 ' 

of llie cirelc louelies Di' in \-; and llien 

Dcj'= DIC,A'^^ ani -/K'=: 9, and I > v -- Dr siri 9; 



POTENTIAL FU.NCTION AM) ITS FOnCE FUNCTION. lC)i 

and 

(2) :,'X = De sino A9, cy=:Dccoso; 

(.">) i-f'-" |)c5(sin--jA=-j + cos'o) = Dc-.D, l)=:i z'^sin-o; 

I , ' -, 

C05 ■Il , en / K 

■i ' <|) I 1 ., , ■2- 

( 4 ) — = = — ^ j cos a m / Iv — = — : 

C0S2- .C.A' yT) ■'. ■ ^\) 

sin-'i ^, . sn - /'K' cin - /" K' 

2 ' A' y cD A'j . 1 ,.,,, 2-' ■>.• 

(D I — ^ = — =^ = -^, sin -am / k =; = ; 

SIM 9 -c t-' y'u 2 •' ■ y'o 

I , 

tanp-'i 

(6) :^— r=^=^Ao. lang-ani /■!<.' = tn- /K' (In- /'K'; 

laiip:o i'Ij ■ 2 ■ 2" '■ 

2sn- /"K'cii -/'K'dn - /"K' 

I I 2'' ■!•' O*' 

(7 J SU / i\'= 2 sin - am / k' Cos am /'K' — 



I) 

Tlie Duplication formulas of /'G' and a/G' are sliown on tlie circle 
Fr//B, uliere FBy ^ amyG', FB/ = ami/G', su tliat Fy. y/ arc 
tangents lo an interior concyclic circle; liere agaiii is llic Uerncl nf (lie 
getimelry. 

Tlie ceiilrc n( tliis circle is at a on '/a, tlie hiseclor ol llic angle 

y,/i = - am '. /'(i . 
so tlial 

l' lya = -TT am 2/(j . c'a : =r - am 2/ (j= - •/, 

if tlie circle touches Fc/ in ;, and tlicn 

Faz = FB7 = aiii/(;'= ;. 

Tlieii 

{X) I"; — l"rt sin :, 7 ; := hV/ sin^' Ai. '/; = 1"(^ cos;'; 

(9) ffc/-r= Frt^(sin-; A'-ç -h cos^l) = !•'«-. D, I) := i. — )/'-sin'^; 

, . 2'- rtl' I I cn/O 

(10) =- = — r= —, cos-am2AG = — 7z^ ; 

COSÇ «7 ^h 2 • ^|) 

I 

, , ""â''- qz aV Ai . I ^,., sn/-G'dn/G' 

(il) — T— j- = -i— p- = -=, sin-am2/^(.'= — ^i — —r^ — ; 

Jouni. de Afiilh. (^* scilc), Iciiic l\ . — l'asc. Il, 1931. 2J 



ig/j (IREKMIILI.. — POTENTIAL FUNCTIOM AND ITS l'OKCE FUNCTION. 

and 

I 

''"'sr/- ,,, 

(12) ^-^—4^ — M, lang-aiiii /■G'= ln/(_l dn /G'; 

la II g; v z ■ 2 

, ^, ,f.. .1 ,.,., I ,.,., 2sn/G'cn/G'dn/G' 
( 1 ,-) ) tn '2/ G r= 2 îiii - am 2 / G cos - am 2 / G = =- • 

Siiiiilar geomelrical iiilerprelalioii can bc giveii in lig. 2 of llie 
Duplicalioii formulas for cCî and ici}, where AB(^ = ameG, 
AB(^2 = am 2t'G, aiid N is ihc centre of tlic circlc on thc diamcter qr, 
and AQo ihe langent from A; also of ihe (^)uadric Transformation 

botueeii 

o = A Và^ = a m 2 e K , 
and 

(,)= AB() = aine G. r,,'— ABU ~ am(i — e)G. 

l'ig. 2 and 3 may bc supposed lurned about AB into |)lancs al rigbl 
angles, so as lo represenl <ircles linkcd like (lie electric and magnelic 
circuit. 

ïben ibe veclor producl of ibe eleclric and inai;nelic flux is 
1*0} nling's \eclor of llou of energy. 



LIGNES DE DISCONTINUITÉ DES SOI.LTIONS. I(l5 



Lignes (le (liscontinuité des .solutions de ccrtni/ifs ('(jKnIioiis 
(h' Frcdliolm ; 

Par Gastox .lï'I.IA. 



1. On envisage une équation deFrediiolm 

(I) /(J7) + /. / .\(.r. z)f{zulz^'^{,x), 

où o(.r) est une fonction liolomor|)he dans une ceitaine région A du 
plan X. C est une ligne intérieure à A joignant deux points fixes u cl h 
de la région A. Le noyau N(j:, z) est supposé analytique lorsque .r cl ; 
sont intérieurs à la région A. On suppose cependani qu'il puisse s'écrire 



G(./^, -) et II(f, ;) étant deux fonctions holomorphes dans ,R. telles 
que poiircertaines valeurs de /• et c intérieures à A, la fonction H(.r. z) 
puisse être nulle. Pour préciser, nous supposons que lorsque x décrit 
une certaine courbe F irilérieure à A, allant de a à |3, une racine 
simple ;: de l'équalion H(ar, :;) r= o décrive la courbe C allant de a à b. 
Il est clair que si x est choisi sur F les formules ordinaires pour la 
résolution de l'équation (i) tombent en défaut, mais elles sont valables 
six, sans être sur F, est voisin d'un point ; de F, d'un côté ou de l'autre 
de cette courbe. Le problème qu'on se pose est le suivant : Partons 
d'un point x,, voisin de E et d'un certain côté de F, la solution y(./') est 
parfaitement déterminée par les formules de Frediiolm ; faisons variera- 
dans la région .R, en longeant F et de façon que jamais une racine z 
de H(wC, z) = ne rencontre ('., et de façon que l'on arrive en a\, voisin 



IC)6 GASTON JULIA. 

de ; el de l'aiilre cùlé de F par rappori à .'„. ^ a-l-il une relalion 
simple enlre/(.r„) el /(■'„) lorsque a:,, cl .r^ soni infinimenl voisins 
de ; ? C'est un problème analogue à celui qui se pose dans l'étude des 
coupures des intégrales définies sur lesquelles Heimite attira l'allen- 
I ion des géomètres. Le résultai, dans les hypothèses où nous allons nous 
placer-, rappelle tout à fait les résultais d'Hermile. On va montrer que 
la difféience /(-v,,) —/(•'„) a une limite facilemeni calculahle, 
loisque -r et ./' tendent vers ç. 

2. La solution /"( ' i de l'équalion ( i ) s'ohtieni pai' 

( ■>■ ) fi-v) —o{a-) — li X (,r, r, >. .)©(--) '/-', 

> c 

où 5b(.t", r, X) est le noyau lésolvanl 



a) 



(^M 



(CM-'-, -^- >)^ 






N(.r,=) ^{x.,z,) 






N(;„.:,) iV(r„, ;,) 



N(-%„î„l 



Nous supposerons essentiellement que N(r„ r/i)esl liolomorphe quels 
que soient Zj.Zi, dans une petite région ,tl, contenani à son intérieirr- la 
courbe C. Ce qiri revient à dire qrre /o/sf/iw x di'crit la rrgin/i ,a,, 
louli's les racines :■ ih- l'rfjualion H(./;, r ) = o resli'iil c.rtêrietires à 
cette ri'<>ioii 11,. Celle srrpposition r-evient en somme à admellre que 
la solution esl donnée, pour- ./- non srrr- l\ par- les formrdes même 

de i'^edholm. Lllo écaile des noyaux N'( ./•, z ) lels qrre porri les- 

(jiiels l;r repr éscrilal ion irrèrrre de la solrrlioii par- les foiruules île 



LIGNES DE DISCONTI.MJITK DES SOLUTIONS. J()J 

l'iediiolm (2), (3), (i) piésenle déjà des difficiillés considérables, 
siii- lesquelles on n'a pas pour hiil de s'allardei- ici. 

Dans les hypothèses faites, la courbe 1' est tout entière extérii-me à 
la région ,i\, contenant C, et lorsque ./ tend vers un point ^ de I', on 
voit que les difficultés naissent de la présence des teimes N(.'', r,) 
dansrt)(./', ^, a)- ces leimes devenant infinis poui' une certaine valeur"^ 
de z, COI lespondanl à ; par II(ç, Z) =: o. Lorsque ; décrira une cer- 
taine région p enlouiani V, le point unique Ç qui lui correspond par 
hypothèse décriia la région ,a,. 

ô. Pour comparei- commodément les \aleurs /'(./„) et ./'(■'„) de 
la solution ( I ), considérous les points Z„ et 'Ç^ voisins de Z que Téqua- 
lionH(.r, ;) = ofail correspondre respectivement à ''0 el .r'^. Ils sont 
situés de pari el d'autre de C comme l'indique la figure. Considérons 





un deuxième chemin (^,, allant de a à //, dans la région A, déjà citée : 
C, sera suffisamment voisin de C, C et il, délimiteront une aire sim- 
plement connexe contenant T,, el laissant à l'exlérieur T . Nous allons 
comparri- les inh-t^ralrs des forinulcs (2) c/ ( '| ) " fl'S in le ivraies 
(inaloi^iics prisf.s Ir loiii^ df C.^. 

Aucune difficulté pour les intégrales du type 



(■(M 



ilz,dz. 



z, el Z/, élanl quelconques dans :>\ , . tous les termes N ( -,, Z/^) sont holo- 
morphés, par conséquent 

/■.../■ /■.../;. 



c'est-à-dire (jue tM /• ) ne rlunigr pas si les intégrales qu'il eoulient 
sont prises suivant ( ], et nonsuivanl (1. 



iqH GASTON JULIA. 

i. ConsidiMons, dans lO (./•, -, A), l'inlégrale lype 
el ci)inpari)nï;-la à 

i,(,r.:)^r... ri\('^;'---:")^c,..../c„. 

•-i:, - c, \ "-'i • • • -■«/ 

On voit d'abord dans 



r 



X(.r;) N(.rc,) ... \(.r 3„) 



N(;„c.) .\(=„=,) 



N (=«=„) 



que seul le terme 'S(xz„) du déterminant crée des diflicullés. Il 
admet un pùle simple, qui est "Co ou C„ selon que .'■ est en .i\ ou en j\. 
Nous allons supposer d'abord qu'on donne à x la valeur ,/;,. Entre les 
chemins C et C, figure donc un pôle de N(j;"o, :•„) qui est ;„ = '!„; le 
résidu correspondant est 

G(^„.r„) 



il est alors visible que 

N(j-z) M.r:.,) 






. ... ^(^„=„) 



dz. 



>'(: , r, ,;--i ■ . . :„ -1/ 



C + C, dési|^naîit 11; coiilnur f.imé constitué pai' C el C,, décrit dans 
le i-ens positif (ro//- la figure i), ou bien 






D'une façiin j^^'iuMab", pnisi[M(' 

N (■?:' ■ ■ ■ r ) - N(-r„= ) \(':':= • ■ • :■) - m.^,, .,) n (:■-■•■-)+.. . 

+ (-i)"N(:r„c,).N(:'-j---:" ). 
\~ -1 • • • ",,-1/ 



-( 1 •'I 



LIGNES DE IHSCONTINUITK MES SOLUTIONS. I9;) 

et |)iiis(|iie le leimo 

n'est altéié, clans la sul)slilulion du clieiuin C, au chemin C, qnc pac 
rintégralion relative à :,, les anlies int '-giations rlonnanl le incnie 
l'ésullal siii' C et sur ("-, puisque 



C':;::::;:;::,:;.::) 



resle Ixilomoiphe (piels que soient ;,.;,,.. ., ;,_,,;,, ■■.,:■„ dnn? .il, il 
vient immédiatement 






y)dz,...dz,. 



ciz, . . . dz„+ 117 



_ G(.r„.ro) ^. 



H:(.r,„;o) 



- x-x 



N "■^^••- ■"',/.,.... /3„ 



■X--X^(:: 

n— 1 

-X^^fv; 

n — 1 

-X^X:: 



';'•■■ 7')^c,flfî, ... ^/j„ -+-... 



7 1 -,^1 ■■■ -_"\ (iz, >lz, . . . dZi , r/;, , , . . . «';„ + . . 



clz,rfz,...r/z,._,. 



Or, il est visible (|ue les// inléirrales qui liguirnt dans ï ne ditt'èrenl 



200 GASTON JLLIA. 

que par la dénominatiim des letti-fs tV inlé^ralion. donc 



^-".C- -.(H--;;:::: 



dz,>lz,... ,h„^,. 



Désignons par X-,(j:, :■, /. ) le noyau (3) calcule à l'aide du chemin 
d'intégration C, et 3iZ(x, r, A) le même noyau calculé à l'aide de C. On 
aura évidemment, puisque vO(X) n'a pas changé. 

"ri, ''m ■!■)) 

.">. Désignonr- par f\( >■ \ ce que devient ./( ' > si le chemin C, est 
sulistitué à C. 

J\{x) =; 'j(,./i — >. / 3b|(x, z.'i.\o{z)dz-. 

II e\i>te une relalinn sim|ile enlie /"( ./„ ) et /', (.r„ i : 

•- <^ 

- 9(a-„) - >. / OÔ(.f,. ;, >.) o{z)(lz 
'•1 

L'expression de 
avec 



â> 



,c..=.x,=,uu=)-.2^X-X^(:;::::::)''=."--<'=- 



pr(U)ve, puisque ï„ est dans la région ^n,, (|ue Jl-( Cn -• /-) est holo- 
morpheen ;dans •;,: par conséquent. 

f:f^(t„zr>.)o{z)(lz= I dT,{Z„z.l)o(z)dz. 
An contraire, considérons dans 



m<;n'i:s ke itiscoNTiNurric des solutions. 
le lerme 'lénéial 



Le terme 



fe^X"="'=.(-X' 



c(:,(/z c/z„. 



iidmel le pôle simple :; = v„ enli'e C et C,. Un calcul tout analoi^iie à 
celui qu'on a fait précédemment prouvera que 



.(•'""'.(■■■.(H"";;:::")"--"- 

— 2<7T / ... / —r- --9(r„)N 

Je ^'c H;(.ro, Ç„) 

I ■)X,{.r„, z, l) 'j(z) c/z = I .%(,r,„ c, /.) '^iz)dz - o.ir. ?(:„) ^^, ' •; ' 



" \dz(lz, ... dz, 



Donc 



■■•"" ]dz,...dz, 



Kn déliiiilive 

/,(.r,)= L(^o) - Âj^'ç>(c)3t.(.r,„ z, l)dz^ + 2/7:/. .^^/;°' ^;:\ 9(:„) 



H:(.'-o,Co) 






et 



Jv. 

/( :„)— 9(:„) =-/. / 9(0 OÎ,(r,. c, ).)'/-. 



./oiirii. de Math. (^' série), luiiic IV. — Fasr. II. lyJi. 



a6 



202 GASTON JVLIA. 

Toutes léducliolis faites, il vient 



(7) 



/.(.„)=/(.J + ..-.>.^g^/(; 



6. Envisageons maintenant y(.r„) et /,(;r^,). Ils s'expriment lous 
deux par la formule (2^ où .r est remplacé par ./■„, mais dans f toutes 
les intégrales sont prises sur C et dans /, elles sont prises surC,. 
Les singularités des fonctions à intégrer proviennent tontes de 
termes N(,r'^, :;,) qui n'admettent dans ^a, qn'un pôle Xl^. Ce pôle est 
extérieur à l'aire délimitée par C et C,. Les intégrales prises sur C ou 
sui' C, ont les mêmes valeurs 



(8) 



f{x\)=f,{x\)\ 



7. Il faut maintenant faire tendre x„ et t\ vers le point ; de T, alors 'w„ 
tendra vcis I, point de G. /('C) tendra vers une limite /(C) parfai- 
leraenl définie et donnée par la formule (2) pour r = L [Car les sin- 
gularités de tous les termes de (2) lorsque x = v„ sont données par la 
seule équation H(^„,c^) = o, elles sont donc extérieures à la région c'R, 
où Çg se déplace. | 

Envisageons y, (Xo) <'l/i(a7„); en vertu de leur expression parla 
formule (2), où les intégi-ali-s seraient prises suivant C,. lous les 
termes N ( _",' ' '"_"] sont holomorplies en .r lorsque :,:■,, :■.,, .... :„ 
sont sur G, et lorsque .r est dans un voisinage assez restreint de ;, 
par conséquenty, (xj) et/", (a.'„) tendent vers une limite bien déter- 
minée ./,(?) donnée par (2) où toutes les intégrales seraient piises 
suivant C|. Gompai'ant alors 

et 

on voit (|Ue /■(,<•„) et /"(.//„) tint respectivement les limites 



(9) 






LIGNES DE IJISCONTINL'ITE DES SOLUTIONS. 
)M, I'a[)pcl<>IIS-|c, 



;o3 



Par siilic, 

(10) 



/■|(x) = cp(x) — A 1 )ij,ix, z,iiot z) dz. 



lim [/( .r|, ) '— /( .ro )] = 211:1 ■,', V \ /( ? i 



c'csi-à-dii'c en sKirimr que la liiine Y es/, pour la soliilion f{'') df'(i), 
Il /II' cuiipiire aiil/icirllf du type des coupures des intégrales définies 
d'Herniile, au delà desquelles f{x) est proloiigeable aualyli- 
queiiH'iil. 

8. Le résultai précédciil est snsci'plibic de véiificalinn (Im-i'cIc 
Ucprcnoiis l'équation (2) 

f(x) +>. / N(.r, z)f(z)dz = '^{x), 

où nous (IdniHTniis à ./■ succ<'ssiv('m('iil h's valeurs ./;„ et x[. On aura 

f{.z-'j -fix,) - — ij [Mx'„, z)- 'Six,., z)]f(z)dz + ffl(x'„) - o{x„). 

Lorsque ./•„ cl ./'^ Iciiileiil vers ç, o( ,/;,', ) — ^(■''0) l<'inl vers zéro car z, 
csl liolornorplii' dans ,11 cl l'on pcnl se boi'ucr à étudier riutc^rale 



/■[ (.i(.r'(,, z) C.(x„, ; rj . , 



On a remarqué aiitéricuremenl (juc, dans la région A, entourant (^, 
/(:■) esl parfaitement déterminé et n"a pas de sinjj;ularité. Comparons 
l'intégrale précédente, prise suivant C, à la même inlégrale 






ise suivant C,. 



pris.' s 



La fonelion ,, ' !'' ", n'a pas de pôh' entre Cet C,, car son polc est ', 



Donc 



/■ 0(.r'„. Z) . , r (\(x'„. z) 



20^ GASTON JILIA. 

Au contraire, ciilrc C et C, ., "' ", /(^) a le pôle simple z = 'C„ 
dont le résidu sera 



Donc 



/(?«)• 



Par coiiséquenl. 



1 = 1,-21 -/[ r„ I —r- -— ■ 









?(-^o) — '-^i^'»)- 



Lorsque x est voisin, de ?, en x„ ou en x'^, le pôle de ! ' ' ]^ est voisin 
de 'Ç, en v„ ou r„. 11 reste donc à distance finie du chemin C, si, comme 
on le suppose, Z n'est ni en A ni en B. 

Donc si Xu et x\ tendent vers ;, 

G(.i-'„, z) _ C.(.t\,z) 
tend nniformémrnt vers zéro, quel que soit r sur C,. Par conséqueni 

.',,''^ 'Lll(y,„;l lll.ro, --)J 

co.nine o(./;,', ) — o(./'„), tend vers zéro. 
On obtient donc 

I ' o ) I i m [/( ,,■; ) -/( .r„ ) ] = ■.. iTzi/i ■; ) p^^ . 

(jnl est Ijirn !<■ rcsnltiil obtenu par élude directe i\r f(x). 

i). Bien entendu, on ne dénKinlre pas ainsi que /"(./•„ ) et_/(â;'^) 
tendent séparément vers des limites. Mais la méthode du n" 8 peut 
s'appliqnei' à la sommi' /"(./-„) 4-/(x-„) comme à sa différence. Elle 
(hnine aliirs 

/(•'■J -^/<r;,) = 'H-r») + o(.r;, ) - /. f[\ (.r„, c) + N (.,■„, : 1 ]/, ;) fh. 

Je 



I.IGNKS DE DISCONTINLITKS DES SOLl'TIONS. 20 ) 

Lorsque x^ cl x\^ Iciidciil vers ç, les considéraliDiis du ii° 8 prouvent 
que 

[/(^•n ) ^- f{< )J = ? f ■^•o ) + V ( < ) - 2 izlfi ?„ ) ^'/'^"' '^"^ 

Lorsque x„ el x|, sont voisins de ?, l'intégrale 

est paifailement régulièi'c, et tend vers 

^f^(i.,z.)J\z.)dz 

lorsqui- .L\ el ./'i, tendent veis ^. On a donc 

GC- ÎT) /* 

lim[/(.r„)-t-/{.r„)]=: 2o(£) — 2n0.f{:) ,., ',' " 'JÀ / A(£, ;i./(;) dz. 

Si nous appelons /'|(.r) la solution de l'équation de Fredliolm 
/i(>) + "a / \(lr, î)/i(; I (-/; = cp(x), 

/", (a;) admet la coupure F, correspondant à C, et les formules de Fre- 
dliolm monlrentque, lorsqu<' .r est dans la région t'ai qui entoure CC,, 
on a 

Par conséquent . 



et 
Donc 



f \a,z)/(z)dz^ f Mlz)/,(z)dz 
o{i) -r f \(l, z)J\(z) dz =/,u). 



1 i m 1 J\ ,r„ I - /[ .^•;, ) ] =r 2 /\ ( £ ) — 3 TT '^■/> ?> {_,■,,'.- V, 



Des formules (lo) et (ii) obtenui-s directement aux n"' 8 el 1) on 



2o6 GASTON JULIA. LIGNE DE DISCONTINUITÉS DES SOLUTIONS. 

déduit 

limyv-o) =;-.(;) — ai7.Â/(Ç) ■*,''; V ' 

lim/«)=/,(ç), 

qui sont les formules (9) déjà obtciiups pai' l'élude <les formules de 
Fredholm. 

10. Il serait aisé d'étendre les résultats obtenus au cas où î décri- 
vant r, c'est une racine double ou multiple de Y{(x. z^=^ o qui <lécri- 
rait la courbe C. 

Le seul changement à introduire serait un nouveau calcul pour le 
résidu p de l'intégrale 



I 



\\{X,,Z) 



Az)dz. 



dont l'élément admettrait dans le contour fermé C + C, un pôle double 
ou multiple 'C„. Le terme 

des formules précédentes serait remplacé par 2T.iAp ou plutôt par la 
limite de a-zÀp quand x„ tend vers?. L'essentiel du résultat précédent 
subsiste, à savoir que F est une coupure non essentielle pour _/(.t' ) au 
delà de laquelle /(x) est prolongeable analytiquement, et dans les 
deux sens. 



I, INTÉGKATION DOUBLE PAH RAFPOHT A UNE COUKBE. VîO^ 

f,' liités:r(iti(>n doiihle pai- rapport à une coiirhc; 
Pau W.-H. Y0L\G. 



1 . La théorie de l'aire d'une courbe avec ses généralisations au cas de 
plusieurs dimensions, qui forme le sujet de ma première Communica- 
tion au Congrès ('), conduit tout naturellement à la tiiéorie de l'inté- 
gration multiple par rapport à une courbe, ou plus généralement, de 
r intégration multiple par rapport à une variété courbe. C'est essen- 
tiellement en envisageant l'aire comme cas particulier d'une telle inté- 
grale eue nous nous sommes libéré des restrictions imposées par 
l'intuition géométrique. Selon celle-ci, le concept de l'aire se rapporte 
exclusivement au cas où la courbe ou variété fondamentale est simple. 
c'est-à-dire privée de points multiples. Cependant, l'apparence d'une 
telle courbe ou variété dans nos recherches ne dépend en aucune façon 
de la présence ou de l'absence de points multiples, et le besoin de légi- 
timer un procédé analytique qui, dans des cas spéciaux, conduit 
à l'aire, existe tout aussi bien que la courbe présente de telles singula- 
rités on non. A la notion géométrique de l'aire, qui est celle d'une 
portion du plan délimitée par la courbe, vient s'opposer celle d'un pro- 
cédé de sommation et de passage à la limite qui conduit à la propriété 
vectorielle de l'aire telle que nous l'avons définie. 

C'est ce dernier point de vue qui fait ressortir la nature de l'aire 
comme cas particulier d'une classe de vecteurs liés à la courbe et pos- 
sédant nettement le caractère d'intégrales doubles. 

(') Cons^rès iiil. dr Malli. à Slrast'ourg {Comptes rendus, Vm\ AT, ip'.îl. 
p. i'.3-i29). 

Journ. de Math. (»• série), tome IV. — Fii<c. Ul, 1921. ^7 



208 W.-n. YOUNG. 

Le point de vue où nous nous plaçons nous affranchit do la nécessité 
de donner au torme champ dUn/egralio// une signification géomé- 
trique ('). L'intuition fait ici faillite, comme souvent ailleurs. Nous 
verrons qu'en nous servant de l'expression c/iatnp d'intégration dans 
un sens purement analytique, on arrive tout naturellement à la notion 
à'' intégrale double par rapport à une courbe qui possède une aire^ 
dans le sens où j'emploie ce dernier mot. 

2. Nous supposerons tout d'abord que la fonction /{x\y) à intégrer 
est continue par rapport à Vensejnble (x, y). Nous esquisserons alors 
une théorie complète de l'intégrale d'une telle fonction, en suivant le 
plan que voici : 

Défmir l'intégrale d'une telle fonction, en démontrer l'existence, 
l'exprimer au moyen d'une intégrale de Stieltjes, enfin démontrer la 
formule du changement de variable dans l'intégrale. 

' Nous passerons ensuite aux fonctions f{ x, y ) bornées et parfaite- 
ment générales^ puis aux fonctions non bornées, avec certaines res- 
trictions indispensables à la com'ergence absolue de rintégrale. 

" 3. Quant à la courbe C à laquelle nous voulons lier l'intégrale 
double, nous commencerons par la supposer la plus élémentaire pos- 
sible, soit un triangle, pour passer de là à des polygones d'une généra- 
lité de plus en plus étendue, à l'aide d'un preir.ier principe qui s'énonce 
comme suit : 

Si une couibe C est la somme de deux courbes G, et Co, l'inté- 
grale de f(x, y) par /-apport à C est la somme des intégrales de 
f{x, y) par rapport à C, et à C,- 

L'intégrale par rapport à un triangle étant définie comme ordinaire, 
nous serons ainsi conduit à l'intégrale double au sens habituel tant 
que le polygone ne possédera pas de points multiples. Mais, dès que 

C) Je ne veux pas dire par là que ces résultats ne sont pas susceptibles d'une 
inlerprélalion géométrique. Au contraire, on peut se représenter la courbe 
comme déterminant en un point quelconque de l'espace considéré un nombre 
caractéristique, fini ou infini, qui représente en quelque sorte la multiplicité (te 
l'espace et qui. telle la tangente dans une courbe, peut de\enir indéterminée. . 



h INTEGRATION DOUBLE PAlt nAPI'OHT A L.NE COUHBE. 2O9 

le polygone se coupera, nous serons en présence d'une nouvelle inté- 
grale. 

i. l'our passer des polygones aux courbrs proprement dites, nous 
nous baserons sur un principe reconnu déjà dans les temps anciens. Il 
est fondé sur rordrc linrairr des points de la courbe. 

Nous inscrivons dans la courbe C un polygone P„, dont les sommets 
se suivent dans Tordre indiqué : cet ordre, nous le supposons caracté- 
risé par un paramètre /, tel que l'écart /, — /,_, de deux sommets con- 
sécutifs soit inférieur à i~"' . La position des différents sommets n'entre 
pas en ligne de compte, seulement leur ordre linéaire sur la courbe et 
le fait que l'ensemble de tous les sommets, pour /« == i, 2, ..., est par- 
tout dense sur la courbe. 

Le principe en question s'énonce alors : 

Si une foiielionf(^x,y) possède une intè'^rale douldcW par rap- 
port à la courbe C, V intégrale double V„, de f{.r,y) par rapport au 
polygone P„, tend vers une limite unique et bien déterminée quand 
m tend'vers Vin fini , et cette limite coïncide ai'er W. 

Ce principe suggère lui-même la détinition à laquelle nous parve- 
nons maintenant. Chaque fois que ces intégrales auxiliaires ^ ,„ 
tendent vers une limite unique et bien déterndnèe^ indépendante 
du choix dies sommets des P„,, cette limite sera prise comme défini- 
tion de l'intégrale double de f (^x.,y) par rapport à lacourbe. 

On voit sans raisonner que cette définition s'accorde non seulement 
avec le second principe mais aussi avec le premier, et que dans tous 
les cas ordinaires elle coïncide avec la définition babituellc 

."». On arrive aussi sans difficulté à identilier notre intégrale double 
avec celle en usage dans le cas général d'une courbe divisant le plan en 
deux parties distinctes, pourvu que la courbe soit semi-rertijiable. 
Selon le sens donné à ce ternie dans ma Communication au Congrès 
de Strasbourg, nous pouvons sup|)0ser que les fonctions x(/) et ^(/) 
exprimant les coordonnées du point mobile sur la courbe sont conti- 
nues et que _>■(/) est une fonction à variation bornée. 

Cette identification est une conséquence du ibcorème d'existenci' de 
notre inléirrale. Ce tbéorème nouirait s'énoncer comme suit : 



W.-H. YOUNC, 



Théorkme. — .Sf la courbe fondamentale C est semi-recti fiable ^ 
Vinlégrale double existe et peut s' exprimer comme intégrale de 
Stieltjes le long du co//tour C, 

(0 f ff{^r,^)dxdy= fF{.r.y)dy^ f'Tlr{l),f{f)]dy{t)..., 

où 

Fi-r, y) =J f(x, y) cta:. 

La démonstration de cette formule dans le cas d'un triangle s'appuie 
sur un raisonnement bien connu : on fait une redistribution des termes 
dans la sommation double dont l'intégrale est la limite, de façon à cal- 
culer celle-ci par une répétition du procédé d'intégration linéaire. Le 
premier principe nous donne ensuite la même formule dans le cas d'un 
polygone quelconque. 

6. Dans le cas d'une courbe C semi-recliliable, l'intégrale de 
Stieltjes le long de la courbe est par définition la limite d'une somme 
ayant pour terme général le produit d'une valeur quelconque de 
F(x-, y) sur l'arc compris entre deux sommets consécutifs du polygone 
par la différence des v de ces dcu\ sommets. Ce terme dillcrc de l'in- 
tégrale le long de la corde d'une quantité inférieure à e fois la difi'c- 
rence des y des deux extrémités, si m est suffisamment grand pour 
que F{w,y) ait, dans un cercle contenant l'arc en question, une oscil- 
lation inférieure à e. Par suite de la continuité uniforme de F(x, y), 
nous en concluons que, si m est suffisamment grand, la dillcrcnce 

entre la somme en question et l'intégrale / F(.r,jK)«[x ne dépasse pas 

e fois la variation totale de y. il s'ensuit que l'intégrale / V(x\y)dy, 

et par conséquent l'intégrale / / f{x.y)dxdY qui lui est égale, ont 

" •• i',„ 
pour limite unique / V(^x,y)dy. Cela démontre l'existence de notre 

intégrable double / j f(x, y)dxdy et en donne en même tenqis la 

valeur / V(x,y)dy. 



L INTliGIlATION MOUIU.I- l'Mî IIAPPOHI' A UNE COURnE. 9.11 

Notre théorème d'oxistence (n" d), ainsi démontre'-, est f-n particu- 
lier valable lorsque la courbe C somi-reclifiable r'sl .sliiiplr. Nous pou- 
vons dans ce cas piendre pour P„ un polvjrone également simple, 
d'après un théorème démontré dans le Cours d'Analyse de M. de la 
Vallée Poussin ('). Il s'ensuit que, définie d'après la méthode de 
M. Jordan, l'intégrale double par rapport à la courbe diffère d'une 
quantité arbitrairement petite de l'intégrali; double par rapport au 
polygone P,„. Par conséquent, la limite de cette (liTnière intégrale, 
c'est-à-dire l'intégi'ale déiiiiic de la nouvelle manière, est identique 
à l'intégrale de M. Jordan. 

7. Nous avons trouvé l'expression de notre intégrale au moyen 
d'une intégrale de Stieltjes; il est important, cependant, de pouvoir 
l'exprimer au moyen d'une intégrale double ordinaire. On y parvient 
moyennant une transformation continue 

j- r= a;(«, c), _y =: j)( H. c). 

dans laquelle notre courbe C est l'image du périmètre 

(« — rt)(«-c)(c— /y)(r — o') — o 

du rectangle fondamental (a,b; c,c/). La formule à obtenir est cou- 
rante dans la théorie ancienne des cliangcmenls de variaitles dans une 
intégrale double, soit 



(2) 



j j'f{.r,y)cUdY^f f /[./■(", ..)r(«,.)]^^^^«rfe. 



Dans une Couiniunicalion à la London Matheinatical Society, à 
paraître sous peu, j'ai démontré la validité de celte formule de trans- 
formation sous les conditions suivantes : 

i" La formule pour l'aire (*) est valable pour chaque rectangle 
contenu dans le rectangle fondamental (a, Ir^ c, d) ; 

2" (^uand le rectangle fondamental est divisé par des parallèles aux 



(') À" édition, iç)!^, t. I, n" 3'i-i. p. Sjg. 



212 W.-II. YOUNG. 

axes des u et d(?s c, et puis subdivisé en semi-rectangles par des diago- 
nales parallèles, les triangles du plan des (î", y) ayant pour sommets 
les images des sommets de ces semi-rectangles vérifient la condition 
que la somme des valeurs absolues de leurs aires est inlérieure à une 
constante B, où B est indépendante du mode de division adopté. 
Ces deux conditions se trouvent vérifiées, en particulier, si 

|5^|^'-""' Is^l^^M»), |^|.».(-., |g|sM(..). 

où L(« ) et M(r) sont des fonctions sommables d'une seule des varia- 
bles (?/, ('); ou, plus généralement, si, pour un ensemble dénomljrable 
et partout dense des w, 

I "'■ I ~ I «^^ I 

et les variations totales de j(m, r) et dejK('/,^") pai" rapport à //, pour 
f constante, sont bornées. 

D'autre part, je prétends que les conditions (U) de ma première 
Communication au Congrès suffisent pour entraîner la validité de la 
formule de transformation. Ces conditions sont les suivantes: 

(i. (^ue îr(//, i), v(w, e) soient des fonctions absolument continues 
par rapport à u et par rapport à r; 

b. (^)ue ^, -^ aient ce que j'ai appelé des soiiiinabililés asso- 
ciées (' ) par rapport à (;/, t) ; 

Dd.i- (Iv 
e même pour -r-' -7-- 



La démonstration de ce théorème, que je présenterai à la Royal 
Society, suit pas à pas celle que j'ai déjà donnée pour la validité de la 
formule pour Taire sons les conditions (H )• 



(') Le cas oii .r(w, e) et r(M. e; ont des sommabili tés associées embrasse les 
cas habituels, tels : 1° une des fonctions est bornée et l'autre est sominable; 

iH ) puissance soin- 

rnalile. La définition générale est celle-ci : deu\ foiirlions .r{ii, i) el y(ii, c) 
ont des somma bililés associées par rapport à (//, i) si elles sont somniables et 
s'il \ a une fonction monotone croissante V r= V(l ) ayant une dérivée positive, 



L'iNTlifirtATION DOLBLE PAU ItAPPORT A UNE COLHBE. 2l3 

8. Passons mainten;int du c;is où la fonction f{r. y) à intégrer est 
continue au cas général d'une fonction bornée, l'our obtenir la défini- 
tion de l'intégrale d'une telle fonction, nous appliquerons la méthode 
des suites. Nous avons là un nouvel exemple de bi puissance de celle 
méthode si sim|)le, et à mon avis si indispensable dans toute théorie 
vraiment générale d'intégration. 

Soit 

/,(.r. r), f,{x,y\ .... /„(,/■.,,■). ... 

une suite monotone de fonctions bornées, pour chacune desquelles nos 
formules sont supposées démontrées, et %o\\,f{x^y^ sa fonction limite 
supposée bornée. Kn intégrant par rapport à :/:, nous aurons une nou- 
velle suite monotone de fonctions bornées 

F,(.z-.r), YAx.y), ..., F„(./-,j'), ••• 

dont la fonction limite 

liniF„(.r, r) — liui Ç f„{x,y)d.r—\ f{:v,y)dx~Y{x,y) 

est également ime lonclion bornée. 

En considérant x &\. y comme fonctions du paramètre / sur la 
courbe, nous pouvons intégrer terme à terme par rapport à >'(/), et 
nous aurons 

\\mj \'n{x{i),y{l)\dy{l)^j F[,r(0, J (0] '<,' (0- 



et telle qu'en désignant par Ur=l'(V) la fonction iinersede \'t=V(U), li 
deux fonctions 



(.)!>/. r)=/ V(z.)dz. 

\\{u.n^Ç ' \{z.)dz 



sont des fonctions sonimables par rapporta ((/,(•). Le produit de deux fonciioiK 
à ^o^1Inabililés associées est une fonction somniabie yPioc.l{oy.Soc..(^\). 
t. LWWll, p. 9.or,]. 



2i4 ^^.-II. YOLNG. 

A l'aide de notre hypothèse, nous en concluons que l'intégrale 

/ j fn^■v,^)dJ.•dy 
n une limite unique égale à 

f V\.v[t),y{t)]dy{t). 

Ainsi notre définition de l'intégrale par suites monotones réussit 
parfaitement et nous conduit à la même intégrale de Stieltjes que dans 
le cas de fonctions continues, soit 



f f fi-r. y)d.rdy:=. f YlrU). y{t)]dy{t 



D'autre part, si x et y sont envisagées comme fonctions de {u, i), 
notre première suite monotone de fonctions bornées peut être mul- 
tipliée par la fonclion sommahlc , ' ' et intég^rée terme à terme par 
rappoi't à (//, i), d'où 

= rf'/r^(«,o.v(.,..)]^^/«^.'. 

Mais, d'apiès noire hypollièse, l'Iutègrale du premier membre est 
égale à 

/ /«{'..Il d.r dy; 
celui-ci, d'après ce qui vient d'être démontré, a pour limite unique 

La formule de transformation 

j' l'/{.T, y)dxdy=.j l" /[.r(». .), y(u, .)] '^^^dud,, 



L INTKGHATION DOUBLE PAU nAPI'OllT A fNK COUMBE. 2l5 

déjà c'L.iblie pour les fonctions continues, se trouve ainsi étendue tout 
d'ahord aux fonctions /et u (semi-continues) et ensuite au\ fonc- 
tions lu, ul, lui, ulu et à toutes les fonctions des classes suivantes, 
c'est-à-dire à toutes les fonctions mesurables bornées. 

\Hi'iiiarfjtiuiis, cntic paifidlièse.s, qui- Ir fait que f(x, v) est 
hornée, n'entre pas dans tout ce raisonnement, sauf pour cntraim-r 
r existence et la convergenrj- absolue des intéiirales finales. \ 

Il n'est pas nécessaire, cepemlanl, poiii' arriver à cetlf généralisa- 
tion, d'appliijuer la mélliode des suites à toutes ces classes de fonctions 
séparément; c'est ce qui justifie notre définition au mo\en de suites; 
il suffit d'étendre notre raisonnenienat ux fonctions lu et ///, pour en 
déduire directement que notre théorème s'applique à une fonction 
/(*">JK) hornée et mesurable générale, et cela grâce auv deux théo- 
rèmes suivants : 

I. Etant données deux fonctions bornées ne différani que sur un 
ensemble de mesure nulle, leurs intégrales par rapport à l'une des 
lieux variables ne diffèrent, considérées comme fondions de l'autre 
XHiriable, que. sur un ensemble de mesure nulle de imleurs de celti' 
dernière variable. 

II. Si les ronditions imposées à la correspondance x = x(u, e), 
y = y{u, '■) entraînent la validité de la formule de transformation 
quand /(x, y) est une fmction lu bornée, et si l'on considère dans 
le plan des {x,y) un ensemble <,' de mesure nulle, i iinai^e S de 

reliii-ci. dans le pbin des (u, r) a n-tle propriété iiite - , ''-^ x est nul 
' ^ ' ' ' ct{ii.\\- 



Dans le cas particulier où l'on a ./• = u, ou bien v = r. l'énoncé 11 se 
réduit à celui d'un théorème sur les fonctions d'u,ne seule variable qui 
a été donné par M. delà Vallée Poussin dans son Cours d'Analyse (' \ 
De ce cas particulier ou déduit facilement, à Taide de I. le théo- 
rème : 



(') 3« édition, t. I. n° 268, p. 281. 

Journ. de Malk. (s- série), lomi- 1\ . — !,,<,■ |l|. ,,,,. 28 



2l6 W.-II. YOL'.NG. 

Une fond ion lu qui est nulle presque partout a son intétxrale 
double par rapport à C égale à zéro. 

La démonstration de 11 se ramène maintenant à un cas particulier 
dn théorème déjà démontré sur les changements de variables : le cas 
où la ionction à intégrer est une lu bornée, nulle presque partout. 

l'in efl'et, un ensemble quelconque étant la somme d'un ensemble de 
mesure nulle et d'un ensemble zéro ('), nous pouvons, dans noire rai- 
sonnement, supposer que Tensemble Q des points de S, pour lesquels 
on a 

'/(■', r) , 



d{ii,v) 



( e > o I , 



est un ensemble zéro. L'ensemble tle mesure nulle dont nous faisons 
ainsi abstraclion n'altère pas la validité du raisonnement. L'image (}' 
de (^ sera également un ensemble zéro, parce que la correspondance 
est continue; sa mesure sera zéro, car (V fait partie de S'. I*ar consé- 
quent, la fonction ç(.i',y), qui a la valeur i aux points de iV et zéro 
ailleurs, esl une /// bornée, nulle presque |)artout. On a donc 






Mais cela n'esl possible que si la mesure '/^(Q) de (^ est nulle. 

Ce raisonnement étant valable pour tout e^o et pouvant être 
répété pour e<^o^ à condition de remplacer le signe > par le signe <^, 

nous eu concluons ciue le déteiminant fonctionnel ,, ' • ■ est nul 

presque partout dans l'ensemble S, ce (jui démontre le théorème II 
entièrement. 



9. Passons maintenant à la démonstration alternative de notre 
théorème sur les changements de variables pour le cas où /(■i',}') est 



(') S est un ensemble zéro s'il est la limite d'une série de >ous-cnsembIes 
fermés Si, S,, . . ., S„, dont chacun esl contenu dans le suivant. 



T.'lNTKGn.VTION IIOL'ULK l'AU riAI'f'ORT A l NK (Ol HfiK. 2I7 

une fonction bornée el mesurable parfaitement générale, en supposant 
démontré seulement le cas où la fonction est une lu bornée. 

Il est bien connu qu'il existe une fonction li{x,y), qui est une In 
bornée, et une fonction gX-i:, y), qui est une uL bornée, telles que 

fr{.v.y)1f(a^..j)ili{.r.y), 

l'égalité ayant lieu entre ces trois fonctions, sauf sur un ensemble de 
mesure nulle. La fonction 

Il 1 .L-, y) — g{.i\ y) 

sera une lu, nulle presque partout, d'oii immédiatement l'égalité sui- 
vante 

r TaM -r. y) dx dy -J j I, (./•, y) d.r dy. 

Par suite, l'intégrale de notre fonction /existe et est égale au\ deux 
intégrales précédentes, i^n outre, d'après nos bypotbèses, 

f C.{.r.y)dy(t)= f U(.r.y)dr{t) 

et 

Nous pouvons, dans la première do ces deux formules, remplacera 
ou H par 1*', et dans la seconde nous pouvons remplacer :,'■ ou // par/, 
puisque nous savons que ces trois fonctions de (//, p) ne dillèrenl 
qu'aux points d'un ensemble où , '^^' '^^ est nul presque partout. Donc 

f f /(.■.y)d.rdy= I" \'{.r.y)dy(l)^ f ( /('■• .^-^ 7^^ • 

Notre théorème sur les changements de variables se trouve ainsi 
démontré ])our toute fonction /(./■. v) boinée. 

10. Considérons finalement une fonction /(>.}'< mesurable non 



2l8 W.-H. YOUNG. 

bornée que nous prendrons en premier lieu i!o. Dans quelles circon- 
staiices peut-on dire qu'elle possède une intéorale double par rapport 
à notre courbe' 

D'après ce qui a été déjà remarqué, il n'y aura aucune difficulté 
pourvu que les intégrales absolument convergentes 

V(.r. y\- I /(.r. y)d.r. j [• \ .r U). yl t)] 'fr(l) 

existent; et la formule du changement de variables sera valable si 



/■■ /■' /' 



d:ii. V) 



diid' 



existe et conveige absolument. 

L'existence de Tintégrale / j f(.r, y)d.ri/\- fsl donc assurée 
■ • (' 
pourvu que 

(«I /{■'^, y) = o 

soit une fonction sonimabli' de x el que F\x(l), )■(/)] possède une 
intégrale par rapport à y{t^, ce qui exige qu'elle possède une inté- 
grale par rapport à la variation totale de y{t). L'existence résulte 
également si 

(M /[x(»,r),jv".'')] ^'j;;.'| 

est une fonction soniniable de (a, i). 

Dans le premier cas, noire intégrale double rsl donnée par la for- 
mule (i). Dans le second cas, elle peut élre exprimée par (2); cepen- 
dant, la formule (i) est aussi valable dans ce cas, si /( ./■, y) rsl som- 
mable par rapport à ./■. 

II. Il est nécessaire d'ajoutiT que la condition (^A ) est parfaitement 
déterminée dans le cas où f(x, y) est une fonction finie. Le symbole 

./■'■(".')■ .y ",'■)] -77 — ^ 

rt( M, I) 

représente alors une fonction maniable au point de vue de l'intégra- 



I. I.NTKt.liVÏIuN nOlKl.E PAU KAI-1'OKT A L.NK COUlUiE. J I Q 

tinn. lùielTi't, les rondilio.is posées rend<'nl le déUM'minanl foiiclioniiel 
fini presque partmil dans le pian des (i/, i ). 

Mais dans le cas général il faut, pour que la condilion (b) soil par- 
faileinenl bien déterminée, définir la valeur du symbole aux points où 
le symbole devient indéterminé de la forme ac x o. Or il convient de 
donner au symbole la valeur zéro en tout point où le déterminant 
fojictionnel est nul. même si /\-'( a. \), > (//,i )| y prend une valeur 
infinie, car notre raisonnement e\ige que le symbole représi-nte la 
limite des produits 

dans lesquelles les fonctions /'„ sont bornées. 

Donc si notre fonction /'(./,, y) est somma ble, nu niénii- si elle est finie 
presque partout, sans être sommable, alors /|. /(//,< i, v(u,i)\, étant 

finie sauf sur un ensemble où ,,' ' ' est nul presque partout, notre 

d(u,<,') r I r ' 

symbole sera fini presque partout et représente une fonction ma- 
niable. 

I*i. Enfin, si/^.i',)-) n'est pas iDUJours î: o (on '^o), nous exigerons 
que la fonction [jositive | /(./', jy) | possède une intégrale double par 
rapporta ncjtre courbe. D'après ce qui précède, il suffit que 

•(«) / \f{.r,Y)\clx 

l'.iistif et fiussèt/i' uni' inli' ivraie par rapport ù y( t). 

D'autre part, la condition (b) donnée pour la validité delà formule 
pour la transformation des variables, évidemment nécessaire, est suffi- 
sante, que la fonction ^oit positive ou non. Cotte condition est (|ue 

• r , , , . dix, y) 

./[W......v(...)|-;^ 

soit soinmabb'. Sous cette condition, la fonction mesurable /'(.r, v). 
sans être stjitmisr à aucune autre liypotlièsr, possède une intégrale 
double par rapport à noire courhe : cette intégrale, étant la dilTérence 



220 W.-ll. YOLNG. L INTEGRATION DOUBLE. 

des intégrales des deux lonclions positives 

l/('^-,v) !-/(.<■, y. 

[pour lesquelles la condition ( h) est leniplie i jjsu faclo\, est donnée 
par la formule 



' --'Cl ' (I ' A ■ ■ 



et, ■'^' /(x, y) est sommahlc par j-(tppoii à ', elle s'exprime égale- 
ment au moyen de la formule 

j j .f\^^.y)dxdy^.f VU-{t).y{l)]dy{t). 



L IIOMKOMOKPHIK DE DEUX l'IGUItES ET DE LEURS V0ISI.N\(;ES. 



,S///' / lioinconiornhic de dcii.v fii^iiirs 
cl (le IciiiM voisi/Kii^e.s' ; 

l»Au Louis AXTOIXI:. 



INTRODUCTION. 

Du jKiiiit (If \ut' de ÏAnalysis Si.tus, on in- L'uusidère pas lmiuiiu: 
dislinclcs deux figures F et / s'il est possible d'établir entre ces 
figures une correspondance ponctuelle qui soit univoque et con- 
tinue dans les deux sens. Ou dit alors que ces ligures sont hoinéo- 
murphes. Mais l'identité des deux ligures F et / apparaît comme 
plus parfaite, lorsqu'il est possible d'étendre la correspondance 
entre ces figures à des points qui n en font pas partie. Dans cet 
ordre d'idées, en supposant que F est située dans un espace E et / 
dans un espace e. nous chercfierons à déterminer deux nouvelles 
figure? F^ et /i, situées respectivement dans E et e et ayant les 
pro])riétés suivantes : 

il. I'\ <-()nticnl i'' ; /\ (•(iiiticnt / : l'j cl /j soni boinéoniorplic> ei la 
correspondance» entre; h (H /est un cas iiailiculicf dr la coi'rcs[)oii- 
dance entre I'\ cl /j^; 

//. Tnul poiiil de F est centre d'une hyper-iphcrc de rayon non 
nul, dont tout l'intérieur appartient à F^ et tout point de / est 
centre d'une hyperspfière de rayon non nul, dont tout l'intérieur 
appartient à f^. 

En raison de l'inAariance du uoinbrc de dinicnsions d un espace, 



111 LOUIS ANTOINE. 

ce problème n'a de sens que si les espaces E et e ont le inèine 
nombre de dimensions. Trois cas sont alors possibles : 

1° ()u peut prendre jjour \'\ lout lei^pace E et pour /^ tout 
i'espa(M' e. Nous dirons alors que la eurrespondauce entre F et / 
s'étend à la totalité de leurs espaces: 

2° Un peut déterminer Fj et /j, mais on ne peut ])as prendre 
pour ces figures tout E et tout e. Nous dirons cjue la correspondance 
entre F' et / s'étend à leurs voisinages, mais pas à tout l'espace; 

3° 11 est impossible de déterminer deux figures F\, /j satisfai- 
sant aux conditions a et h ci-dessus. Nous dirons que la corres- 
pondance entre V et / ne peut s'étendre à aucun voisinage, ou 
encore que ces figures sont homéoiiiorphes seulenienf en elles-inênies. 

Etant diHinées deux figures honiéomorphes situées dans fies 
espaces ayant le même nombre de dimensions, le ]»roblème Imi- 
dameutal c[ui se pose consiste à chercher dans lequel de ces trois 
cas se trouvent les deux ligures. L'objet de ce travail est l'étude 
de ^-i' problème dans ([iie!([ucs cas pai'ticuliers simples. Nous nous 
bonicidiis à ] esj)ace à deux cl à I espace à trois dimensions cl aux 
figures loriiiées soil de courbes de Jordan sans poiril inulliple, 
soit d'ensembles parfaits ])artout discontinus bornés. 

La première Partie est consaci'ée aux courbes de Jordan sans 
pomt multiple. On appelle courlic iIc Jordan duits respuce à n di- 

ntennions, l'ensemble des points doni les }i coordonnées .Tj. x., i;„ 

s'expriment en fom'tions continues d'un paramètre / (|ui prend 
touti's les valeurs d'un certain intervalle (a, [i] (extrémités com- 
prises), ipi on |M'nl hinjonrs supposer cire I inlcr\alle (o, l). (] est 
ce «|ne lions IVrons (l(n'(''na\'anl . 

I nr coiirlje de .birdan c^l dite uiiserlc cl nans pt/inl niidliple. ou 
encore est dite un arc de Jordan si, quels que soient '' et /" (hs- 
tincts dans l'intervalle (o, i) les denx points de la ronrlic coiics- 
|)oiulaiits sont distincts. La courbe est dite fermée l'I ^ana point 
multiple, Si les mêmes c(Miditioiis sont réalisées, sauf pour le [loint 
de paramètre o et le poinl de paramèlre i cpii sont conloiulus. 

Deux arcs tle Jordan sans poinl nuillipic soni lioiiieoinor|)lics. 



I. HOMKOMORPHIE DE DEUX FIGl KE> ET Dt I,El KS V01SI>"AGES. 223 

Ciii-, pour réaliser la correspondance, il suffit d'associer les points 
donnés ]jar une même valeur de t. 

On (lélinil de même la correspondance qui prouve Ihoméo- 
Mi(n|iliic ilr deux couilx-s de Jordan fermées sans point multiple. 

i.c Chapitre 1 étudie les courbes planes. Je démontre que deux 
telles courbes (toutes deux ouvertes ou toutes deux fermées) sont 
dans le cas i". c'est-à-dire que leur correspondance peut s'étendre 
à la totalité de leurs plans. Cette propriété a déjà été établie par 
plusieurs .Vuteurs et la correspondance a même été réalisée par 
repiésentation conl'oiine (^). La inéthode que j'emploie a l'avan- 
tas;e de ne l'aire inlervenii' que des considérations tout à fait élé- 
mentaires, cojnme celle des chaînes qui ont été définies par M. de 
la Vallée Poussin et dont je rappelle les propriétés à la Section II. 
La considération de ces chaînes m'amène à réaliser des correspoii- 
daiices entre polygones plans el ce sont ces correspondances que 
j'étudie loul d'abord à la Section I. J'indique à la lin du Chapitre 
diverses ajjplications immédiates des résultais obtenu'.. En parti- 
culier, je prouve que, étant données, dans un même plan, deux 
courlx's de Jordan sans ])oint nndtiple (toul"s deux ouvertes ou 
toutes deux fermées), on peuL passer de l'une à l'autre par une 
déforiiiatinii continue du [ihiii n'altérant qu'une région bornée de 
ce plan. Cette propriété sera fréquemment utilisée dans la suite. 

Le Chapitre 11 est consacré aux courbes de Jordan de l'espace 
à trois dimensions. Ici, chacun des trois cas prévus peut effectivement 
se présenter. Si l'on considère des courbes ouvertes tracées sur un 
plan, une sphère ou un tore, on est toujours dans le cas i". Il en est 
de même si l'on considère des courbes fermées planes ou sphérif[ues. 
Si l'on ((insidère une courbe lerjuée C tracée sui' un tore cl iiiu' 
(•ourl)e c tracée sur un plan, une sphère ou un Uu'c, on se trouve au 
moins dans le cas 2"^, mais on n'est pas toujours dans le premier 



^^) Voir les travaux de M. Carathéodory (Math. Anti., Bd 7^, 1912. p. 107, et 
Bd 73, 1913, p. 307 el SaS). .\u sujet de la correspondance homéoniorphe entre 
domaines plans et des déformations homéomorpfies du plan, on pourra consulter 
des travaux de M. Tietze (C. R. Acad. Se, t. 157, iç)i3, p. doç); Rend, del Cire. 
Mat. di Pnlcrmo, I. 3S, 191 '1, p. 2 '17). 

Juiiin. (.If .Math. (H* sciic), lonic IV.— l-'iisc. Ul, 19)1. 2Q 



224 LOUIS ANTOINE. 

cas. Si iiuus prenons pour c une circonférence, et que nous cher- 
chions les conditions nécessaires et suffisantes pour que la corres- 
pondance entre C et c s'étende à tout Tespace, nous devons faire 
intervenir les coefficients d'enlacement a et !3 de C avec l'axe et le 
lieu des centres des méridiens du tore qui porte C. Nous trouverons 
alors cjue la condition cherchée est que l'un au moins des nombres a 
et ,3 soit égal à o ou à i. Quand les nombres a, ^ sont différents de 
G et de I, ces deux ntunbres sont premiers entre eux. 

t.orsque deux des courbes dont il vient d'être parlé sont dans le 
même espace et que leur correspondance peut s'étendre à la tota- 
lité de l'espace, on peut encore passer de l'une à l'autre par une 
déformation continue nintéressant cpi une région bornée de 
l'espace. 

De la considération des courbes tracées sur le tore, je déduis 
(Section I\') un arc de Jordan F dont la correspondance avec un 
segment de droite ne s'étend à aucun voisinage. Cette propriété 
est due à la forme de F au voisinage d'un point remarquable, et 
je montre que tout arc de F ayant ce point comme point intérieur 
(au sens strict) ne peut pas être tracé sur uije surface sans point 
multijîle; en donnant au mot surface le sens qu'il a ordinairement 
en Analysis Situs. 

J'indique enfin à la Section ^ une autre singularité : V exiUence 
de deux courbes non enlacées et telles cependant que chacune soit 
coupée par toute calotte simplement connexe sans point multiple ai/ant 
Vautre pour frontière. 

Les démonstrations données dans ce Chapilrc sappiiit'ul sui 
quelques remarques relatives aux courbes enlacées et aux surlaces 
sinijdeiuent connexes. Ces remarques s'étendent à un es|)ace 
quelconque et je les établis à la Section I dans toute leur généralité. 

Dans la deuxième Partie, j'étudie le même problème pour les 
ensembles parfaits partout discontinus bornés. 

Le Chapitre 1 est une étude des propriétés générales des 
ensembles fermés discontinus. J'y indique un procédé permettant 
de définir très simplement tout ensemble de cette nature dans un 
espace quelconque. Il en résultera iminédiateinent : i" (juun 
ensemble parfait borné, parluiit discontinu, est toujours situé sur un 



T,'ii()Mi';o\i()iii'iiii; iiK iiKiJX l'irajiiKs i;t uf. lkuus voisinages. -225 

arc de Jordan sans point multiple: o.^ que deux tels ensembles sont 
homéoDinrplies ('). I.c l'ail: qu'un l'iiscmble parfait discontinu est 
slliif- sur un arc de Jiirdaji laisse jnévoir l«'s difîéi'enccs profondes 
qui existeiil eiiLie ces enseinljlcs, au point de vue du problème qui 
nous oecu})(', suivant qu'on les considère dans un espace à deux ou 
dans un espace à trois dimensions. 

Dans le cas des ensemhles plans (Chap. II), la correspondance 
peut s'étendre _à tout le plan et peut être réalisée par des procédés 
analogues à ceux décrits pour le cas des courbes de Jordan. 

Pour le cas de Vespace à trois dimensions (Chap. III), je donne 
des exemples réalisant les trois cas possibles. Je définis un ensemble 
discontinu P dont la correspondance avec un ensemble situé sur 
une droite ne peut s'étendre à aucun voisinage. Ce fait tient à ce 
que P jouit d'une propriété assez curieuse et d'allure paradoxale : 
r ensemble discontinu P est coupé par toute surface simplement con- 
nexe sans point multiple, qui contient, à son intérieur, des points 
de P sans les contenir tous. 

Je déduis encore de P deux ensembles discontinus Pj, P2 dont 
la correspondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à 
tout l'espace. 

Il en résulte les mêmes propriétés pour les arcs de Jordan qui 
contiennent ces ensembles P, P^, Pg. !\ous avons ainsi un nouvel 
exemple de deux arcs homéomorphes seulement en eux-mêmes 
et un exemple de deux arcs tels que la correspondance ne puisse 
s'étendre qu'à leurs voisinages et pas à tout l'espace. 

Enfin, de la propriété énoncée sur P, je déduis un exenqile, 
plus frappani encore de la singularité signalée à la fin de la pre- 
mière Parlic : une circonférence C et un arc de Jordan C tels que 
toute calotic siniplemenL connexes sans point multiple, ayant C 
pour frontière, coupe C'; il y a une infinité non dénombrable de 
points d'intersection ipii sont situés sur l'ensemble discontinu P. 



(^) Ces deux pi'opriit's ont déjà été signalées, il y a une dizaine d'années, par 
M. Denjoy. Sa démonslration diffère légèrement de celle (pie j'indique, (a-lte 
démonstration n'a pas été publiée, mai^ M. Denjoy a Mi-n voulu me la comniu- 
niquer. Je tiens à l'en remercier ici. 



21ib LOUIS ANTOINE. 

Les singularités signalées montrent des différences très pro- 
fondes entre l'espace à deux dimensions et l'espace à trois dimen- 
sions. On voit pourquoi des problèmes, très simples dans le cas 
de deux dimensions, deviennent tout de suite très compliqués 
quand on les aborde dans toute leur généralité pour l'espace 
à Irois dimensions. 

Il me reste en tcrmiuaul à lémoigner ma bien vive gratitude à 
M. Lebesgiie, qui a bien voulu orienter les débuts de ce travail et 
qui ne m'a jamais ménagé ses précieux conseils. 



PKEMIEKt; PAhTIK 

LES COIIUIIS llK .lOr.DAN. 



cHAi'iii;!: I. 

I KS (Olllltts 1>I \M s. 

I. — Correspondance entre les polygones plans. 

I. .Te vais démontrer élémentairemenl le théorème suivant : 

Soient <l('ux polygones plans I* <■! /) liuiilés respeci ixcmenl par 

deux contours polygonaux I. i-l / sans |)oinl iuiilli|ili' f| a\aiil li- 

même nombre de sommets. P et p .sont lioinéomu) plies et la coi- 

respondance entre P et p peut être réalisée de manière (jue : 

1° ]\ cl l se correspondent côté A côté, suinnicl à sommet, la corres- 
pondance entre deux côtés étant une similitude ; 

s*' 1^ et p peuvent être décomposés en un nomhre jlni de Irniniiles 
se correspondant pur linmijuiiiplin'. 

Un cas parli<'uliei' très siin|ile,aiupiei ji' raiiièiic:;ii U- las général, 
est celui où 1^ et / n oui que imis souiniii>. I' ci p smil .-dors des 



l/lIOMKOMORPlIIK DK DICI'X KIGUHKS ET DE I.KI'IIS VOISINXGKS. 22; 

triangles. 11 existe une correspondance homographique (et d'ailleurs 
une seule) faisant correspondre ces triangles sommet à sommet, 
côté à côté, la correspondance entre côtés étant une sinnlitude. 
Cette correspondance homographique donne la solution du pro- 
blème. 

2. Supposons maintenant P et p queKoïKjues. Pour simphfier 
je considère un polygone convexe p' limité par un contour l' ayant 
autant de sommets que L et /. Si je peux établir la correspondance 
indiquée au n^ 1 entre P (qui est quelconque) et //, elle pourra aussi 
s'établir entre p et p' et il en résidtera la correspondance cherchée 
ciil n^ P cl p. 

,1,. ilrcrai dans un in^^lanl <iu<' si P a [ilus de Irois côtés, on 

,„Mil,en joignant deux points MijMg, convenablement choisis sur L, 
le décomposer en deux polygones Pj, Pg ayant chacun moins de 
côtés que P. La droite joignant les deux points m',, m', de l' qui 
sont homologues de Mj, Mg, décomposée p' en p, et p',. 

Il sullit de réaliser la correspondance demandée pour P^ et p, 
.lune part, pour Pg et p., d'anire part, pour que la correspondance 
(■litre p <'t p' en résulle. 

On est ainsi ramené au cas de polygones d'un nombre moindre 
de côtés et, en continuant ainsi, on aboutira au cas des Iriangles. 

5. Si P a quatre côtés au moins et s'il est convexe, on peut 
prendre pour M^ et M2 deux sommets non consécutifs de L. Si P 
n'est pas convexe, il a au moins un angle supérieur à deux droits, 
soit l'angle A. Et soient A, B, C, D, . . . , X, Y, Z, A les sommets suc- 
cessifs de L. La demi-droite A.-r, prolongement de BA au-delà de A, 
rencontre P; soit N le premier des points de rencontre quand on 
va de A vers x. N n'appartient ni à BC, ni à ZA. S'il n'appartient 
pas non plus à YZ, je peux prendre Mj en A et M.^ en N. 

S'il a])partient à' YZ, et si le segment AY ne contieni pas de 
,„,i„|s .le l„ je i.r.'uds M, m A. \1., en Y. Sinnu. .'M laisanl lourner 
une demi-droite, à pailir de Ar. \ ers Y. il y aura une prenuére 
position Aj/ telle qu"i'ii pailaiil de A on reueoulie L avant de 
rencontrer YZ, soit Q \r prcnuer point rencontré par A// à parlu' 



228 LOUIS ANTOINE. ^ 

de A; je puis prendre Mj en A, et Mo en Q, car Q e'^t un sommet de 
la ligne CD . . . XY. 

Ceci conduit parfois à des polygones ayant tles côtés consécutifs 
portés par une même droite, mais ces polygones ne sont nulle- 
ment exclus de nos considérations. De sorte que nous aurions pu 
supposer que les deux lignes L et Z n'avaient pas initialement le 
même nombre de côtés, et, en subdivisant les côtés de riinc d'elles, 
revenir au cas nue nmis avons étudié ici. 



II. — Définition et propriétés des chaînons et des chaînes. 

^i. M. de la Vallée Poussin a introduit la notion de chaînon et 
de chaîne en y,nie d'une démonstration du théorème de M. Jordan (^). 
J'utiliserai ces notions. Je vais rappeler ici les définitions et 
énoncer les propriétés qui me seront utiles. 

Définitions. — >Jous appellerons chaînon une région du plan 
d'un seul tenant, limitée par un contour polygonal extérieur 
unique sans point multiple, et éventuellement percée d'un 
certain nombre de vides limités par des contours de même nature 
que le premier. 

Considérons un certain nombre de chaînons consécutifs, désignés 
par leurs numéros d'ordre (i), (2), ..., («). Ces chaînons cons- 
tituent une chaîne si deux chaînons consécutifs ont des points ou 
des parties communes, tandis que deux chaînons non consécutifs 
ne se touchent pas. Si les chaînons (i) et (n) ne se touchent ])as, 
c'est-à-dire sont considérés comme n'étant pas consécutifs, la 
chaîne est dite ouverte, (1) et [n) sont alors les chaînons extrêmes. 
Si (i) et in) se touchent, c'est-à-dire sont considérés comme con- 
sécutifs, la chaîne es! dite fermée. Il n "y a ()!us alors de chaînons 
extrêmes. 

Le domaine comprenant Ions les ]»oinls d'une cliaînc (juverle 
(ou, en abrégé, la chaîne) est, comme les chaînons eux-mêmes, un 

(^) De LA V.xi.LKF. PocssiN, Cotifs <r Analyse in/inlli'sinitilc, I. 1, C.luiii. XIII, 
p. 3-/1 et suiv. 



L HOMICOMOKI'MIK Hh liKLX FIGUUKS KT DK I.KLHS VOISl.NAGKS. 220 

(liiniaiiic d'un seul Iciiaiil, liiiiilr |iar mi roiiLour polygonal cxLé- 
liciii' unique, ni percé d'un cei'lain nombre dévides. Nous dirons, 
en abrégé, qu'une régioji du plan esL intérieure à un chaînon ou à 
une chaîne (juverte, si elle est enfermée dans leur contour extérieur. 
Une chaîne sera dil(! régulière, si un chaînon ne peut être enfermé 
dans un autre, ni dans un groupe de deux autres pris dans la chaîne; 
les([uels seraient nécessan-ement (•onsécutils. 

iî. [ HKOKÈME I. -— Si une cliainc fermée est i.rrégulière, elle est 
intérieure à une chaîne formée de quatre au plus de ses chaînons. 

TnÉoiîÈMi; II. - Tout vide d'une chaîne ouverte est dans l'inté- 
rieur d'un groupe de deux chaînons consécutifs. 

Théorème lil. - Le contour extérieur unique d'une chaîne régu- 
lière ouverte touche à tous les chaînons, tandis que le contour d'un 
vide en touche au plus cjuatre. 

'l'HÉoRÈMii IV. — Dans une chaîne régulière ouverte de cinq 
chaînons au moins, un vide ne peut toucher en même temps aux deux 
chaînons extrêmes. 

Théorème V. — Une chaîne fermée, régulière formée de cinq chaî- 
nons au moins, est constituée par un anneau intérieur à un contour 
polygonal L et extérieur à un contour polygonal W contenu dans 
l'intérieur du premier. 

Cet anneau peut être percé de vifles. Mais ces derniers sont 
chacun intérieurs à un ou deux chaînons consécutifs et en tou- 
chent quatre au plus. Au contrair<', les réglons intérieui'i; (;l exté- 
rieure à l'anneau touchent chacune, l'une ])ar L, l'autre par !/, 
tous les chaînons. 

(>. CJ()in[)lét(ins les théoièines IV et V par les reniaïque-^ sui- 
vantes : 

.Théorèivpe. — Sur le contour extérieur L d'une chaîne régulière 
fermée G formée des chaînons G,, Gn, ..., G„ (ft?-5), on peut 
nuinpwr des points S,, T,, S.j, T_,, . . . appttrtenanl respectivement à 



23o LOUIS ANTOINE. 

G,, Gj, ... se succédant dans l'ordre S,, T„, So, 1,. Sj, T., ..., 
S„, T„_|, S, et tels que tous les points de G, ijui sont sur L appar- 
tiennent à la portion 'S, Tu, S,,, TideL. Sur le contour intérieur L', 
on peut trouver des points analogues S^. T,. ... : il ;/ a accord entre 
les sens S, T„ Sj de L et S'/f^S!, de L'. 

J)écrivoiis le contour extérieur de G,. rsHus trouverons au moins 
une portion allant de L à L' et une alianl de L' à L. Soient S, S', 

Fis;. .. 




et T, T, ees deux parties. Elles ur' se coupenl pas: elles dnisent la 
ehaîne en deux morceaux, dont l'un, (pie jappelle 1",. est du même 
côté que Gj par rapport à S, S',. Il esl limité par S, S^, un arc S',T, 
de L', T'i T, et un arc T, S^ de L. 

G, est tout entier dans T,, puisqu il a des points dans 1", et ([u'il 
lie traverse pas le contour de F,. A rintérieur de 1",, la frontière 
de G| ne contient aucune autre partie joignant L el [/, jiuisqii'uiie 
telle ligne ne pourrait être traversée par G, el cependant par la- 
cerait r, en deux parties contenant Loules deux des points de G^. 
La rr(Uilièie de G, se compose donc, oulre S, S'^ e( 1,1,, di' deux 
j)artics, I uiu' joionani S^ à T,. l'autic joiiiiiaul T, à S,: la pre- 
mière ni' contient aucun pnml d'i' L, la seconde ne coulienl aucun 
point de 1/. Les portions de 1', qui ii"apparl iennent pas à G, n'ont 
donc jaiiuiis à la lois comme I routière des parties de L el des par- 
ties de L'. 

Il en résulle que G,. Ci.. .... G„ , n'ont auvun paint dans V, 

puisque, ne contenani aucun poini de G,, ils devraient se trouver 
dans ces parties de ]', ipii ne louchent pas à la fois L el !/. .Ni Cr.,, 
ni G„ n'est comjjlètemeni inh'ru'ur à T,, car- il y a pai' r.\cnq)le des 



I. riOMHOMOHP.'IIE dp; DKIX l'IGLItES Kï DK J.EIHS VOISINAGES. 1)1 

pniiils (le (r^ apparli'iiaiil à (r,. I -es deux régions 1", cl 1"„, coiis- 
truitcs coiiuiH* I',, nr sont donc |)us intérieures à I',. 

Supposons que T,, qui appartient à Go ou à G„ appartienne à G.. 
Sinon, on devrait appeler ce point S', et raisonner sur G„ comme 
nous allons le faire sur G^. Décrivons T, T,. Nous resterons dans G, 
tant que nous ne rencontrerons pas une frontière de G. Supposons 
que nous arrivions en A à la frontière y d"un vide de G. Ce vide 
touche au plus à quatre chaînons consécutifs de G (n° o, V) et 
comme A appartient à G, et à Go, y appartient au plus à quatre 
chaînons consécutifs de la suite G„_|, G„, G,, G., G3, G.. Décrivons y 
à partir de A dans le sens qui nous fait quitter T', T, jusqu'à ce que 
nous revenions en B sur T', T, et soit y' l'arc ainsi décrit, y' ne con- 
tient aucun point de G, (sauf ses extrémités A et B). La portion 
de y' voisine de A appartenant comme A à G^, tout -;' appartient 
exclusivement à Go, G,, G.,. Mais B appartient à G,, donc ne peut 
appartenir à G.,, ni à G,,. Donc la partie de y' voisine de B apjiar- 
lient à G.,, donc aussi B. En continuant à décrire ï /V , à parlir 
de B, on arrive finalement en T, sur G.. 

De même, S, et S', appartiennent tous deux soit à G,., soil à G„. 
Je dis qu'ils appartiennent à G„. Supposons le contraire el consi- 
dérons, la région T„; soient S^, T., les extrémités de l'arc découpé 
par V., dan^ L. S, et T, appartenant à F... Tun des deux arcs S,T, 
de L appartient tout entier à T.. Ce ne peut être l'arc extérieur 
à r,, cai' Iniil point de C apparl eiuint soit à F,, soil à F,,, G., qui 
n'a aucun point dans F, el F,, ne toucherait pas F. Ce ne peut être 
l'arc S, T, de F,. Car les deux points S^, T., seraient extérieurs à F, 
et, par suite, appartiendraient à Go et Fun des deux arcs S,,.T. deL 
appartiendrait à F.,. Ce ne peiil pas èlre Farc de V.,. |uiis(iu'il con- 
tient des ])ointsdeG|. Ce ne peut pas être non plus l'autre arc S^ To 
de L, car tout point di' F a])partiendrait alors soit à Fo, soit à F.,, 

cl G,, ne loue liera il pas F. Il y a donc coiilradicli -1 jiar suite S,, 

S| a|)|iarl lenneni à G„. 

Ainsi, si Ton iiarcouri I. ci 1/ daii-^ le uième sens, on rencontre 
d'une part S,, T„, S,. T, dans cet ordre, el d'autre part S,, T,„ 
S,. 1 dans le même ordre, ce ipii justilie l'énoncé. Bemarquons 
(|uc S, cl T„ ix'uvent être confoiulus, ainsi cjue So el T,. 

Jauni, lie Matli. (S- sl-iIc). loinc IV. — l'ii'ic. UI, 19M. -J^' 



232 LOUIS ANTOINE. 

Poui' la suite, remarquons encore que la couronne limitée par L 
et L' se trouve divisée en des morceaux F,, T\, T^, T\, . . . par les 
lignes S, S, : T, T'^ ; S, S, ; T, T, : S^ S'., . . . . 

Soient P et Q deux points de L (ou de L'). Soient p et q les 
l'angs des chaînons qui contiennent P et Q. La discussion précé- 
dente montre que l'un des deux arcs PQ de L rV emprunte de points 
qu'aux chaînons numérotés p — i, p, p -{- i, p + 2, ..., q — 2, 
q — 1, q, q -^ i et Vautre arc aux chaînons q — i, q, q-\- i, q -^r ^, • • • , 
p — 2, p — I, p, p -|- I (dans ces suites, le nombre i doit être 
considéré comme consécutif de n). 

Le cas dune chaîne ouverte se ramène immédiatement à celui 
qui ^iellt d'être traité. Il suilit d'ajouter un chaînon tout entier 
extérieur à la chaîne saui deux portions de son bord, dont l'une 
appartiendrait au bord du premier chaînon (et à ce chaînon seu- 
lement) et l'autre au bord du «'*""■ chaînon. On aurait des dispo- 
sitions analogues avec cette différence qu'il faut considérer les 
chaînons comme se suivant dans l'ordre 

1 . 2, 3, . . ., H — 2. /( — \ , n, n — I , « — 2, . . ., H, 2, 1 , 2 . . . 

au lieu de l'ordre 

I . a . .i // — I . « , 1 . 2 , . . . . 



III. Correspondance entre les plans de deux courbes 
fermées. 

7. Soient, dans les ])laiis E et p. deux coLirbes de .Fordaii fermées 
sans pdiiil imillipic ('. et r, dont les coordonnées sont des foni— 
tions continues d un paraïuèlic t variant dans linlervalle (o, i). 
En associant les points de C et c donnés par une même valeur de t, 
je réalise l'homéomorphie de ces courbes. Je me propose d'étendre 
celte correspondance à la totalité des plans Tiete. Il suflit. d"a|)rès une 
remarcpie déjà utilisée, de ])rendre pour c une courbe |)articulière. 
Je prendrai pour c le contour d'un carré de centre, l'origine, de côtés 
parallèles aux axes de coordonnées et de périmètre égal à i. Le 
])aramètre t d'un point de c sera son abscisse curvilione coniplée 
à partir d'un certain sommet de c. 



I.'llOMKOMOlirillK I)K KKIIX IIGI Itl.S i;T IJ K LICLItS VolM N A(; KS . 2 i 5 

La tnélhode que peut ploie est la sulvunle : J'ciilV-riin' (1 (hiiis une 
suilc (le (haîiU'S ri-gulières fermées G„, G,, Go, ..., G„, ... telles 
(|ue lu chaîne G„ soit totalement intérieure à la chaîne G„_,. Les 
contours polygonaux L„_,, L),-,, L„, L^ qui limitent ces chaînes 
déterminent deux couronnes A„_|, A„_, et G,,-, est la somme de 
ces deux couronnes et de G„. Je décompose chacune de ces cou- 
ronnes en polygones en nombre égal à celui des chaînons de G„_,. 
Je fais des constructions analogues pour c. J'établis ensuite entre 
les polygones obtenus la correspondance indirpiée au n° 1. J'établis 
des correspondances analogues entre les extérieurs de I.,,, et /„ et 
les intérieurs de L„ et /'„. Moyennant quelques précautions, ces 
correspondances réalisent la correspondance cherchée entre E et e. 

Dans l'exposition de cette méthode, j'énoncerai quelques résul- 
tats déjà établis par M. de la Vallée Poussin; mais j'emploierai des 
procédés différant des siens et appropriés au but que je poiu'suis. 

8. Théorème. — Etant donnés une courbe fermée C sans point 
multiple et un nombre positif A,„ je puis enfermer C dans une chaîne 
régulière fermée G„ d\iu moins cinq chaînons et dont chacun a un 
diamètre inférieur à A„. 

Partageons l'intervalle (o, i) de variation de t en 2'' parlies 
égales. Ceci partage C en 2^ tronçons. Soit £„ le jnaxiniuni du dia- 
mètre de CCS tronçons. Couvrons d'autre part le plan dun pavage 
constitué par des carrés égaux de côtés parallèles aux ax;'s et soit "/]„ 
un nombre supérieur au diamètre (diagonale) de ces carrés. A 
chaque tronçon j'attache un chaînon formé de ceux des carrés du 
pavage qui touchent ce tronçon. 11 s'agit de choisir A- cl r,„ de l'açon 
à satisfaire aux conditions imposées. 

Deux chaînons consécutifs se toucJient' car ils oui en coinniuii le 
carré qui contient le poinl conunun aux deux tronçons d<inl ils 
proviennent. Pour (|ue deux chaînons non conséeulil's ne se 
touchent pas, il sulliia (!<■ picndic r,„ inférieur à la moitié de l'écart 
mininuim de deux Ironçous non consécutifs. Remarquons 
qu'alors •/]„ es! inférieur à la juoitié de l'écart des extrémités d'un 
nicnie Ironçon, donc à - £„. Danlre pari, le diarnèlre d'un chaînon 



234 LOUIS \NT01NE. 

est au plus égal à celui du tronçon augmenté de 2Y]„: il est donc 
inférieur à 2 £„. 

La chaîne sera régulière si (n° o, I) elle n'est pas intérieure à un 
groupe de quatre chaînons consécutifs. Ce groupe a un diamètre 
inférieur à 8 £„. Comme C appartient à la chaîne, il suHira que £„ 
soit inférieur au huitième du diamètre de C. 

// suffira donc de prendre A ;> 2 (pour avoir au moins cinq cliaî- 
nons) et assez grand pour que £„ soit inférieur au huitième du dia- 
7nètre de C et A la moitié de A„. Ceci fait, la courbe est partagée en 
tronçons et l'on prendra r,,, inférieur ci la moitié de Vécart de deux 
tronçons non consécutifs. Tout ceci est possible puisque î„ tend 
vers o quand k augmente indéfiniment. 

C est intérieure à cette chaîne G„ et ne touche pas à ses deux 
bords L,„ L^ ; car tout point de C est intérieur à un carré ou à un 
gi'oupe de deux ou qualre carrés du pavage. 

Si Von ne fixe pas A„, on pourra déterminer la chaîne par les 
autres conditions et Ion sera assuré cjvie chaque chaînon a un dia- 
mètre ■< 2c„. 

i*. Supposons que G„ , ait été construite à laide diui ccrlain 
partage de C en tronçons et d'un certain pavage du pian par des 
carrés. Pour construire G„ je partage l'intervalle qui donne chaque 
tronçon du partage précédent en deux parties égales. Soit i„ le 
maximum du diamètre des tronçons obtenus. Chaque lionçon 
ainsi obtenu étant une fraction de l'un des précédents, i,, ne peut 
pas augmenter et tend vers o quand n augmente indéfinimenl. Soil -/;„ 
un nombre inférieur : 1° à la moitié de l'écart de deux troiicnns non 
consécutifs; 2° à l'écart de C avec (■ha<nn des cdiitours [)olygo- 
naux L„_|, L„_, qui limitent G„ ,. .le pailaii,!' cliinpie carré du 
pavage qui a doimé G,,^, en un nmiibre (le même pour tous) assez 
grand de carrés égaux pour (pie ces carrés aient un diamètre infé- 
rieur à r,„. Ce partage en tronçons el rc |(a\.ige |irrnie||enl de 
définir la chaîne G„. Elle remplira les corHlilion^ voulues, car 
le diamètre du carré du pavage remplit les conditions inqiosées vis- 
îi-vis de £„ et comme £„ n'est pas supérieur à î„, il véiilie les mêmes 
inégalités de condition que î,,. De plus, la deuxiènu- condition im- 



l'homkomori'mik hk dkix figlkes et dk leurs voisinages. 2'55 
posée à r,„ moiitie que cotte chaîne n'a pas de points sur L„ ,, 
ni L^_,, donc est bien intérieure à G„_,. 

Remarquons enfin que le diamètre maximum A„ d£S chaînons 
de G„ est inférieur à 2i„ et que chacun des deux chaînons de G,„ qui 
proviennent d'un tronçon ayant servi à la formation de G„_,, est une 
partie du chaînon correspondant de G„_i en raison de la construc- 
tion des pavages. 

Les chaînes ainsi construites définissent bien les anneaux A,., A'„ 
annoncés au n^ 7. A„ est compris entre L„ et L„., et A'„ entre L„ 
et L^,^,. 

10. Décomposition des anneaux A„, A^ en polygones. — Dans ce qui 
suit, j"aurai à considérer des éléments de même nature, en nombre 
égal à ceux des chaînons de chaque chaîne G„. Je désignerai tous 
ces éléments par une même lettre affectée de deux indices : un 
indice inierieur, celui de la chaîne G„; un indice supérieur qui sera le 
numéro d'ordre du chaînon de G„ auquel correspond l'élément. 

Proposons-nous de décomposer en polygones les deux anneaux 
A„, A'„ déterminés par les deux chaînes G„, G^^, et limités respec- 
tivement par les contours L„, L„^, et L'„, L'^^, {fig. i). Pour cela, 
divisons la couronne L„, L], en morceaux Y.p,, et Tj,, par des 
lignes S,/,^, S;^^,, To/H., T:,,^„ comme il a été dit au n» 6. Pour sim- 




pliliii- les notations, les morceaux seront notés F,',, F^, ..., et 
les lignes S', S„', S^ S^ , . . .. 

Considérons une des lignes SS' ainsi construites. S est extérieur 
à L,,., et à L;,,,, tandis que S' est intérieur à ces contours. Donc SS 



236 LOUIS ANTOINE. 

coupe chacun de ces contours. Parcourons SS' de S vers S'. Rappel- 
lerai X le premier point de rencontre avec L„^, et 1' le dernier point 
de rencontre avec L^,^,. Les lettres Z, S' seront naturellement 
affectées des mêiries indices que les lettres S, S'. Nous ne conser- 
verons de chaque ligne SS' que les arcs Si et S'-'. Ces lignes ne se 
coupent pas. Elles partagent donc les anneaux A„ et A'„ en po- 
lygones que je désignerai par la lettre A avec deux indices évi- 
dents et un accent s'il s'agit de A'„. Par exemple, A,', aura parmi ses 
sommets les points S,',, S^, 1,', 2;,. 

Ces polygones A et A' réalisent la décomposition des anneaux A„, 
A„ en polygones : ils se présentent comme des chaînons ne se tou- 
chant f{ue par des parties de leurs frontières, la chaîne qu'ils 
i'orment n'ayant pas de vides. 

11. Faisons une remarque qui nous sera utile plus loin, sur la 
disposition des polygones A par rapport aux chaînons G. Consi- 
dérons le polygone A" et étudions son contour. La définition de ce 
contour dépendant de la parité de a, nous distinguerons deux cas. 

1° a impair. — Le l'ontour iS^SfS^'^'S'"' appartient aux 
contours des trois chaînons a — i, a, a + i (n° 6). Il est donc inté- 
rieur à l'ensemble de ces trois chaînons. Les points 1^, 2*"^' appar- 
tiennent au chaînon G^ donc ne peuvent appartenir qu'à ces trois 
mêmes chaînons. Il en résulte que ces points ne peuvent appar- 
tenir qu'aux chaînons 2 a — 3. 2 a — 2, . . ., 2 a + 2 de G„n, sans 
quoi ils appartiendraient à d'autres chaînons de G„ (n° î)). Bonc 
le contour S"!^*' ne peut emprunter que les chaînons 2 a - /\, ..., 
2 a + 3 de G,;^., (n° G), et par suite appartient aux chaînons a — 2, 
a — 1, y., a. -{- I, a. -\- 2 de G„. Tout le contour de A* et par suite 
tout ce polygone est intérieur au groupe de ces cinq chaînons de G„. 

2° a pair. Rien n est changé poui' la première parlic du con- 
tour, i* ajjparlient au chaînon a -i, donc peut appartenir à 1 un 
des trois chaînons a — 2, a — i, a. De même 1**^' peut appartenir 
à l'un des trois chaînons a, a + i, a + 2 et pas à d'autres. Le 
même raisonnement montre que tout l'arc 2,^1*' ap|)artienl au 
groupe des sept chaînons a — 3, . . ., a + 3 de G„. 



I.IIOMKDMnilPIllK IIK mUIX FIGUHES ET DE LEUHS VOISINAGES. ^3" 

Donc, dans lous les cas, Af, est intérieur à un groupe de sept chaî- 
nons consrciilifs de G,, dont le chaînon moyen est le chaînon G^. 
Par suite, A'f, ne peut toucher qu à neuf chaînons consécutifs de G„, 
G* étant toujours le chaînon moyen. 

Il en l'ésnlle aussi qu'un chaînon de G,, ne peut toucher au plus 
que neuf polygones consécutifs de A„. 

Les résultats sont •'■xidcniincnt les mêmes pour .\^,. 

12. Passons à la cniibc f du plan e: c est le périmètre d'un carré 
de côtés parallèles aux axes, de centre l'origine o des coordonnées 
et c a pour longueur i. Le paramètre t d'un point de c est son 
abscisse curviligne comptée à partir d'un sommet. 

Pour construire une chaîne g„ contenant c, je considère d'abord 




deux contours carrés IkhikiI hél i([ues à c el. concentri(|iics. ruii /„ 
extérieur, laiilrc r^ Inlérictir. Puis je partage c en 2'' tronçons 
égaux el je mène les dcini-droites allant de o aux extrémités de 
ces tronçons (les sommets de c sont parmi ces points). Les quadri- 
latères formés par ces droites et /„ l'^ seront les chaînons de la 
chaîne g„, leurs sommets seront désignés sur /„ par «j^ et sur l[, 
])ar «i* et le chaînon g* sera le quadrilatère sj«"^' sjj*"^' s[^. 

Dune manière générale, supposons g„_, définie el limité(> par 
deux carrés /„ ,, /„_,. Pour définir g„ je construis deux carrés /„, 
l„ hoanothétiqiies à c et concentriques et respectivement équisdis- 
taiits de /„„, et c et /„_, el c. Je partage en deux tronçons égaux 



238 LOUIS ANTOINIÎ. 

chacun des tronçons qui a servi à construire g„—f et je joins o aux 
extrémités. Ceci me donne les chaînons de g„ dont je désigiipi-ai 
les sommets jtar la lettre s ou s' affectée de l'indice inférieur n et 
d'un indice supérieur dont la détermination est immédiate. Le 
chaînon g^ aura pour frontière le contour .?,^ s^"^' 5^^"^' s„°'. 

J'appelle a,„ a\^ les anneaux respectivement comjiris entre /„, 
^«+1 et /„, l'.„^,. 

Revenons au plan E. Soit 1* un point X sur L„^^|. Si ce point 
est confondu avec un point S,,^,, soit S';_^,, je noterai aussi le 
point st^., par la lettre dj^. Si S^ est situé entre deux points consé- 
cutifs S,,^., d'indices supérieur^ A', A- + i, je marquerai sur /„,.,, 
entre les deux points s„^, d'indices A', A + i, un point que j'appel- 
lerai c7*. Remarquons que si les points S„+,, Z,, se présentent sur L„_|., 
dans un certain ordre, les points s„^.|, a,, se présenteront sur l„^, dans 
le même ordre. 

Or, puisqu'on peut joindre les jioiiits S„, 1„ dans l'anneau A„ 
sans que les chemins se coupent, on pourra joindre les points s,,, 
a,i dans «„ par des chemins ne se coupant pas, ceci parce que les 
ordres de succession des points de même indice sont les mêmes 
dans E et e. Comme chemin .«"a", je prendrai, quand ce sera pus- 
sible, le segment rectiligne ayant ces points pour extrémités cl, 
dans le cas contraire, une ligne brisée ayant ses sommets unitiue- 
ment sur les diagonales de c. a,, se trouve ainsi rléconi|Misé en po- 
lygones et j'appelle </* celui de ces polygones (pu cnnlirnl les 
points i'*, aJJ, s"^', a^"^'. 

Je ferai les mêmes conslinctions sur les anneaux c/„ {fig. 3). 

Nous avons vu ([ue Tare Z"Z""^' de L,,^., ne cdiiliiMil (pie des 
points appartenant aux seuls chaînons de 2 a (i à 2 a -|- 5 
deG,,^,. 

Donc cet are est compris entre les deux points S,,^, d'indices 
supérieurs 2 a — 7, 2 a + 6. L'arc a-"^**' de l„^^ est donc com- 
pris lui aussi entre les points s„ ayant ces indices, c'est-à-dire (pill 
est intéineur aux chaînons de g„, a. — 3, . . ., a -f 3. Donc : 

Un polygone «* est intérieur à un groupe de sept chaînons consé- 
cutifs de g„ et en louche au plus neuf, le chaînon moyen étant g*. De 
même un chaînon gf, touche au plus neuf polygones ctinsécMifs de a„. 



i.iKiMKOMDiiiMiii; iiK m: IX h(;uhf> kï iu: i.ruhs voisinagks. 239 

15. (Considérons une li^nc polyjronalc 1*S* et la ligne t^s*. 
Si ces lignes n'ont |)as, initialeriH ni, le même nombre de sommets, 
je marque sur l'une d'elles des points qui joueront le rôle de som- 
mets. J'établis ensuite entre ces lignes une correspondance con- 
linue, i'aisanl correspondre les sommets, et faisant correspondre 
les côtés par similitude. Les points S„+,, S„ partagent L„^, en 
tronçons. Je fais de même pour chacun de ces tronçon.? et pour le 
tronçon correspondant de l„+,. La correspondance entre les 
contours de A^ et a" est alors celle indiquée au n° 1 et par suite 
je peux étendre cette correspondance à la totalité de ces polygones 
comme il a été dit à ce numéro. Il en est de même pour l'intéiicnr 
de L,, et l'intérieur de /„. 

Pour les extérieurs de Lj et /„ je considère deux contours carrés 
auxiliaire L, / égaux et assez grands pour contenir respectivement 
à leur intérieur tout L,, ou tout /„. Je joins un sommet de L à un 
sommet de Lj et un sommet de / au sommet correspondant sur /„ 
à l'aide de lignes polygonales ayant le même nombre de sommets. 
La couronne comprime entre / et /„ et celle comprise entre L et L„ 
se présentent alors comme deux jiolygones auxquels j'applique 
les considérations du n" 1. Enfin, pour les extérieurs de L et /, 
j'envisage deux axes de cooi'données portés par deux côtés de ij 
et les deux axes portés par les côtés correspondant'; de /. Je fais 
correspondre les points qui ont même coordonnée. 

La correspondance sur C et c a été définie. Elle lie les ])oints 
qui ont même paramtMrc F.Wc fait corrpsjxindre en particulier les 
IKiinIs MJ, m*; M^ étant le [hhiiI ((11111111111 aux deux tronçons ijui 
ont fourni les chaînons ai, a de G„ et m' étant commun aux 
deux tronçons qui ont fourni les chaînons a - i, a de g„. Ces points 

oui eu cllcl |)(iu!' naïamètre — ; — ^• 

l-i. Je dis que la correspondance ainsi établie donne la solution 
du problème posé. Pour le montrer il me faut dabord prouver quelle 
atteint tout point de E et tout point de e et qu'elle est biunivoque. 
Il est nianifesle (|uc tout point de e est atteint. Cela est manileste 
aussi pour tmil |i(iinl de E ipii ap|)artii'nt à C ou (pii est extérieur 

Joiiiii. (le Attil/i (S- S(-iic). toiiK- IV. I",isi-. III. ly.'s. 3l 



24o LOUIS ANTOINE. 

à une chaîne G,„ car un tel point appartient à un des anneaux A, 
ou est extérieur à L„, ou intérieur à L„. Il suffit donc de prouver 
que tout point M de E non situé sur C est extérieur à une des 
chaînes G„. Ceci résulte du théorème suivant : 

Théorème. — Soit A„ Je maximum du diamètre des chaînons 
de G„. Tout point intérieur à G,, (/, w^'ec C, un écart inférieur à A„. 

Tout point intérieur à G„ appartient soit à un chaînon, soit à 
un vide intérieur à un groupe de deux chaînons consécutifs (11° 15, V). 
Si M appartient à un chaînon, le théorème est vérifié, car ce 
chaînon contient au moins un point de C, et la distance de ce point 
à M est inférieure au diamètre du chaînon. Si M appartient à un 
vide, appelons A le contour de l'ensemble des deux chaînons qui 
contiennent ce vide et N le point de C commun aux deux tron- 
çons qui ont donné naissance à ces chaînons. N étant intérieur 
aux deux chaînons, est intérieur à A. M étant aussi intérieur à A 
une demi-droite issue de INI et opposée à MN coupe X en un point P, 
P est sur un des deux chaînons et ce chaînon contient aussi N qui 
appartient aux deux. Donc NP <[ A„ et par suite MN <C A„ puisc{ue 
M est par construction entre N et P. Le théorème est démontré. 

Soit alors M un point de E non sur C. 11 a avec C un écart non 
nul £. Considérons un nombre n assez grand pour (|U(' le maxi- 
mum £„ du diamètre des tronçons de C qui fournissent les chaî- 
nons de G„ soient inférieurs à - 1. A„ est inleriem- à 2£„, donc à s. 

M ayant avec C un écart supérieur à A„ est extérieur à G,,. 

La correspondance s'étend donc bien à la totalité de 1'^ et e. 
Elle est biiinivoque, car les polygones A (ou a) n'ont eu couunuu 
que des ]iuiuts fi'Oiitières et que ces frontières se c<)rres])oiid('nt . 

iiî. Jl reste enfin à prouver que cette correspondance est continue 
dans les deux sens. Elle est manifestement continue eu Ion! couple 
de ])oints homologues M, m qui uapparticiment pas à C. cl e. il 
sullil alors de faire la démonstration eu supposant M et ni sur C 
et, c. 

l^n point M (le C est intérieur au coulouf cxicrieur de luii au 



l'iIoMKUMOHIMIIK liK liKiX IIGURES ET DK LELHS VOlSINAGKS. 24 I 

moins des chaîiioiis (l<- la chaîne G, ; soit par exemple, au chaînon G;. 
Tous les points de G; suffisarnnienl (voisins de M ont leurs homo- 
logues définis par la considération de polygones A*;^,,, où p est 
positif. Chacun de ces A*:^^ contenant des points de G; contient 
au plus des points de 7 chaînons consécutifs de la chaîne G,+,„ 
dont l'un au moins provenant de la subdivision de G;; donc 
ces 7 chaînons sont intérieurs à 7 chaînons consécutifs de G,-, 
l'un d'eux étant G;. Finalement, tous les Af+,, considérés appar- 
tiennent aux i3 premiers chaînons de G', à G'/ de la chaîne G,. 
Les a'^,, correspondant font donc partie de la figure formée par 
les i3 chaînons g) à g'/ et le diamètre de cette figure tend vers 

1 
zéro avec - • 
i 

Ceci prouve la continuité de la correspondance quand on passe 
de E à e. Le passage de e à E s'étudiera de même: d'ailleurs, 
d'après un résultat de M. Jordan, une correspondance biunivoque 
et continue dans un sens est continue dans les deux sens. 

Ki. En résumé, le problème posé au n" 7 se trouve résolu. Si 
nous envisageons deux courbes fermées quelconques sans point 
multiple, étant donnée une correspondance biunivoque et con- 
tinue entre les points de ces courbes, on peut l'étendre à la tota- 
lité de leurs plans au moyen d'une infinité dénombrable de corres- 
pondances homographiques. La correspondance entre régions 
homologues ne contenant pas de points des courbes est obtenue 
par un nombre fini de telles correspondances. 



I\. _ Correspondance entre les plans de deux courbes 
ouvertes. 

17. htaiil duiinées deux courbes de Juidan uux'eiies C et c suus 
jwiiil multiple des plans E et e, nous allons étendre à tout E et e la 
correspondance entre C et c. 

Pour cela, appelant A. H; a, h les extrémités de C et c. je vais 
conslruiic ini arc C sans point multiple joignant A à B et n ayant 
(|ue ces jinints en cnniiinin avec (' et un arc analogue c' . Je ferais 



242 LOUIS ANTOINE. 

correspondre C + C avec c + c' en conservant la curres})oii- 
dancé donnée de C avec c. La correspondance entre ces courbes 
fermées s'étend à la totalité de leurs plans et cette extension 
résout le jiroblème posé pour C et c. 

Comme courbe c, je pi'cnds le segnicul (o, i) de Ox et pour c' 
je prends le reste api, q„ b du périmètre d'un carré de côté c. La 
construction de C va encore résulter des propriétés des chaînes 
régiilières ouvertes enfermant C. Ce sont ces propriétés cpie j'étiulie 
maintenant. 

18. THÉORÈMii. Soil C un arc de Jurdan sans point multiple 
d'extrémités A, B. Je peux enfermer C dans une chaîne régulière 
ouverte Gf, d'au moins sept chaînons, et dont chacun a ui} diamètre 
inférieur ci un nombre A„ donné. 

■Partageons l'intervalle (o, i) en 2'' parties égales, ce qui par- 
tage C en un même nombre de tronçons. Appelons £„ le maxinuim 
du diamètre de ces tronçons. Considérons d'autre part un pavage 
du plan à l'aide de carrés égaux ayant un diamètre inférieur à un 
certain nombre ■/)„ cpie je déterminerai ensuite. Pour constituer 
le premier chaînon, je prends un arc AA,, de C somme des a„ pre- 
miers tronçons et je garde ceux des carrés qui touchent cet arc. 
Ils forment un chaînon que j'appelle (A„). Je construis de même 
le chaînon (B„) à l'aide de l'arc BBo somme des |3„ derniers iroii- 
çons. Je constitue les chaînons intermédiaires chacun à I aide d'un 
des tronçons restants de C. 

Les chaînons ainsi construits formini niic ciudnc uuwrte si yj„ 
est inférieur à la moitié de l'écaLi i\r ihux Ironçons non consé- 
cutifs. (_>n a alors r,„ <'-t, (no8). 

La chaîne seia ré'^ulière (11° i) si aucun chaînon n'est intérieur 
à aucun groupe de deux chaînons consécutifs. Pour écarter le cas 
conlraiie, je distinguerai deux cas suivaiil ([iie le groupe en ([ues- 
lioii tie contient pas ou contient un des tlunnoiis exlrêiius. 

pRiiMiKU CAS. — Supposons (pic le <haînon de rang /. soil mlc- 
rieur au grouj)i' des deux cliainon> ml ( riiicdiaircs X, A + i. Sup- 



l/ltOMKOMORPIIIE DE DEUX FIGIIIES ET DE I.ELIIS VOISINAGES. 2^\~i 

posons pour fixer les idées /.<>.. Le ehaîiion /. - i ne touche 
aucun (les (■liaîn(uis A, '/. -\- i (jul \\r lui sont pas conséculils. Il a 
des points à rintéiieur de leur «iioupe, ceux qu'il a en commua 
av<'e (■/.). Il est donc tout entier intérieur à ce groupe. Il en est 
de juême des chaînons x — 2, x — 3, ... (An). Dans ce cas, l'un 
des chaînons extrêmes est intérieur à un groupe de deux chaînons 
intermédiaires consécutil's. Ce cas ne pourra pas se produire si 
chaque chaînon extrême a un diamètre supérieur au douhh' du 
nu^xinium du diamètre des chaînons intermédiaires, c'est-à-dire; 
supérieur à 4'05 puisque chaque chaînon intermédiaire a au plus 
le diamètre 2Eo (n^ 8). Pour réaliser cette condition nous pren- 
drons a„ et ^„ juste assez grands pour que les diamètres des arcs AA„, 
BB„ surpassent 4£„. On peut alors préciser les limites entre les- 
quelles sont compris les diamètres de (Ao) et (B„). Si l'on dimi- 
nuait a„ d'une unité, on aurait un tronçon de diamètre au plus 
égal à 4£„; donc AA„ a un diamètre au plus égal à 5î„ et par 
suite (A„) a un diamètre inférieur à 6c„. 11 en est de même pour (B„). 

Deuxii-.me cas. — Le chaînon (/.) est intérieur au groupe formé 
de (Ao) et de son consécutif [le raisonnement serait le même pom" 
(B,,)]. Le ( haînon (x + i) serait aussi intérieur à ce groupe et par 
suite le ( haînon (BJ. Or B est intérieur à (Bo), B serait donc inté- 
rieur au urou|ir en (picstion qui contient aussi A. Ce groupe a un 
diamètre au [)lus égal à (i;„ + 2i„ = 8£„. Si Ton appelle D la dis- 
tance AB, ce cas ne se pioiluira pas si £ <^ ;;^ D. 

Enfin écrivons qu'il y a au moins sept chaînons (^), c est-à-dn-e 
au moins < iii([ chaînons intcrnu-diaircs. Les arcs AA„, BB„ ont 
chacnii un diamètre inférieur à ;")£„. Si donc D > iOc„, les arcs 
AA„, BB„ n'empiètent pas et l'arc A„B„ a un diamètre supéru'ur 
à I) — iO£„. II sullit alors cpu' D io-„ > ')£„ ou ij£„ < D 
]K)ur être assoie cpie cet arc rom|)ii'iid au moins cnni tronçons. 
Cette condition est plus restrictive que celle trouvée plus haut. 

Si eiiliu on \eul ipie chaque rhaînon ait un diamètre inferu^ur 

^') Ce luiiiibrc a été cfioisi on vue des applications ulloricures. On ferait des ra;- 

siiiincmcnls analnifucs ;i paiiir d'un iiiiiuluc c|Ui'K'ou<|iir. 



Zl\\ LOUIS \>TOINE. 

à A||, il sullira qu il en soit ainsi pour li's chaînons extrêmes, e'esl- 
à-dire que 6£„ < A„. 

En résumé, on prendra k assez grand pour que t„ soit inférieur 

, D , A .. , . . , , • r- 

a — et a ^- L étant anisi partagée en tionçons, on prend /]„ inté- 
rieur à la moitié de l'écart de deux tronçons non consécutiis. On 
choisit enfin a„, P„ juste assez grands pour que les arcs AA,,, BB,, 
aient un diamètre supérieur à 4^0- 

Si l'on ne fixe pas A„ on supprimera la eontlition correspon- 
dante. On sera assuré que chaque chaînuii aura un dunnèlre infé- 
rieur à ÔEg. 

Soient G„ la chaîne ainsi construite et Lp son contour. 

19. Enfermons maintenant C dans une suite de chaînes G„, 
G,, .... G„, .... Nous imposerons à ces chaînes la condition que 
les contours L„, L,, . . ., L,„ . . . qui les limitent soient intérieurs 
chacun aux contours qui les précèdent. Supposons G„-, cons- 
truite à l'aide d'éléments qui sont : un partage de C en tronçons 
dont le diamètre maximum est t„ , : un pavage du jtlaii à laide 
de carrés égaux; deux nombres a„_,, p„_| juste assez grands pour 
que AA„_| et BB„_, aient un diamètre supérieur à 4^» t- Pour 
déterminer G„, je partage chaque intervalle du paramètre l ayant 
fourni un tronçon du partage précédent en deux parties égales. 
Soit t„ le diamètre maximum des tronçons ainsi obtenus. î„ est 
au plus égal à £„-,. Je partage cfiaque carré du pavage précédent 
en un nombre (le même pour tous) de carrés égaux dont j'appelle 
le diamètre /]„. Je jirends ce nombre de carrés assez grand pour 
<pie : 1° r ,1 soit inférieur à la moitié de lécart minimum des groupes 
di- (jeux 1 ro MCI Ml s 11(111 consécutifs de tl : 2" à 1 écart de ( . a\cc I .„., . 
l'.iiiiii je choisis a„, !i„ juste assez grands pour inic le (liaiiiclrc 
(le AA„ et (le BB„ soit supérieur à 4 î»- 

Comme î„ est au plus égal à £„_, donc à î„, î„ remplit les con- 
ditions exigées pour t„ et ces éléments fourniront une chaîne G„ 
ayant les jji'opriétés de G,,. De plus, la deuxième condition imposée 
à ■/;„ montre que tout point des chaînons de G„ est mlérieur à G„ ,, 
donc (pic G„ est intérieure à I.„ ,. I..,e diamètre des chaînons de G„ 



l'iiomkomoiu'iiik m: deux figihes i;t de i.kliis voisinagks. 245 
osl iiilrriciii' i"i ().'„. (Iniic Iciid \('is zérn (jikiikI n ;uiiî:iliciit <• iiifli'- 
lliiiiuciil . 

Faisons cncoio quelques remaïques. J.'arc AA„_, a nu dia- 
mètre supérieur à 4 î„-i, done à /| t„. Par suite, A„ ne p'-iil pus être 
en dehors de cet (trc. De rnèiiie lî„ esl sur Taie lîlî,,^,. I ii chaùiini 
iulermédiaire de ( 'r„ , [aoNlciil iVnn tronçon de (. (jui eu lourniia 
deux dans la dl\isi(ui suivanle el qui, |)ar suile, dontu'ra naissance 
à deux chaînons rie G,,. Ces deux chaînons sont entièrement intérieurs 
au chaînon considéré de G„_ ,. Le tronçon AA„_, l'ourniia le tronçon 
AA„ et éventuellement d'autres tronçons. Les chaînons <|nl en 
résultent pour G,, sont enlièi'ernent intérieurs à (A„_|). 

"20. CoNSTHUCTioN DK (/ (Jjg. /|). — C scra obtenue comme 
imaoe continue de c' [ap^ 7,, l>)]au moyen des remarques suivantes : 




Sur le conloin' I ,„ d<' G„ il y a (pialic jioinls P„. 1>)_, ()„, Q,, tels 
que les deux ares 1\, ')„, l*„ ^v*„ enqiiunlenl chacun tous les 
chaînons, les [loinls l'„, I',, étant les seuls «|ni apparl ienneni au 
chaînon (A„) cl les points Q„, Q^, étant les seuls qui appartieiuuMit 
à (B„) (11" (>). I,"nn des arcs P„ P^, du contour de (AJ esl alors 
tout enlier inh'ricnr à G„. ("el aie el la |)orlion P„, V ^^ du conlour 
de G„ l'orincul un conlour 1 ([ni enlVrtne tout (xV„), donc A. .Mais H 
esl e\l(''rieur à 1. I*ai- suite, L„ , , (|ui euq)runte des points de (A„.n) 
intérieur à (A„), doiu' à 1, el des points de (B,,^.,) exlérieiu' à .\, 
coupe X. 11 ne coupe pas la partie appartenant à I;„, donc il coupe 
l'arc l'„P„. Soil ll„ le |ircnncr point de roicontre avec L,,,., à 



■2!iG LOIIS ANTOINE. 

partir de P„. Je formerai un arc P„ P,,.^, en ajoutant à P„ II,, celui 
des deux arcs II„P„n de L,,.,., qui n'emprunte pas de points au 
chaînon (B,,.^,). 

Remarquons dès maintenant que II„ appartenant au chaînon (A„) 
ne peut pas appartenir aux chaînons de rang supérieur à 2 de C„. 
Soit 2À + I le nombre des chaînons de G„^_, cjui sont entièrement 
intérieurs au groupe des deux premiers chaînons de G„ (n° 19). 
IT„ ne ]ieut alors appartenir c[u'à ces chaînons de rang au plus égal 
à 2 A + I. Le chemin II,, P„+, emprunte donc des parties appar- 
lenant uniquement aux 2 X -j- 2 premiers chaînons de G„^_, et 
]KU' suite est intérieur au i^roupe des trois prenti'ers cJiinnons de G„ 
(nOs G ft 19). 

Ceci étant, je marque sur le côte ap„ de c' les points p,. j)., ..., 
p,„ . . . définis par ap„ = ^- Je fais correspondre les points P et /) 

de même indice. Je fais de même correspondre le segment p„ /)„+, 
à la ligne polygonale P„n„ P,,.^, par exemple par similitude des seg- 
ments homologues. Je lais des constructions et j'établis des cor- 
respondances analogues pour les éléments désignés par la lettre Q. 
Je fais encore correspondre le coté p„(/„ à l'arc P„ Q„ de L,, et 
enfin je fais correspondre A à o et B à b. Je vais montrer que 
l'ensemble des points ainsi construits et correspondant aux points 
de c' constitue Tare C cherché. Il faut montrer pour cela • 

1° C n'a que les points A et B sur C. — Ceci résidlc de c(> ([iie 
larc P„ P„+, de C est, <|iicl (pie ^(i:l /(. exiciieiirà (^r,,,.,, (Inné ne 
ciiiipc pas C. 

2" C' n (I pas de punit iii\tlti pic. Par leur cmisl riicl hui iiicmic. les 
arcs P„ P„^.| et P,„ P,,,., ne se coupent pas. De même pour Q„ (.)„^., et 
QmQm+i- " sullil doi:c (le |)rouver f[ue P„ P„+i ne coupe pas 
Q/nQ/n+i- * ^'' 1\, ''«t^i f'^t intérieur au groujjc des Irois |)reiniers 
chaînons de G„, donc au groupe des trois premiers de ("r„. De mènu' 
Q;n Qm+i ^'^^ intérieur au groupe des Irois derniers ciiaînoiis de G,,. 
Comme G„ a au moins sept chaînons, ces arcs ne se cmipenl pas. 

3° Les coordonnées d'un point M de C' sont fonctions continues 
du paramètre qui fixe la position du point m correspondant sur c'. 



I. iiomkomoupiiif: de nKi:\ i-ir,i iiks et hk leius voisinages. 2/47 
- ■ Ceci fst maniIVsIc si /// iTcsl ni en a ni en h. Il ^\\\]\\ donf de 
|ii(iiiv('i' qu'étant doiiiir II (in |)inl Iroiivcr /( Ici (pic nni <^ h 
cnliainc A M ■< II. I*iiui' cila icmarquoiis que P„ P,,^, clanl inh'- 
vicur an i^rdupc des Irnis prcniiors chaînons de G,,, il cii csl de 
mcinc |)()Ui' loul l'arc AI*,,, (le groupe a un diajnclrc inléricur à 
10 £„. l'i'cnons n assez grand |)nnr ((ne t(i-„<^ II. Il snllira aidrs 
(je (irendre II <^ (iji,i |>(inr ri'ahser les (■(indil i(jns ini|His('es. 

('.' (''lanl ainsi cdnslrnile, la |iri i|i(isil i(jn (''ndnci'e an n" 17 se 
I l'dU\'e ('■lal)lie. 

\ . — Généralisations et applications. 

21. Des l'ails que nous vouons d'établir résulte iniinédiatompnt 
la propriété suivante : si une circonférence (nu un se<;nienl ile droite) 
}>ossè(le dans son plan e une certaine propriété i/ui se conserve quand 
on fait une représentation hiunii'oipie et continue du plan e sur un 
autre plan, celte propriété est aussi vérifiée dans son plan par une 
courhe de Jordan (' fermée (ini ouverte) sans point nialliple. 

( )n en déduil, en |)arl ieuiier. le théorème de M. d(a-dan : 

l ne courbe de Jordan lernu'e sans point multiple partage son 
plan en deux régions, une région intérieure bornée et une région 
extérieure non bornée. Deux ])oints d'une même région peuvent 
être joints par une ligne continue ne eoupant pas la courbe; deux 
jioiuls, plis chacun dans une région différente, ne peuvent jnis èlre 
joinis par nue telle ligne. 1 .a combe est frontière de ciiacune des 
régions, (.es |)i(jpriél es soni en ell'el \raies pour une circ(nirérence 
( I se consii\cnl dans la l'cpiésentation indi(piée. 

De même, nn arc de Joi'dan sans point multiple ne pailage pas 
; on plan en régions : deux points (pielcon(pM's non silnés sur l'ai'c 
peu\('nl êlre joints par une ligne conlinne ne le coupani |)as. 

l'ne courhe de .inrdan (fermée ou non) sans point multiple ne 
remplit aucun doinaine. Siippos(ms, en ell'el. (pic lu courbe (! rem- 
plisse un domaine cl s(mI M nn poini inlêiicur à i'r diuiiainc. Il 
existe une circonh'rence de centre iM e| de raytui II doiil l'intérieui' 
appartieni à (.. laisons une représentalion du plan de (". sur le plan 
d'une circonierenee ou d'un segmeni île d'oile e| soil //( l'iuuuo- 

Joiirn. (/,■ M, ah. (S- ^i-vu-). I..nii- l\ , l'.i». , III. ,,,ji. 'n. 



2/|8 I.OriS ANTOINE. 

Iciniic (!<■ M. Il CMSl (■ Il II Ilull|])rc // Ici (|l|c III II <^ // Clll lilîlll' Ml' <^ II. 

1 nul ! 111 léii Clll- (II' i;i cindiiliTciici' (le cciil I (■ //( cl (le ra\ un h ;i|i|iai- 
tiondrait (l<mc à c. ce ((iii n isl pas. 

Enfin, tou/ point M d une courbe C .sans point multiple est iicces- 
sible, c'est-à-dire i[u"il existe. nne li<ine jjolygonale dont les sonunets 
ont M pour seul point limite et ipii iir Icnrlir C ([n'eu .M. l'aisons 
la mèjne rejirésenlalion et menons par m un scLiinciil de droilt- 
n'ay;in1 (pic ce pdinl en coinniun a\ec c. 1. h(iiniilnc)ii(' de ce se<r- 
nienl sera la lliiiie clicrcli(''c. Idnl scl;iiicii| (\i- celle limie (pii ne 
cniitient pas m se I raiis lornie en ellil en une liL;i)e pcilyijoiiale ayant 
un nombre iini de sommets, puisque tlans loute réo;ion ne conte- 
nant pas de points des eourlx-s la eorresjxindance se décompose 
en un iiiiriil)ic liiii de cuiicspdiidaiices hmiKiiiiapliHpies. 

22. \(iici une iréiieralisaliiiii à pliisiciii-- ccuiilic-.. l'.lic ri'siillc 
de lu reiiiarcpic siii\ aiil e : 

Etant donii'' ihiiis un pluii un nmiilire fini de (ouilie.s .sun,s 
point iiiulliph' et sans point cinninun. on peut enfenner cinuiine 
dnnx un ou deii.i eonlours p(di/i;on<tu.v. Min^nnl ipi elle e.sl oin'eiie 
ou feiinée, de jiieon ipie si une vouilie (!, est intérieure à une courbe C.,, 
les j)ohji;ones ipii eiip'niient C, soient inférieurs à ceux ipii enfer- 
ment C.,- Je <liiai ipic rr.v poli/<:ones mit même disposition que les 
courbes. 

Soit î un iKuidirc iidV'rieur à I écart des cdurhes. Il suilil d en- 
fermer chaque courlie dans une chaîne régulière ouverte ou fermée, 
suivant sa iialuie. et doni chaipie chaînon ait un diamètre inférieur 

à -ô. Tout point mlérieui- à iiiie des chaînes a, a\ ce la cdiiihe cor- 

res])ondanlc, MU l'caii iidï-iiein- à -i i^). La propriété en lésulte 

de suite. 

Soient, dans un plan \\. un nombre fini de cmirbes (',,(',0 (".„ 

sans point iiiiilliple et siin.s point commun (lermées ou non:. Soient, 
dans un plan e, un même nombre de courbes c,,c... . . .,c„ de même 

(*) Ceci a «Mr (lômoiilrô pour une rniirlu' ffriiiér :n'^ 14 . I.;i «Iriiicni-^lralinii sciail 
la iik'iup ))oiir iiilP rriiirbc rnivfrlc. 



I.IIOMKOMOED'IIIK liK lil.l \ ll(;i KES KT I>K LELIIS Vr)IsrNAGES. 249 

luilurc. .le .sujijKi.sc ijiw les ciiuiIicn (",,. c, son! toutes deux ouvertex 
ou toutes (Iru.i /eniircs. Je suppose de plus <pu' ces courbes ont ht 
iiièiiic disposition, c est-à-ilire. par exemple, ipie si (",, est intérieure 
à C.j. 1 1 seni intérieure à e.,. de dis i/ue je peux établir entre M et e une 
correspondance ipii jusse coircspomlrc les cinn lies de même indice. 

.Je |)('iix iiir liuiiKT ;iii i;is (m'i Ic> ci m ilics r -diil di'- carrf'S OU (les 
scnnii'llls (le dliilh'. l'.n Ici'llliiMS les cniirlirN (. il lc> cniiiln-^ c i|;ili'~ 
les (•(iiilniiis |)nl\ nciiiaiix iihIii|im"^ ;iii drliiil ilr rc iiiiiiiciii. 

('.(Misi(l(''riilis (I ;ilini'(l iinr riiiiiiii' Ici-liK'c C. r n I iTliii'c daii^ IIIH' 
(■liiiiiic ("r„ imnh'i' par di-iix ((iiildin^ \.„. 1,^ ri la cniirhc r(n-i'(-s|Mii;- 
diinlc c (■Mlriini''c di' riiriin' dans une clianii' :,'„ liniih'c par /„. /„. .le 
sii|i|inscrai. (|iiil I c à rhaiii^cr / l'ii i / pnii r r, (lue st I un dcrial L„ 

l'n l'i'nninl lanl snrrcssixi'nicn I li's rliaînmis { \] . \-i i//; cl si 

I lin diMiil /„ de la nirnir lanm, les srns i|r nilalnin muiI les iiir-nics 
piinr 1rs driix plans 1^ cl c. .rr^laldis alnrs rnirr (r„ ri :.'„ la currcs- 
p 1 1 n d a n r r du n " I ,"» . 

Snppiisnns nianilrnanl C. r| < iin\rrtrs. Snirnl I. rl / le- ronlnins 
(pu 1rs rnirrnirni. .)r Irrnir ( '. par lin aie ('.' inir'iirur à 1, rl c par 
nii nniliinr < ipir y |irn\ an--i -n|)piisrr rl rr un rarri'. à niudiliun 
dr pirndrr c assr/. prlil. .Ir suis lainrnr an ras pri'-ri'drnl . 1rs pn- 
lyjiiinrs I, rl / jiiiianl Ir rùlr Av<. iiinluurs I. r| / du n" l.'. Punr 

a\nn- riunnir lunl à I llrnrr Ir inriur si'lis {\{- drsril pi uni sui' I ,■ r| /, 
\\ nr srra |ias m'crs-airr i\r rlian^rr Ar parainrirr pniir i . \\ snilira, 
SI r r-l m'-ressa irr. '.\v irin plarrr r' par siin s\ iim'I m pir | lar rappnil 
à la driiilr r. 

I .rs pnrliiins du plan ipii rrsinil smil alms ilrs diiinaiiirs pnlvgt)- 
iianx driix à drn\ Av inr-nir rnnnrxiir' rl liinih'-s |iar (1rs rinilnm-s 
sr rdiirspiiiidanl a\rr dis sens Ar d rsrri pi n m n nin nda n I s. |*ai- 
I ad piiirl mil (Ir lignes iiin\ ma lilr mrn I rlimsirs nniiinr il a rli'' 
lail an n" l.~. p' 1rs rainrnr à dis piil\ r i mis anxipirl- | applnpir la 
riilirspiinda lire du 11" I. ce (pu (''laiilll la priipi isi I li m . 

Imi paiiiridirr. si les (Dinlies ( . c/ i soiil hiules oih'crtes. mi pourra 
ainsi étend ic à la loi al i lé des di'a.r plans Imite correspianlanee entre 
ri-s (laiilii's. pnisipir. dan-- ir ra-. iiiiiis n avnii-- pa- c'Ii' ulilliiV d<' 
rliaiiLiri t\f parainriir. Il puiirra nr plus ru rirr i\r iiu'uir si ccr- 
laillrs drs rdiirlirs siiiil Iriincrs rl I nu nr pcinira ilrndrr ([lie i_'rr- 



25o LOUIS ANTOINK. 

laines correspondances, mais il en existe toujours de cette sorte. 
Si les courbes n'ont pas même disposition, l'extension est encore 
possible à un voisinage (l'intérieur des chaînes construites par 
exemple), mais ne peut pas s'étendre à la totalité des plans. Suppo- 
sons par exemple C. intérieure à C, et c, extérieure à c, et admettons 
que la correspondance entre ces courbes s'étende à la totalité des 
plans E et e. Soient M et m deux ])oints homologues sur C^ et c.,. 
Soient P, p deux points homologues (juelconques. La distance 
)np ^= h (P) est fonction continue des coordonnées de P. Définis- 
sons cette fonction pour toutes les positions de P intérieuies à C, 
ou sur C|. Ce domaine étant borné et fermé, h (P) a un maximum // 
lini. Si nip > /;, P sera extérieur à C,. Ur dans la région non bornée 
qui contient c^, il y a des points p qui peuvent être joints à m par 
un chemin ne coupant pas c, et tels que mp > h. Le point P homo- 
logxie serait donc extérieur à C,. Ceci est impossible puiscpie Ihomo- 
logue du chemin mp joindrait M et P sans couper C,. 

23. Je me borne à énoncer la généralisai nui sui\aiil<' dunl la 
démonstration est immédiate. 

Soit dans E u)ie infinité dénombrable de courbes sans j)oiuL com- 
mun C|, C2, ..., C„, .... el dans e une inlinllé dénombrable de 
courbes c,, c,, . . ., c„, .... Su|)posons (jue C„ soit extérieure à uih; 
circonférence de centre (_) et de rayon R„ et c„ cxléricurc à une 
circonférence de centre o et de rayon ;„. SujipdSdiis que H„ cl ;„ 
croissent indéliniment avec n. On pourra étendre la ((nrcspdn- 
dance entre les courbes C et c dans les cas suivants : 

1° Les couil)es C et c sont Idulcs ouxcrles: 

2° Les courbes C cl c Sdiil toiilcs IciJiiécs et cxlérirnns les unes 
aux autres ; 

3° Les courlics C et c sont lermécs. C„ esl inli'iicnrc à C,,.,., cl C„ 
est inléiicurc à c,,^ , (|ncl (|uc seul //. 

24. Si C el c sont deux courbes de Jordan ayant (li'> points mul- 
tiples et h(unéonu)rphes. leur citrrespondancc |mii1, selon les cas, 
s'étendre à tout le plan, s'étendre seuicmeni à leurs \disuuigcs. 



i.'itoMKoMniiiMiiK i>F'; iiii \ iii;i iu:s 1:1 i>k i.kiiis voisinai. ks. 25i 
ou irirmi' ne |)i'ul s'(''t,i'ii(li'(; à aiuiiii Miisinayr. Vnici deux cxi'iiiijli's 
(le CCS (Ici'iiicrs cas. 

l'icniici cdcitiplc. ('. csl c()i)s|]|ii('' par une circmi li''ic!n;c T et 

])ai' deux scij;iuciiIs de drulle (1, ('.. (Ali, cl All.j a\aiiL uiif exlré- 
luilé ((uiiinuiie A sur V cl cxiciieins à F. c est constitué de niêiiic, 
mais les deux segiuculs e,, c, soiil iulcricurs à 7 ifig. b). (! et c sont 





li(iiiiénui(iij)Iies et il cxislc une cul lespondauce entre ces aii's <|ui 
sclend à leurs voisinages. Je dis (|u"il n'existe pas de coii('S[)oii- 
dancc entre (1 cl c s'élendant à loul le |)lan. Line telle coircspoii- 
dance doit d'abord l'aire coirespondre les seuls points multiples A 
et a et aussi les points frontières, B, avec h^ par exemple et \^. 
avi'c h... Elle leia donc cori'cs|)oiidre 1" cl 7, (', el c,, C,g cl c... Soil I 
une poriloii de ('/, ne conlcnant pas A, donc exlérieure à 1". Il lui 
corresjiond une poLlinn y' di' e,, donc inltMieure à y. Pai' suite y 
et r' n'ont pas même disposition ({ue y <'t 7'. '*u ne |ieul donc i)as 
étendre leur correspondanee à tout le plan (ii°'22j. On ne peut donc 
])as éleiidre à loul le plan la correspondance eiilre C et C. 

DcuxLcine exemple. Les courbes C et c sont constituées de la 
même manière, saul' <|uc (1. est intérieure à F {fi<^. G). Une eorres- 
poiidaiice eiili'c C. cl (; ne peul s'cleudre à aucun \disinage. Sup- 
posons (piil existe une correspondance enire (] el c pouvant 
s'étendre à leuis voisinages. \'A\r lera coi r<'S|)ondfc. comme loul a 
l'hcMirc. r el y. C, cl c,. C, el (■_,, A cl (/. B, el II,. 15, el h... Il existe 
une circoulcrcnce y, de centre </. coupani c, l'i c, en des poinis <l , 
et (1.2 et apparlenanl au Ndisniage de c aui[ncl pcul s éteiulrc la 



25-2 LOUIS ANTOINE. 

coiTespoudance. Soil y' Farc (/, d, df y, <|in ne ((mijm' pas y. Il ddit 
lui correspondre un are I'' ne eoiijjani pas T d juii^^nanl un point I). 





de C]| à un jMiinl 1)^ de C\.. Mais ceci csl iiiip(issil)lc juiiscpic C, est 
extérieur cl (]., lirlérieur à l\ 



2«>. Cidiiiiiic :i |j|ili(';(l mil ili' la pid |ii'i(''l i' dii ii"2'2 iinii> di m ihtiius 
les priipiii''! l's ~iii\ aiihs. ((III iniiis sci \ iiniil siaisi'nl : 

I iii;oui"Mi;. Soii'til. (hiiis itii i>hni i'I, deii.i courbes jertnées sans 
jniiiil iiiullijilc ('.„, (',, inli'i it'incs à inii' iiu'iiic cnurhc jcrmt't' sitns 
jKjiiil iniilliiih' (" ('/ //(' 1(1 louchinil pas. On jivul juissrr île (!„ à (",, par 
une (h''jiiiiiiiihiin liiniit'Diiiuiiihf iJc V. n nlléninl i/uc I i n/i'-n ciir <lc ('. . 

l'ar di'lipriiia I K m hniin'i iiiii n plir I un csiiàcr nu d iiiif Narii'l'' \, 

d la II I rul rildl'i' les dl'l ( illlia I le IIIS inn I lllllcs de \ au Cl lins dcsi pi ri hs 
des pnuils dislliicis de \ irsicul dlsliiicls. 

Suppiisdiis d'alinid (pic (1,1 cl (]| ne se Idiii licnl pas cl (pic (]j 
csl lu I l'iiciii !■ à (.,,. Niiiis pciuNdiis aldis laiic nue l'cpii'seu I a I idii 
de E sur un plan c de lacdii ipic les ji-dis ediiihcs (.. (.,,. (., sdieiil 
rcpi(''senl l'cs pal- I l'dis ciicdnl('iciiecs (•.(■„,(|, avaiil iik" me ccul ri' n ; 
c, (''laiil inha-iciiri' à r„ cl („ iii I (''ilcurc à c {\\"*1*1) iji'J. 7*. Il siillil 
aldis de pri)U\(i' la piissilil II I ('• de la diddinialmn iiidi(pii''c pdui' les 
cdililies du [ilaii c. .\dii^ alldii^ didinir celle ihddi ma I mii. 

Ndiis I iidnpicrdiis les di\cis sladcs de l;i ih'ddi ma I mu par le- 
dlIViM-eiil es \aleurs d'un parainèlre \arianl de (• à i, la \alcur o 
eorrespondant au stade initial cl la \aleur i au stade liiial. 



I. IIOMKOMOHPUIF. I)K DKl X KlfUHI'S KT DK I.EIIIS V()ISI>\r,ES . 253 

Sdil'lll //(„ llll |jiiilil (|r f„ il li( ^ le |inili| (il'l Iji ( li'll I i-( I |i li I c 0///„ cmii p.- c, . 

l'iiNI- le s|;i(lc ll(lll■^ |M rn(|iii|i> jinill I lidlr Ioiiim'' (le in„ le puilil la 

I I iniii„ , . . . . 

(In scuiuciil iii„iii Ici (juc = 'J. ^(iil I),, lin iMiinl (inclciiiniin; 

' iii„/n, i " \ 1 1 

il'' I nilriicur i|i' r. I.,i liciiil-droil (• o/;„ cnuiic r„ en \i\\ |miiiiI //(„. c, 




fil II II ]iniiii ///, !•! r en II II |iiiiiii ij. Si /)„ csl m | l'c (y cl /;(„. jp ])renilrai 
liniir iiiiMliiiii (le /)„ an -hnli' le ihhiiI ii de (h/ tel (nio -^ = — —, 

711 l'iaiil le |ii>ii:l iliMiiii |ii(''ii''(leiiniiiiil . Si /)„ csl ciilrc o cl /«„, y 

. I ijii ma , . ■ r \ 

pieiiiliai ;; Ici (ine - — = (hiaiid (Hi lail xaiier de oa i, 

' ' p„o ni„<) ' 

l'iiitt'rieni de r -e d(''roriiie ti celle di'luinial inii réalist> iiianifoslc- 
monl les eiindit unis iin|)osécs. 

Si C, n'est pas intérieur à C„, ikhis nous ramènerons à co ras 
en ])assan1 par rintcrinédiaiie d'une cnurhe (>' (dnnt nous allons 
]iriinver I cxisteine . iiilcricuie à (". cl ayant C„ cl C, à son inté- 
rieur. (lii diddiineia d âiiord l'intérieur (\t- C. de i'açon à amener (.".„ 
siii C' . puis de lacdii à amener C sur (],. Pniir prouver rexislenc(> 
(II- (.'. laisiiiis une 1 I |ii(''seiila I inii de V. sur un plan c de liu'ini t|ue C. 
soil rcpi r'senl ('■!■ pai nue cncnnlcience c. (1„ cl (1, siml alms repré- 
senlées ])ar deux ((iiiilies c„, r, ne loiiidianl |ias c. (les cnuriics <nil 
nn Cl -a il m m nul a\ ce c: dnne un pciil ci mis I ru ire une iirconiérc'nce c' 
(•niiccnl riipii' à V. int ('licure à r cl ayant c„ et c, à son intérieur. 
I /iniaue de < ' e-l la eiillllic ('.' ( liendlc'c. I .c | liéorèuic est (lémOMlré. 



254 LOUIS ANTOINE. 

26. La même propriété a lieu si les courbes C„, C, sont oui'ertes. 
Si C„ et C, ne se coupent pas, nous forons la représentation de E 
sur un plan e de faeon cpie C soit représentée par une circonférence c, 
C„, C, par deux arcs de circonférences c„, c, ayant même centre 
que c et honiothétiques ])ar rajjport à ce centre. Si nous com- 
])létons les circonférences c„. c, cl tpie nous fassions la déforma- 
tion du plan e indiquée au numéro précédent, elle réalisera les 
conditions exigées. 

Si C„ et C, se coupent, nous passerons par Tintcrmédiaire d'un 
arc C jnlcrjcur à C et ne coupant ni C„ ni C,. Un Ici arc existe, 
puis(pie ni C„ ni C,, ni par suite leur cnsemlile, ne |)cuveiil reni|)lif 
rinlérieur de C. 

27. Soient dans un plan E une courbe fermée sans point mul- 
tiple C et deux courbes oui'ertes sans point multiple C„, C, intérieures 
à C, sauf leurs extrémités A, B qui leur sont communes et qui appar- 
tiennent à C. On peut ])asser de C„ à C, par une déformation homéo- 
nuirplte de E n alléiaiil (pie I nilérieur de (]. 

Désignons par F. 1"' les deux arcs de C déterminés par A e| B. 
Sup23osons d'abord que C„ et C, nOnt en commun (pic leurs extré- 
mités A et B. I/intérieur de C est divisé en trois régions ayant 
respectivement pour IVontières les courbes Y -\- C„, (]„ -|- C,, C, -)- F'. 
Considérons dans un jdan e une circonférence c sur laquelle nous 
marquons deux ])oints diamétralement opposés ab. Joignons ces 
])oints à l'intérieur de c par deux arcs de cercle c,,, c,. Appelons y, y' 
les deux arcs de c déterminés par a et b {fig- 8). L'iiili'rieur de c csl, 
]iartagé en trois régions ayaiil ])our Irniilières respccli\-es y,, + r„, 
£■„ + f|, c, + y', l'aisdiis une re|)i-(''seiilal mii de I'] sur e laisaiit cor- 
respondre F„ -(- C„ à Y+ c„, .V cl a, B et b et conservons de cette 
représentation ce tpii concerne les intérieurs de ces courbes. Faisons 
(le HK^'ine |iour ]!■'■ (■(juiIics (]„ l-C.,. r„ + c,, en a\anl soin (pie la 
corres|iiiii(laiicc cnlrc ('.„ cl r„ ^oil la iiièinc (|iii' ii'llc olilciiiie dans 
la corrcsj)(ui(laiicc |)n''(é(lenl c. En lin opcroïc- de niciiic iioiirC, -|- I'' 
cl r, 4" v' avec hi. même j)récaulion pour (], <,. Il ne nous rcsl(! 
|ilii> (pià déformer l'intérieur de < de la(;on à ainener c„ sur c,. 



I. iioMiMiMoiiPuri: nK iii;rx FrdLMiEs i:t dk i.kiiis voisin v*;i:>^. 25.'> 

Il in i(''siill (la la (liMminat nui (■lniih(''c. 1 ,a ilôlninial imi (!i- jliili'— 
ririii' (If (• s"(il)l iciidia |iar un |)iijri''(l('' analnnuc à relui du n° 2o. 
Jl sulliia (le fane (h'Miiic à fha(|ii(' ]i(iuil uni' portion de la |iorpcn- 
diculauc au diainètic ab el d'éci'iic les luèriics égalités où los 




points o 01 (/ auraient été remplacés par les deux points de ren- 
contre do cette perpendiculaire avec c. 

Si (]„. (!, se coupent, d nie sullira do passer par linlerinédiaire 
d'un arc (.' d'exl !énut(''s A,IÎ, intéiicur à (", et ne InuclianI C,,, (",, 
iprcu A cl li. I'r(ju\(iiis rexislcucc d'uu id arc. 

Pour cela, Taisons une représontaliun de K sur un plan c de façon 
que C soit représentée par une circonférence c. C„ C, sont alors 
ro])résentées par deux arcs de Jordan t„. i-, almul issani aux deux 
])oinls a, h homoluj^ucs Av \, li. l'aila^cnns Tun des arcs aJ) di' c en 
dt'\\\ paihes éoahs |iai' uu |Miinl ///„. l'arla^cnus l'arc (iin„ en deux 
jiariic-; ('-nales pai un |iiiinl ///„. Laie m,, m, a un c'carl ncui nul 
avec r'„ cl r,. < )n pciil dcuic cuushuu'i' un air /'„'/, cnncculri<pii' 
à ///„///, cl lionidl lii'l npic cl ni' rcncunlianl ni r,, m r,. Il en scia 
de incinc i\rs pnilinn^ i\(' ra\ nii- //'„/'„ cl ///, ij^. h'inie racmi i^i'-né- 
l'alc. je pari aij'ciai I :wr rini „_, en deux pail les (''o-alcs par uu pi uni //;„ 
cl jeu déduis un aie hnniiit licl npic et cnuccnl ri(pie à i)i„_,ni„, 
snil /)„ I r/„, (]ui ne ciiu|ic pas c„ cl r,. ,1c lais les uiciiies construc- 
tions pour I arc l>in„. La courbe c', somme des arcs /j„_, q„ cl des 
seoiuenls reci ilioiies /'„.'/„, réalise les conditions exigéos. !.(> llu'-n- 
rènie esl démnnt II'. 

Jourit. de Malk. ( ^- si'ile \ linnr I\.— I.i- . 111. dm. *>^ 



l'-iO I.oriS ANTnI>K. 

Ro]iiai(|iMiiis ([lie (•(itnriii' coiirlic ini xiliairc C nous [xiiiNdiis 
])i('ii(lrc iiiir liLiiii' |Mil\ <i(iii;(l(' (InnI I ciiscmlplc îles sniiiiiicls a piuir 
seuls |i(iiiils liliillc: les |i(iiiil^ A ci l>. Il siillil ([iill cil soil de lucnic 
Jidlir (■'. i>.'l (-(in'c; poinlaiiec cilll'c 1*", cl c se (l(''C()in|)(ise en ellcl cil 
un iininhrc liiii de cni-rc? |i(iiidaiiccs h(iiiMiL;i'a|ihi(|nes pdur loule 
légioji (|ui 111' c()]i lieu I pa^ de |i(iliils de ( '. nu c (n" Kîj. ( )r. mi | ici il 
nianilcstoincnl jirondrc [Miiir <' une lelle lionc; || siillil de rciu- 
placci- les ares />„_,, q,, par dc^^ hunes polviionales \'(iisiiies. 



CHAPIir.i: II. 

I.RS COllini'S IIF JllIlDAN DANS l/nSPATi: A TliOlS KIMENSIONS. 

I. — Remarques sur les variétés enlacées et les surfaces 
simplement connexes. 

28. .rainai à iililiser, dans ce (Ihapilrc cl dans le (lliapil rc III 
de la dciixicnie Pallie, ccriaincs pr(i|)ri(''lcs des cmirhcs enlacées 
l'clativeinenl aux surlaccs sini|)leiiienL cDiiiiexes. tics pruprii-lés 
se généralisent à un espace (|uelconqiie; je vais les établir dans 
toute leur généralité. Je rappellerai d'abord les définitions et les 
propriétés des variétés enlacées, données par M. î.ebesgue (^) cl 
])ar M. Brouwer (^). 

T. a nohon d(> variétés cnlKcécs a ('le inlrodiiilc par M. Lcbcs^iie, 
<pii la ulilisi'c pour dénnnil rer <prnnc xarii'l ('■ Icrnicc à // - r 
dirncnsKiiis pailage en régions l'espace à // diincnsions. l'ai \()ici la 
(lélinilioti : Soient dans l'espace à p + </ + i dinicnsidus d<'iix \ a- 
riétés fermées ']'^„ 'ï^ à p et q dimensions. Ces variétés sont enlacées 
si, ti, et 1,1 étant deux \'ai'iétés polygonales Ires voisines de T^, cl 
de 1,^ l'I leur c(iri'csp(uida ni . au ciMirs de la didiirnia I nui cduliniii' 
rcduisaiil /^,. par exemple, à un pninl iiiui siIik'' sur /,^, il y a un 
iiDiiibre impair de lra\ l'rsi'c^ de /,^ par /^,. 



(') H. IjF.iiF.sci-r:, C. H. Acod. .Se, 'Paris, 9.7 mars 1911. 

(^) Bnoewi-Fi, On hiaping coefficients (Konhikililxr .\t;<iilriiiic fun W'clcusrhiijtpi-n 
te AinHcnliiiii, i.'i juin M)I ',, pages iiii-iîîi). 



I. ii(iMi,(iMciiii'iiii-. iPi, iii:i x n<,i mes KT LIE i.i;i its voisiNAfiKs. 207 

-M. HroiiwiT ;i ii|)iis ictic (If'-iiiiilioii cl a déliiii en iiièiin" Içjiijn 
xm iKiiiihic en I ICI (lit KM'IJuicnl iVcnlareinent des «Icux vai'iétés. 
ba Aalrin- alxdliic ne (l('|)(ii<l (|iic do \ arlt'-lrs. Le signe dc|)('nd de 
la driiiiilhiii du sens jinsltil sur cliaciuc vanôlc- (^) cl Af rnrdrc 
ilaiis I((|imI (Ml les criiisidèri'. I,ps variétés enlacées, d"a|ii-ès la déli- 
iiiliDii de .\[. i.cjiisoiic. mil Mil ((iclliciciii d'fiilacriiicni iiii|)aii-. 

*i{). Sdicnl ^ ;,. \ „,/,_, deux vai-iélés leriuées à li et /( h \ di- 
luensiuiis dans I is|iace K„ à /; dimensions. \]. Hinuwrr d('ninnlrc 
^'11' l'iii' «(.illicinil d ciilarijiKiii les piiipriétés suivantes que nous 
pnu\(iiis ])i(iidii' j)i>ui' diWinilidii de ce coellicienl . 

Le coellicienl d cnlaccincnl ne change pas si Inii di'lornie de 
iaeon cdiiliniic 1 mie d'elles sans loucher raulic II ne idiange pas 
i'"ii plus si I lin rcmplaee chaque variété par une \ariété polvgo- 
l'alc lui c(nrcspiin(lanl cl lies \nisinc. ( )n pcul |ncclscr les nuils 
li-t'\ \'iiisnu's cil disan( ipic lis |Miinls hnniiilnnucs nul une dislaucc 
inliMicurc à hi innitii' ^\i^ l'iM-ail des deux xariidés. 

Ptiui' le calcul du coellicienl d"enlacenienl, il mais sullira dnne 
dé considérer deux variétés polygonales ç,^^ ^'„ /,_,. Construisons 
une calotte v,,^,, de variété polygmiale à n — h dimensions ayant 
])our Inuitièro v,^ ,, ,. Choisissons »•„ ,, de lat^-on ipie (ce qui est 
loujuuvs possihh'', s'i, cl i'„ ;, n'aicnl i|iriin mnidire lini de puiiils 
communs, c,, d c„ ,, étant dccum|MiSi'.es en l.'l lat'^di uides. uous 
snp|)nsci-iins eu nulle i|ue ces piiiiiK iTappai I ieii iien I pas à leurs 
Irnntièrcs. Snil //( uii puinl cnmniun inir-rleiii aux deux télraé- 
drnïdcs /;, cl /„_,.,. c, cl c„ ,, , cl par suile c„_,, T'Ianl orientées, 
ces télraédroïdes le son! . Il en n'-sullc un nrdie puiir Icui's sunnnets. 

Soient (/„, a,,(i., <i,, cl />„, //,. //_, //,, ees nrdres. Menons ]iar (» 

les vecteurs ().\,. OA, ()A„. (>H,. ( >R, <»}}„_,, équipol- 

IcnU à (/„</,. ,/„^r, //„ // //„ /y„_/,. Si le lélraédn.ïde à 

n dinicn-iuns de s,,,nii,c|s (>A,. A, A/„ ii,. IL, . . .. Iî„ ,, d.uil 

les snmmels son! pris dans cet oi'dr(>. oi-iente l'espace comme les 



' l.i- \;uii-li'-s (liiiil il M.i:i .|iii-.|l,,ii v.Mil IniiiMiii-. Iilhilrn's. ('."est :'i o-llc sriili; 
tiiiidiliuM iiu'iiii |iriU (Jéliiiii sur l'Ilrs un vins iinsllif. 



208 



Loiis a>toim; 



axes tic (•(i()r(lniin(''cs. nous iliiniis (|iic C/, lia\i'rsc ]iiisi(i\ cum'hI (•■„_/, 
eu ni el iiuus rcpiéseiiterdiis coLti' li'a\'('isé(' par le iioiiiljir + i. 
Si les; orientations sont inverses, nous aurons une traveisée néga- 
tive représentée par — i. Le coellieient d'enlacement est la ionmic 
algébrique de ces nombres ])o\iv tous les points tels que m. 

Envisageons une dclorniation cnnlmui- di' C/, réduisant V/, à un 
point non situé sui' r„ /,^ ,. Un iléliuit de même un nondjrc a'icclé 
à chaque ])oiirl de traversée de v„_i,^ par C/, au cours de la dél'or- 
malion. Sa déiinilion l'ait intervenir les tétraédroïdes qui se 
louchent et le ^■ccteur rejirésentant le déplacement du point cdiu- 
nnin. Un démontre encore que le coellieient d'enlacenrent est la 
somme algébrique de ces nombj'es. Ceci n'est pas autre chose que 
la définition de M. Lebesgue. 

Si 1 On peut ri'dujre lune des variétés à zéio en coiqiaut I autre 
un nnnd)ic !ini de luis, on si une calotte limitée par l'une cnnpi' 
1 autre en un nombre lini de points, il ne sera i)as nécessaire de 
laire appel à des variétés polygonales : ces points, en nondire fini, 
permettront de caliulcr le cdrilicicnl d'enlacement. \in |iarli- 
culier, si l'on peut réduire liine des \ariétés à un point non situé 
sur l'autre sans couper celle-ci, les deux variétés ne sont pas 
enlacées. 

50. SlIiFACIiS SIMPLIFIENT CONNEXES DEI.'eSPACE A /( UIMIN- 

sioNS. — Un a|)])elle ainai une variété l'ermée lioméomorphe à une 
hypersphère an — i dimensions. Elle peut donc être regardée 
comme constituée de deux éléments de surface et est iioinéo- 
morphe à la frontière d'un tétraédroïde à n dimensions. ( )n appelle 
culotte simplement connexe dans le même espace une variété inui 
l'ermée à 7î - 1 dimensions constituée par un seul élément. l'^lle 
csl hnuH'i'iii(ir|ilie à un I ('■! raédroïde à /* i diinensious. ou encore 
à une <ienii-hypei s|ilicre à // i dimen-ions, ou eneoie à uni- 
hypersphèiw à /; 2 diinensions de res|)ace à /( i diinensKuis cl 
à son intérieur. 

Soit S une surlai'c simpleinenl connexe de l'espace M,,. Etant 
hoinéoniorplie à une Inpeisplière 1 à // i dimensions di' cet 



l.'lKtMlidMiiUl'Hll-. IIK IlKlX IKillil.S KT HIC I.KllIS \ Ol Si >' Ai; KS . 20Ç) 

ispacc, je |i('iix .supj)ips(r ('■l;ililir iiiif («il rf>-|)()ii(l;iii(i' lmiinv(jqu<; 
cl Cdiitiiiiic cnti'e S et 1. l'niii ('liHlicr les [iropi-iélés de S, il sera 
(■(iimiiodc (le délinir les lélraédroïdes spliérii{ues de 1. 

Soit'iil a, 3 deux points dv 1 ikih en Ii^ik' di'oitc a\'('c le centre < ). 
I.cs points (), a, 3 (Iclcnnjiicnl mi |)lan à dcnx diini'nsion< ([ui 
conpc 1 suivant niic li\ |m rsfdicrc 1, à une dimension (circonlé- 
rencc'i. a, [i partagi'nl 1, iii deux pailles, .j'appelle le télraédroïdc 
spliérique à une dimension de sonuuets a, 3, I arc de -, limité |)ar 
ces points et inférieur à la moitié de S,. 

Supposons délinis les léiraédroïdes sphériques jusqu'à la dimen- 
sion /( — ]. Soient oc, !ii, ..., X, h -{- i points de X non dans un 
même plan à /( dimensicjns avec O. Ces points et le point (J délini- 
nissent un pian à /( + i dimensions qui coujje ï .-uivant une 

liypersj)hère X/, à /( dimensions. Les /( + x ])oinls a, fi /. 

pcuNrnt Rdiner /i -f i <rroupes de /( points, chaque orouj)e délinis- 
saiil un télraédroïdc sphéri([ue à It - i dimensions. Ces h -r i lé- 
1 1 a(''d!()ïdcs lormciii une xané'h'' reinice ^aus |)<iinl midtqdc a 
/( ] dijuensions (|ul paita^f 1/, en ileux réiiions. ,J aj)]peile 
Iciraédruiilc .■^pliéïKjnc à h iltiiicnsiuns de soiiinu'I.s a, [3, .... A celle 
lies régions de 1/, inlericiirc à la moitié de 1/,. Ces déliniti(Uis sont 
valables jusipic /( ^ ii i. 

.l'en déduis la déliiiilloii de Vrlriin-iil à h di incusiun.s de S a^alll 

pour sommels /( + i points A. H L. .J'appelie ainsi le corres- 

|Hiiidaiil sur S du t l'Iiai'droïde spliéricpie à // (limciisions de ï (pii 
a pour sommets les points a, [i, . . .. /. homologues de A. 15, . . ., C 

31. Tniïoitr.ME. Eldnl dniuir un nombre A,, // existe un 

nonihie i, tel que loul tdéineiil à h iliiiiensiuns d'une surface simple- 
ment connexe S. dont les somnn-ts ont des écarts mutuels inférieurs 
à £,, suit intérieur à uue lijipersphère à n i dimensions de rai/on A,. 

I.cs lonclions qui d(''rmissi>nl la correspondance de S et — S(Uit 
(iMiliiiuis et di'linies sur des eii.emhics lermés, diuic uniformémeiil 
eonlinues. l*ar suite, à A, je peux l'aire correspondre r, tel que a3 < "/] 
enlraîne AB<;A,. De même, à rj je peux l'aire correspondre î, lel 
([uetM)<:, enlraîne yo < r,. (^e nomhre î, est le nmnhre ehcrehé. 



26o LOUIS ANTOINE. 

Si en filet A, B, . . ., L ont de;^ distantes mutuelles inférieures à î,, 
a, P, .... A ont des distances mutuelles inféiieui'es à r,. On voit alin-s 
faeileiïient que tout |)(iint nt du téliaédi'oïde S|)h(''iK|ui' a. 3. . . ., X 
e=t à une distanre de a ndViieure à r,. donc tout pmnf M de léié- 
nient A, B. .... I, est îi une chsiance de A ndérietiic à A,. 

Le nombre £, est uianire^tement inlérieur à \,: il est valable 
quel que soit le nombre des points A, B, .... L jusquà la valeur n 
de ce nombre.' 

Théorkme. — Etant lionne le nombre A, // exinte un )ionihre t., 

tel que a. h / étant h -p i points ayant des dislances inuluelles 

inférieures à z., et cJiacun aiiant avec S un écart Inférieur ci îo, on 
peut amener le tétraédroïde t,,, ayant ces points pour sonwtets, sur 
un élément ï /, de S par une déformation continue au cours de laipielle 
chaque point de t/, conserçe a<.'ec S un écart inférieur à \. 

Prenojis le iiombie î, eoi'i'espondant par le théorème |U'écédenl 
à A, ^ - A et î^=Ti|. Ce iKindirr satisfait aux e(Uulitions im- 
posées. Soient, en elïet. A. B I. des ])oints de S tels que A</. 

B/*. .... \A soient iidérienrs à î.. Il en lésulte qui' les points 
A. li. .... I. ont des (''(jiits mutuels inlérieurs à £, d par suite (juc 
loiil 1 elémrnl I /, ayant pnui- sommets ces puinls csl mleiirm- .i 
une sphère de centre A et de layon A,, dmic île diamètre A. On a 

aussi \(t. \h. A / <^ î|, donc /,, est inlérienrà cette sj)hère. Donc 

loul le (et laéiboïdc //, i's| inlei'ieui' à celle splièrc. (lonsidiMi Mis le 

I etiaèdioïde spliériijue T/, avaiil pniii' sciiiinicl s les pciMil s y..'i A 

hmuoloiiues de A. B, .... L. t/, et //, soni hoiiM-oiiicirphes, donc aussi 
ti, et T/,. Béalisons la cin icspiuidance entre t/, cl T,, e| lai-^niis 
décrire à un point /// de //, le seonient di" droite (pu le puiil i\ son 
IlomoloMiic M de I ,,. laisnns de même |inur Ions les piiml> leis 
que III en Ml|ipn<anl qilà nu même insl;ii:l, les se^iniMils lels 
ipic mW sercpiil parlaji'és par la posilmn prise par /// dans un 
même rappnrl. Nous amenons ainsi t /, >m- !/,. Mais le sej^menl \\m 
est inli'rieiir à la splière emisaiiéc plus liaul. I>niic M /// <[ A ei /// 
i^arde au cniiis de la dclniioal ion un l'-cail mleiieur à A a\i'e M 
ibuic a\cc S. 



i/iroMi':oMoitPi[iK Tir, iji:i \ i'[(;i iti;s i: i nio i.ki lis \(iisinvgks. -261 

|{i'riiiir(|ii(j|is (|iM' lu (l/'ldiiiiiil mil riihliiiin' (|ur iinii> i-ii\ i-'ii^ciins 

ici niiMi- /,', iH' lai'^sc |ii(s //, cniisl iiiniiicnl hciiiic(iiiiiM|ilic n liii-iiiômc, 

(•;il il M' |il(''SC||l ci'il cil ii(''ll('T;il lies |iniiils imilll|)li's ;iu (•(illl> (le celle 
(léluiiiKil idii. Il n'en l'hiil |i:is i\f niciijc |i(iiii' le- (|(''lnnii;i I luns 
iMl\ iMi<i('es ;iii\ 11"^ 2;5. 2(» cl 21. 

Tim':()I!i;\i 1 . - Le iinmhrc i_, du llirori'itie prccrdcnl csl Irl ijki- Imilr 
vii)i('l('' jHihiiiDiitilc 17, () /( (liiiii'iisliin.s (h'^n - 2) (l<inl ilim/iw jiniiil u 
in't'c S un rcuil i ti/rnCur à î.. jicul .se ri'duiir ù rc/o. cIukjuc jKinil de i^, 
'^(iiilnnl. (tu cituis df celle déjornuilniti . un écuii injéiu'ur à A. u\-ee S. 

I )(''c(ilii|)(is(ms 1'/, en lél ia(''(liiiï(lcs lels i|iie |)(j|ir cliacun il eux les 
suniinels aieni des dislaiices liilillielles 1 11 Ii'tii'U res a z... A cha(|lie 
Sdiniiiel (/ iKiiis laisdiis c(pn'es|)(in<lre un |Hiinl A de S Ici (juc A ^/ <; z^.. 
J''aisuilS c<)ri'l'S|i(indie cluKine I él laédlnïde de IV, à un éléllieill de s 
a\-ee la coiidilidii sui\ anie : l ne laee à h i diniensliiiis ediiiiiiune 
à deux lél liiédniïdes aura |)(iiii' li(iin(il(JL;ue un éh'nienl à h 1 di- 
inensimis de S, la corresiiundanee ('■laiil la même ipiel (|ue soil celui 
des deux I él ia(''droïdes de t'/, aii(|uel nii lail a|i|iarleiin celle lace. 
Celle cuncspondance es! rendue possible par l'inl eriuédiaire des 
lél raédrnïdes S|)héi'i(pies. La <lélniniali(m indi(|iiée ci-dcssus amène 
alors S'/, sur une variété N'^, de S en reiiiplissaiil les cmidil imis im- 
posées. 

V/, a ))oiir lidiiKiloeues sur i! une \ariélé \' lui niée d un nniidui' 
liiii de lél raédroïdes sphériipies ayani nidins de n 1 dimeiisiniis. 
Diuic \' ne reiiiplil pas liiiil 1. < )ii peu! aldis lanieiier \' à /.éin 
sur i^ cnninie 011 le \'n\\ lacilenieiit en laisanl une iii\ crsioii ayani 
])oiii' |)Ale 1111 |)()iiil de 1 imii sur \ '. haiis celle 1 ii\ iiskmi. une por- 
|i(Ui de 1 cdiileiiani loiil \' de\ienl rinléiicur dune sphère à 
// 2 dimensions (riin espace à /; 1 di mensnins. La réduclmii 

à zéro à rinlérieiir de celle s|)hère esl 1 niiiK'dia I e. Dune \ pi'iil se 
réduire à /.éru sur S. La n'iininn des deux déinrma I ions iiidiipiees 
d(''iiHml re le I liiMirème. 

TiiKdiîK.M I.. l-'juni donné A. un {X'ul dëleiniincr t Ici (jue toute 

i'firiélé \/, ù h dinwnsimis (h n 21 dont clun/ue point u. (MVT S, 
i(/7 ('cart in/érieur à i peut se réduire à zéro, chiivJin de w.v points 
i'drddnl us'ev S un éeuri tnjéncur éi A. 



2()2 LOUIS ANTOINE. 

Nous pouvons prendre z ^ - t.^, t., étant le nombre déterminé 
par le théorème précédent. Prenons en effet une variété polygo- 
nale V,, correspondant à V/, et dont chaque point ail avec son homo- 
logue sur Y/, un écart inférieur à e. Soit M un point de \ /,, i» son 
homologue sur C/, et M' un point de S tel que ]\IM'<^ z. On a alors 
M'i)i<C.z.j. et comme on a aussi MM' <^ £o, I<miI poiiil du segment 
Min est à une distance de M' inl'éneiire à i.,. < >n pcul donc ])asser 
de V/, à i>/, de façon que tout point garde a\ec S un écarl inlcriiHir 
à £o, donc à A. Mais V/, est dans les conditions du lliéorèmc précé- 
dent. Le théorème est établi. 

ô*2. 'riiKORÈME. — Soient S une snrfiire sinipJenieni connexe sans 
jioml multiple et ri un enseiiihle de jioints dont (haeun o (H'ee S un 
écdil supérieur à un certain nom lue S. Il e.riste un nom lire z tel ipie 
toute rariélé \ /, à h dimensions [Itln — 2), do)it cluapie point a 
avec S un écart inférieur à z, n'est enlacée avec aucune des pariélés 
à n II —- I dimensions ipi'on peut constituer avec les points de d. 

T.e iKimbrc z (Icicnniiic par le I li(''(ircni(' |)i(''icdcMl rcniplil ces 
rondilioiis. ( )n jieuL en clfcl iiMliiiic \ /, à /.('to. clKKpic ponil f\f \ y, 
gardani a\'Cc S un écarl inlV'iicui' à A. doue sans cmiprr (/. 

(.(S lluMirèmcs sonl encore \rais si S est une calolh' sijuplcmcnl 
( onncxe sans ])oiiit multijile, li(iméomor])he jjar définilion à une 
demi-hypersphère X à n — i dimensions. 1 .e tliédrème précédi'nt 
esl même dans ce cas \alalilr> pdur /(==/? t. En eD'd. ou pcul 
IdiijiMiis lédiiirc à zéro sur la dcmi-liv|iersplirre - iiin' NaiM'h'- 
à // I <1 1 iiii'iisions Iracée sur clli'. (.cci lienl ;'i rf (pic ^ c^l lidiiiéo- 
iiinrphc à un I éti'aédroïdc à // 1 (Iiiiiciiskiiis. 

.">."». Sdicnl une surface simplcinenl cnnnexc sans poinl luiillipIcS 
cl d un ciiscnililc de pdinls ddiil cliaciin a a\cc S iiii re:[\ I su p(''iiciir 
à A. Considérons le nninlirc z doiim'' pai' le I h(''nrcnie piccédciil . 
Envisageons maiiil i'ikhiI un pa\agc <\e l'espace E„ à iaiile de 
cubes à /( (liiiicnsKuis. ('•gaiix ci ;i\;iiil lin dianièhe m h'Micii r à z. 
Conservons ceii.x de ci s ciilics (pu lnuclienl S. Ils linnicnl un d( - 
inainc I) d un seul Iciianl. cdiilenanl S à siin inlerieiir cl ddiil 



I "l(nMi:i)M()lll'llll, IIK DKl'X IICI IIKS M IPIC I.KLMS \(>l SI NAflES . 26j 

cIia«[iH' poiiil a avec S un (''cai I iiiléricui' à £. JJuik' luutc variété 
ayaiil au j)lus ?( 2 diiiifiisioiis, Iracéf dans I), n'est enlarée avec 
aucune des vai'iétés exlrailfs fie d. I) csl un il(ini;iMic lit]iil('' pai' des 
van'élés jxilygnnales à n — t fliniensinns. 

,1c (Inal, |i(iur alii'(''jj;cf, (|u"cn coiisl r\iisanl I ), / xi cnjciiiK' S 
(Ions un (liiiiuuitc jKihiiiiiiKil l> mni ciihtcè as'cc d. 

La nicnic diMiiiil mn s ap|ilii|iic si S csl une calullc sini|ilcnicii| 
connexe sans point niulli|(lc. Les variétés envisafi'ées dans I) 
peuvent alors aussi avoir /; 1 diniensions. 

54. (.domine picnucrc a|)plication de ces propriétés, démontrons 
le théorème suivant : 

Théoukmf. Soient, dans Vespace à n dimensions E„, une surface 
siniplejttent connexe sans point multiple S et deux variétés fermées V/„ 
V„_/,_|, à h et n — h — i dimensions, sans point commun, enlacées, 
et sans point commun avec S. (es deux variétés sont dans une inéiiw 
région de S. 

Dans cet énoncé, on suppose i^h'-n — 2, donc n:^3. 

Enfermons S dans un domaine pcdyi^onal I) non cidaci- avec 
l'ensemble V/, -(- V,,-/,-,. Soil \' une \ari(''l('' [)oly^dnalc corres- 
pondanl [toint à |)oinl à \ /,, 1res \-oisine de \ /,. de soilc ipTclle n"a 
pas de |»oints communs avec D. \ ' et ¥„_/,_, sont enlacées. Je dis 
(pu' V„_/,_, et V, donc aussi Y/,, sont dans la même région exté- 
rieure à D, donc dans la même région par rapport à S. Faisons en 
effet passer par \ ' une calotle polyiionalc à /( -f- i dimensions W 
et modifions-la légèrement, si c'est nécessaire, ilr façon (prune 
variété à ;• dimensions de W n<' coupe une variété à .v dimcnsiins 
linnlant I) (pic pour r-f-.s'/;. Dans ces ((uidilions, les intersec- 
tions de \\ et i\v la frontière de D sont des \aii(''l(''S polygonales 
à // dimensions \'\. \''.,. . . ., V^,. .Nous ne consid(''rons (pic celles (pu 
Innilent la portion W„ de W située dans la région l{ cxti'ricurc à 
(pu ((Uilient V. 

Si \„ /,_, n'était pas dans cette région l{, W„ ne rencontrerait 
pas \„ /,_.,. Donc (n" "2}>), la somme des coellicieni s d'enlacemenl 
des N-ariétés V, V,, V'^, ..., V), avec V„ /,_, serait nulle, et 

Juurii. ,le Math. (S- série), lonie IV. — l'.i- . III, lui. -^'i 



2(i4 LOUIS A^TOI^■E. 

comme V,, V',,, . . ., V'^„ tracées sur D, ne sont pas enlacées avec 
V„^/,_ I, il en serait de même de V, donc de V. 

Il faut lemarquer que les variétés V, W, V,, V,. ..., V^, 
peuvent avoir des points singuliers. Mais cela n'influe à aucun mo- 
ment sur notre raisonnement, car, si l'on décompose ces variétés 
en éléments convenablement choisis, ces éléments seront sans 
points singuliers; seulement il arrivera que deux éléments aient 
des poi]its communs bien qu'ils ne doivent pas être considérés 
comme contigus, de sorte quil faudra jiarfois considérer des points 
géométriquement conrondus comme anaK li(pienu'iil distincts. 

II. -r- Les courbes planes et les courbes sphériques. 

3i). Nous allons étendre les résultats du Chapitre I et justifier 
l'énoncé suivant : Soient, dans l'espace E3, deux courbes de Jordan 
sans point multiple C et c (toutes deux ouvertes ou toutes deux 
fermées) planes ou sphériques, on peut passer de l'une à l'autre 
par une déformation homéomorphe de l'espace, n'altérant qu'une 
région bornée. Il en résultera que la correspondance entre C et c 
s'étend à tout l'espace. 

56. 1 HÉORÎîME. — Si, par itue déjornuituiu lunnéinnorphc iVinie 
surf arc bornée S en elle-même, laissant fi.res les juiinis jroutièrcs 
de S, s'il y en a, on peut transformer une figure V en une figure V \ 
on peut aussi transformer F en I'"' par une iléformalinn licnnéomorplie 
d'une partie bornée de V espace en elle-même, pourvu (jue, en chaque 
point 171 de S, il existe une normale à S qui carie de façon continue 
avec m, et pourvu que, pour II assez pelil, le segment N'tîîN nor- 
mal à S, de milieu m et de longueur 2 1 1 passe, quand m varie sur S, 
une seule fois par chaque point du doiaaine I) ipi'il Ixdaie. 

"l'on I poinl I* (Ir I) csl lum délernimé par le |ncd /// du segtiient 
noiriial. Mni([ue, ipii passe par P cl pai' le noinlirr //, ( il , /t , -|- jj], 
(|iii mesure le segment mP, le sens pusilil ('lanl celui des normales 
dirigées d'un côté déterminé de S. Le poinl P sera dit le point \m, h\. 

La déformation homéomorphe de S' est sup])osée donnée en 



l.'llOMKOMDIU'lllK 1)K DEUX FIGfHES KT DK I.KIIIS VOISINAGES. 205 

iuiirtidii (11111 paramèlrc l vanaiil <lc o à j ; j) [m. l] désijrnc la posi- 
tion, à l'instant /, du poini <|ni. à linstant o, est sur S en m. 

l.a rlrlninialioii hoiiirDiiiuijdic (li- l'espace est ainsi rlélinie : elle 
laisse iniiiiohllcs lis |)oiiits extérieurs à D. Le point 1* (jni. à Tins- 
tant o, était en )//;, // ! est, à l'instant /, (o^<< i), en 

l"h'(.-i(iJ)J.',j. 

57. Soient (liux courhes ('. el t (l'un inènie jiJan. Enlermons-los 
dans une courbe sans point nuiltiple V (une circonférence par 
exemple). On peut ])asser de C à c par délo! niation de l'inlérieur 
de r (no^ 2'> el 2(>i. Or Fintérieur de F remplit les conditions du 
théorème précédtiil, donc on peut passer de C à c par la délorma- 
tion indi(iuée au n" 5ô. 

Le cas des courbes planes non situées dans un mèiue plan sera 
étudié au numéro suivant. 

ô8. Coianiis sPHÉKKH'i:^- Scjit C une courbe de Jordan sans 
l.iiiiil iiniltiple tracée sur une sphère S. Je dis qu'il existe un 
point < ) lie S non situé sur C. Soit M un point de C, transformons S 
en un plan 1 par une inversion de centre M et partageons C en 
deux arcs C, C" par deux points situés de part et d'autre de NL 
L'arc C" contient .M: nmis le supposons assez petit [)our ([ue son 
transformé F" soit tout entier extérieur à une circonférence A 
du [)lan 'L. L'aie 1/ iiansformé de C ne remplit pas tout A; il y a 
donc, dans A, un |Miinl (o ([iii irappaitient ni à F' ni à F . Son 
transformé O répond à la (piistioii. 

Il siillit nuiintenant de faire une inversion de centre O pour 
déduire les propriétés de la courbe sphérique C. ib' celles des courbes 
planes et prouver en particulier la ])ossibililé dr I ransformer, de 
façon continue, une coiiibr spliéi iipie en une autre tracée sur la 
nu" me S|)hère. 

Snieiil niaiiileiianl lieux eourbes feiméesC. et c tracées sur des 
l.laiis ou sphères V. /-. Coupons I' el /» par une sidière S qui donne 
les iiilerseiliiiiis F. -'• NiHis saxons déformer C en l\ puis 1 en y, 
en liii •• en c : si C. il c élaieiil nu\ erles nous poui rions les considérer 



.oriS \NTniNK, 



foiiuac Jt'.s [lailics de ik'iix couiIjcs Icjjik'cs C -{- C, c -|- c'. 
L'énuiu'é du n*^ oit t'st établi. 



III. — Les courbes tracées sur le tore. 

59. Soil T un ture dont nous désignoions les deux rayons par r 
et R (r<R). Supposons que l'origine des coordonnées soit au 
centre du tore et que l'axe des s soit l'axe du tore. Nous pouvons 
alors exprimer les ecjordonnées x, y, z d'un |)oint M quelconi[ue 
de T en l'onction de deux paramètres to, ç. par les formules 

, J- = (U -t- /• C0S2-O) COS2 7T(,J. 

(!) (ï) j = (H + ;-cosa7:'y)sin2;:M. 

( ; :t= /-sin '. 7TO. 

A chaque système de \aleurs de w, o correspond un poml et un 
seul de T et à chacfue point de T correspond un système de valeurs 
de 0), o dont chacune est définie à un entier près. 

Soit un ])laii II dans lc(juej nous avons pris deux axes de coor- 
données () co, () o. A un ]ioinl M de T nous ferons correspondre le 
point //( de II (pu a j)our coordonnées les valeurs co, o des para- 
mètres de M. Si l'on pi'end les divers systèmes possibles pour w, cp, 
on obtient les diverses représentations de M sur II. Ces représen- 
tations se déduisent de l'une d'elles par les translations définies 
par des vecteurs dont chacune des projections est entière. Consi- 
dérons dans n les jiarallèles aux axes d'abscisse ou d'ordonnée 
entière. Ces droites décomposent ïl en carrés dont chacun repré- 
sente une fois et une fois seulement tout T,.sauf en ce qui concerne 
les Ironlières de ces cai'iés jioui' les(pielies il y a lu'u dr pieiidie une 
|)ié(aiilion évidente. 

Sdil .S' une rénlon de II liinili'e par une (■ouil>c de .lordaii sans 
])oinl inullipic. .V repr(''senle une cerlanie région S île T. Supposons 
ipi il nexisie (luvuii vecteur de jiriijecllitus entières dnnl les deux 
extrémités appartiennent à s (frontière comprise). Dans ces condi- 
tions la corrc sjioiidance entre S et ,v est hiunirdqiw et continu/'. S est 
alors une calolle siiii|ili'nirut <'uniiexe sans poinl inulli|ile. 



r.'lliJMI.nMoIll'HII. ni. ni.l \ l H.t KES I T ml I.EUHS V()1.SI.\AcW>. '2'J7 

^lO. Snil (', une (•(iiiil)i' 'le Joiilaii I racée sur 'I . x. y, z soiiL Idiic- 
lions riinlimics (1^11 ]jur;iiml ir / <|iic nous su])])()S('r(»ns varier de u 
à I . l'niir {liaquo poiiil de la cniiilic. (ui peiiL alors délinir des déter- 
minai ions (le M el o l'nnclloJls eniiliiuies de i : 

Le point représentatil sur II décrit alors une courbe de Jordan c. 
Soient a, ^ les accroissements respectifs de w, ç. (juand l varie de o 
à I : a = w (i) - - w (o), ,8 == 9 (i) — 9 (o). Ces nombres sont évi- 
demment indépendants de la détermination prise pour co, 9. 

Si l'on changeait de paramètre en posant t = / {t'j, les nombres a, 
P ne seraient pas non plus changés, sous la réserve que / soit une 
lonction croissante. Dans le cas contraire, ils seraient changés de 
signe. Ces deux nombres a, p sont donc parfaitement définis par 
la courbe, si on la suppose orientée. 

La com'be C est ouverte et sans point iniilti pie, si. a cl h élaiit 
entiers, les deux équations 

c)(0 — ',){t') — a. 9(0 — ?('') — * 

ne peuvent être vérifiées simultanément que pour a =^0, b = o, 
t =^ t'. La re présentation c de C est alors un arc de Jordan sans point 
multiple. Deux représentations difl'érentes de C sont sans point 
commun; et il n'y a pas de vecteurs à projections entières dont les 
extrémités soient sur une même représentation de C. L'un au moins 
des nombres a, ^ relatifs à C n'est pas entier. 

La courbe C définie par les fonctions (2) est fermée et sans point 
multiple, si les mêmes équations sont vérifiées seulement lorsque 
l'on a : ou l)ien / = t', a = o, b = o; ou bien t = i, t' ^ o, auquel 
cas a = a, h = [i. Si y. et ^ sont nuls, la représentation c de C est 
une coinhc jcrnièe sans point ntiiltiplr. Il ny a pas de \ecteur à 
projeclions entières ayant ses cxtiéiiiitcs sur r ri deux représen- 
latnins (lillV'renles de C lu' se coupent pas. 

Si l'un au moins des nombres a, [îi n'est pas nul, c est une courbe 
ouverte sans point multiple, l^e vecteur qui joint ses extrémités 
est l<' seul xccirur <le piojeclions entières (d'ailleurs égales à a et ^) 
dont les extrémités sont sur c. Ces deux extrémités appartiennent 



■26S LOllS ANTOINE. 

cliariinc à iino autre représentation de C et il n'y a que ees deux 
points de c qui appartiennent à d'autres représentations. 

Quand la courbe C est fermée, les nondîres a, p représentent en 
grandeur et en signe les coefficients d'enlacement de C (wec Vaxe de T 
et le lieu des centres des méridiens de T. Par coeiïicient d'enlacement 
avec l'axe du tore, j'entends le coeiïicient d'enlacement avec une 
courbe formée pai' une demi-circonférence concentrique du tore, de 
rayon supérieur à R + ;■, dont le diamètre est porté par l'axe du 
tore, et le diamètre de cette dcmi-circonfércnce. Elle est supposée 
orientée de façon qu'en la décrivant dans le sens positif, la cote 
aille en croissant sur la partie rectiligne. Le lieu des centres des 
méridiens est orienté suivant le sens positif du plan des xy. Nous 
supposons C orientée dans le sens des t croissants. 

Un pourrait démontrer dès maintenant ces propriétés des 
nombres a, ^ : je les établirai plus tard poui' chaque cas. 

il. Courbes ouvertes. — Soit C une courbe de Joidan ouverte 
sans point multiple tracée sur T. Les diverses re])résentations c, 
c', . . . de C sur le plan II sont des arcs sans point iuultq)le et sans 
])oint commun. Chacun d'eux a un écart non nul avec les autres. 
Soil t un nombre inférieur à cet écart (le fait qu'il y a une infinité 
de représentations n'empêche pas de déterminer i parce qu'il n'y 
en a qu'un nombre fini dans une région bornée). Enfermons une 
représentation particulière c dans une chaîne régulière ouverte g 

dont chaque chaînon a un diamètre iiifcri<ur à - z. .le (bs cpie g 

représente de façon biuiiivoque et continue une K'gioii de 1 . Sup- 
jjosons en effet (n° 59) (pi'il y ail un vecteur p]>' di' projiiiiiuis 
entières ayant ses deux extiéniilés dans g. Il e.\isle deux poiul s //(///' 

de c tels que mp <^ - i, m' p' <^ - i (n° 19). Soil ///, un [loiiil tel 

(pie (miiif) = ipp')- '"i repi'ésente le même |iuinl (pie //( et se 
trouve alors sui' une autre rej)résenlal mu r' de C. Mais on a 

//(i p' = 7»/), donc <C - ï cl par ^'Ultc m'm^-^i. Ceci est impossible 

puisque c est inlérieur à lécarl (l<' r et c' . 

Traçons dans g un seginenl de droite c, paiallèle à l'axe oo). 



I.'irOMKOMOKPlIIE r>E DEUX FIGURES ET DE I.EUllS VOISINAGES. 269 

Il I (■|)r('sciilc un arc de parallèle C, de T. On peut passer de c à c, 
jtai' une déformation continue de la région g n'altérant pas la fron- 
tièie (n° 2(>). g étant honiéomorphe à une région G de T, on peut 
passer de C à C, par une déformation continue de T en lui-même. 
I.c II lie T satisfaisant aux conditions du 11° .>(», on peut passer de 
la courbe C à la courbe plane C, par une déformation continue de 
l'espace naltérant qu'une région bornée. 

Les courbes ouvertes tracées sur le tore peuvent donc être ajoutées 
à celles qui figurent dans l'énoncé du n'^ 5i>. 

4îi. Covr.BKS FERMKKS DONT LA REPRÉSENTATION EST FERMEE. 

— Soit C une telle courbe (a = jii = o). Considérons une représen- 
lation particulière c de C et soit t un nombre inférieur à l'écart 
de c avec les autres représentations de C. Enfermons c dans une 
chaîne régulière fermée g dont chaque chaînon a un diamètre infé- 
rieur à - £. Soient /, /' les deux contours de cette chaîne (/' inté- 
rieur à /). Je dis ([ue l'intérieur s de / représente de façon biuni- 
voque et continue une région S de T. Il me suffit de prouver qu'il 
n'existe pas de vecteur à projections entières dont les extrémités 
appartiennent à s. 

Supposons cju'il existe un tel vecteur pp' . Déplaçons-le sur la 
droite qui le porte jusqu'à ce qu'une de ses extrémités p vienne 
sur /; l'autre extrémité p' appartient encore à s. Elle ne peut pas 
appartenir à g, car le raisonnement du numéro précédent s'appli- 
querait encore à la chaîne g et par suite il n'y a pas de vecteur 
à projections entières ayant ses extrémités dans g. Ainsi p' est inté- 
rieur à /', donc à c. Soient m un point de c tel que mp <^ - £ et m' le 
point tel que (mp) = (m' p'). mm' est un vecteur à projections 
entières, donc m' appartient à une représentation c' de C difîé- 
rcrilc de r. /// ne peut pas être dans g, car il aurait un écart infé- 

• I / « .-.Il 

rieur a - î avec c; m ne peut pas être extérieur a /. car le vec- 
teur m' p' ayant ses extrémités dans deux régions dilTérentes de c 
coupcrail c en un point m" et l'on aurait m' m" <C m' p' , donc 
encore <^- i. Donc m' est inlcricur à /'. La courlie c' qui con- 



LOUIS ANTOINE. 



lient m' a donc ce point à l'intérieur de c. Elle se déduit de c par la 
translation [min') : elle a donc des points à l'extérieur de c, par 
exemple le point qui se déduit par la translation (mm') du dernier 
point de rencontre avec c de la demi-droite mtn'. Donc c' coupe c, 
ce qui est impossible. La propriété est établie. 

Soient m un point de l'intérieur de /et Mie point de T cpiil repré- 
sente. Traçons de M comme centre une sphère de rayon assez petit 
pour qu'elle coupe T suivant une courbe C, sans point multiple 
et dont tous les points appartiennent à la région S de T homéd- 
morphe de l'intérieur s de /. C, est représentée par une courbe c, 
intérieure kl; c, est fermée et sans point multiple. On peut passer 
de c à c, par déformation homéomorphe des sans altérer /, donc on 
peut passer de C à la courbe sphéricjue C, par déformation homéo- 
morphe de T sur lui-même et par suite de C à C, par déformation 
homéomorphe de l'espace n'altérant qu'une région bornée. 

Les courbes fermées C tracées sur un tore et pour lesquelles a = [i =o 
peuf^'ertt donc encore être ajoutées à celles de V énoncé du n" 5i5. 

a et j3 sont bien les coefficients d'enlacement de C avec l'axe 
du tore et le lieu des centres des méridiens, car c peut se réduire 
à G à l'intérieur de /, donc C peut se réduire à o sur T, c'est-à-dire 
sans couper ni l'axe, ni le lieu des centres des méridiens. 

43. Courbes fermées dont la représentation est ouverte. 
— Nous supposons maintenant que l'un au moins des deux nombres 
a, P n'est pas nul. Les représentations de C sont des courbes ouvertes. 
Soit c l'une d'elles d'extrémités m„, m,, ayant respectivement pour 
coordonnées oj„, o„; w,, o,. Le vecteur //)„?/( , csl le seul vecteur à 
projections entières dont les extrémités soient sur c: ses projee- 
tioMS sont d'ailleurs a, [i. 

Supposons c[ue nous fassions une déformation homéomorplie de T 
en lui-même, co,,, to,, ç>„, 3, varient de façon continue; donc w, — o>„, 
c, — o,| varient de façon continue et par suite icsteul lixrs d 
égaux à a, ^. Au couis rluiie telle déformation, c restera dune une 
courbe ayant la mèni<' [nopiiélé que c : le vecicur joignant ses 
extrép.iités est le seul xccitur à piojecl iiins cnlièrrs dont les extré- 
mités sont sur c et ci' x'ccti'Uf a puni- pr(ij('<linus x. '^. Xnus allons 



I. HOMKiiMiiM'IllK I)K liKI \ IIGIJRES KT DE I.KLHS VOISINAGE>. 2"( 

r-iivisagcr dans la siiili un «l'ilaiii nombre de telles déformations 
qTie nous définirons chaciine par la déformation d'une portion du 
])l;m II représentani de façon biunivoque et continue une région 
(Ir T. Nous arriverons finalemont à amener c à être un segment de 
droile, (pji ani'a alois pour projections a, ji et aiu'uru- jiortion de ee 
segment de droite naiiia ses deux projections entières. 

i4. Traçons, ce qui est possible, deux chemins reliant m„ et m, 
et constituant une courbe fermée y contenant c à son intérieur, 
les points m^ et m^ étant les deux seuls points de c situés sur y. 
De plus, Y devra être telle ([u'elle ne contienne que le segment m„ /h, 
qui ait ses deux projections entières. Sauf en ce qui concerne m„ 
et m,, l'intérieur de y est une image univo(|uc l't continue d'une 
région du tore. 

Traçons une ligne polygonale c, joignant m^ et /h,, intérieure 
à Y et n'ayant que m„ et /«, pour points limites de ses sommets. On 
]icu! l'nO 27) déformer c en c, en n'altérant ([uc rintérieur de y- 

S<iit iii„ un point de c, autre cpie m^ et m, cl [prolongeons c, 
au delà de //;, en eifcctuani sur 1 arc in„ iii\ de c, la translation iii^ni,. 
La courbe c' ainsi obtenue, m, m\ est analogue à c, seulement elle 
est polygonale et n'a un nombre in fini de côtés qu'au voisinage 
du point /«,. Si donc on opère sur c' comme sur c, on pourra prendre 
un contour y' formé d'un nombre fini de segments et une ligne r, 
polygonale d'un noml>re fini de côtés. 

Or les opérations qui nous ont ainsi fait passer de c à c, sont les 
images de déformaticms continues n'intéressant que le voisinage 
de C. Par de telles déformations, on peut donc amener c à être 
formé d'un nombre fini de segments. J'appelle encore c la ligne 
ainsi (ibti'nue. 

io. La ligne <■ ayanl un iiniidirc iini de somnicls. nnus pnuxiins 
supposer, quitti' à faire une déformation représentée pai' un accrois- 
sement de to et de o, ([ue les sommets de cette ligne n'ont aucuiu' de 
leurs coordonnées entières, c est alors découpé par les côtés tlu 
(piadrillage (!<• H eu tronçons. Les extrémités de ces tr(Uiçons 
apiiarl iciimiil ciiaiimc à un seul côlé de c el ce côlé traxfi'sc en 



LOUIS ANTOINE. 



ce point le côté du quadrillage. Je supposerai encore, ce qui est 
également légitime, qu'aucun sommet du quadrillage n'est sur c. 

Considérons le carré y du quadrillage qui a pour côtés les seg- 
ments (o, i) de co et o cp, soit oabc son contour. Faisons subir à 
chaque tronçon de c la translation qui l'amène dans y. Nous avons 
une nouvelle représentation c, de C. c, est formé de tronçons allant 
d'un côté de y à un autre côté. Leurs extrémités en nombre fini se 
correspondent deux à deux : sur oa et cb par abscisses égales; sur 
ah et oc par ordonnées égales. 11 n'y a ]>as d'extrémité aux som- 
mets 0, a, h. c de y. 

Les tronçons de c, sont de trois sortes : 

Première catégorie. — Tronçons dont les extrémités sont sur un 
même côté de y. Soit mm' un tronçon de cette nature dont les 
extrémités sont sur oa, par exenqjle. S'il y a d'autres cxlrémilés 

F'g- 9. 




de tronçons entre m et //*', ils ne prawiil éti'c cpic de relie iialiiie, 
puisque c, est sans jioint multiple. Il y en a alors un, //(//(', tel (pic 
l'arc mm' et le segment mm' déterminent une région ne contenant 
pas de points de c^. Ciel le région csl honiéonuirplie à une poil ion I' 
de T (/?,<9). 



I.'hOMKOMOUPHIE UE deux nOUHKS Kl l.E .KIHS VOlSI N A<.h.S . 27,3 

Par une délormalion n'intércssanl >[uunr p., il ion (!«■ T '-"nl'- 
nanl 1^ H (lilTéranl aussi ,k^u .!.■ I> M'"' """^ l'" voudrons, nous 
pouvons .Tinplace.- C par une omil-c l.llr «luc la |.arli<- n m m /< 
de c, n et n' étant très voisins de m el ///', .levicnne U- srun.cnl nn . 
Par cette opération répétée nous supprimerons tous 1rs tronçons 
de c, qui sont de première catégorie. 

Deuxième catégorie. Les tronç..ns dont les ..xlremilés sont 

sur deux côtés de 7 comprenant un angle de -. Je dnai (pi un tel 
tronçon est relatif à cet angle. S'il existe un tronçon relatd' a 1 angle o 
il en existe.a un relatif à cet angle, soit nun', tel qu'entre o et m et 
entre o et m', il n'y ait pas d'autres extrémités de tronçons. Sup- 
posons alors qu'il existe des tronçons relatils aux angles consé- 
cutifs o et (/ et soient mm', pp' ceux de ces tronçons tels que mm 
et pp' sont les extrémités de tronçons les plus rapprochées de ou a. 




On a alors om' - ap' {/Ig. 10). Envisageons le carré 7' coutigu a y 
I,. Inng d.' oc el dans c carré le tronçon m'/^ homologue de pp. 
On peut comm.' tout à l'heure rcmi.laccr un arc un i-'U supérieur 
à /., m' m par un aiv sans points dans y cl y' et coupant en un seul 



2^4 LOUIS ANTOINE. 

point /*/, le prolongement de co. Dans cette opération nous luisons 
disparaître les quatre extrémités m, m', p, p' et nous faisons appa- 
raître les deux extrémités homologues de m,, donc nous dimi- 
nuons le nombre des extrémités de tronçons. II peut d'ailleurs 
réapparaître des tronçons de la première catégorie que nous ferons 
aussitôt disparaître comme il a été dit plus haut et cela ne peut 
que diminuer encore le nombre des tronçons. 

Nous pourrons répéter une telle opération tant qu'il restera des 
tronçons relatifs à deux angles consécutifs. Comme nous diminuons 
chaque fois le nombre des tronçons, nous arriverons à ne plus en 
avoir de cette sorte, le nombre total des tronçons étant fini. 

Les tronçons de deuxième catégorie qui restent sont alors néces- 
sairement relatifs à deux angles opposés, supposons, pour fixer les 
idées, qu'ils soient relatifs aux angles a et c. 

Troisième catégorie. — Les tronçons dont les extrémités sont 
sur deux côtés opposés de y. S'il y a de tels tronçons allant de oa 
à bc, il ne pourra pas y en avoir qui aillent de ab à oc. Supposons par 
exemple que nous soyons dans ce cas. 

Supposons qu'il y ait r extrémités de tronçons sur ab et oc et 
n sur oa et bc. Parcourons à partir de a les deux chemins abc et aoc, 
et numérotons sur chacun de ces chemins les extrémités de tron- 
çons dans l'ordre où nous les rencontrons. Les extrémités d'un 
même tronçon portent le même numéro, car les tronçons ne se 
coupent pas et chacun d'eux passe entre a et c. 

Enfermons un segment un peu inférieur à ab dans un rectangle 
homéomorphe à une portion de T et déformons l'intérieur de ce 
rectangle de façon cjue les extrémités de tronçons sur ab viennent 
aux milieux des segments obtenus en coupant ab en ;• parties 
égales. Faisons une déformation analogue relativement à oa. Ceci 
l'ait, nous pouvons par des déformations successive:, du l>|ic < ii\i- 
sagé, faire en sorte que les tronçons deviennent dis segments de 
droite joignant les extrémités que nous venons de déterminer. Ces 
segments sont alors jjarallèles et par suite c eut un segment de droite. 

Nous ])ouvons enfin faire une dernière déformation amenant 
l'exlréniité inillalc ilr r an |p(i1mI o (accroisscincnl lixc de lunlcs les 



r/iiDMKoMoiii'iiiK ipp: i>f;i \ n(;i'iii:s i:t iik i.kihs voisinvcks. 2^j 

valeurs de to cl, acçroisscincul lixr df I oui es les valeurs de o). 
Sdit c' le segment ainsi obtenu il soil (/ la ((Hiihc (!<■ T qu'il repré- 

seillc. 

'(<>. D'après la remarque de la (iii du ii" i.', c' a jjour projec- 
tions ap, les coordonnées de son exlrémité sont a, jï. 11 en résulte 
<|ue c' et ])ar suite C a pour équations 

(3) (C) M = xt, <? = |3< (oSi£i). 

On passe de C à C par déformation continue sur T, donc C a les 
mêmes coefficients d'enlacement que C avec l'axe et le lieu des 
centres des méridiens. Calculons par exemple ce dernier. Le cercle 
limité par le lieu des centres des méridiens coupe T suivant la cir- 
conférence o = - + entier. On aura un point de traversée positive 
(■ha([ue fois que c' coujjcra une droite G = - + entier, la coordonnée 

9 allant en croissant sur c'. La somme de ces traversées est mani- 
festement P; ce nombre est donc le coefficient d'enlacement de C avec 
le lieu des centres des méridiens. On trouve de même que a est le 
coefficient d'enlacement de C avec l'axe de T. 

Nous avons également remarcjué qu'aucune portion de c' n avait 
ses deux projections entières. Il en résulte que si aucun des nom- 
bres a, [3 n'esl nul, ces deux nombres sont premiers entre eux. Si [i 
par exemple ( si nul, c' est porté par Taxe ow et la même remar(|ue 
montre que a = ± i. De même si a ;= o, [3 = ± i (^). 

Si l'un au moins des nombres a, j5l n'est pas nul, (- est enlacée 
soit avec l'axe, soit avec le lieu des centres des méridiens. Klle ne 
])eiit donc' pas se réduire à o sans cou|)er une de ces courbes, c cst- 
à-dire sans (|nillrr T. ,1e dis de |ilus que C. ne partage pas T en 
lénldiis. il sullil (le le promcr pour ('.'. Les repiésentations de (, 
loiinent des dinites jiaiallèbs ipii découpent ,3 segments égaux 

(*) Si imo cmubc fermée C. a des poiiils nuilliples, les accroisseiuenls x, p tle '■> 
et 9, i|u;iih1 (111 la décrit coniplèlement, sont encore ses coellicients d'enlaceineiit 
avec l'axe cl le lien des centres des méridiens; mais ces nomlives ne sont plus ncees- 

saircnieiil iirriincrs cnlrc eux. 



2-6 LOUIS antoi.m:. 

sur oa el oc sur oc. Soient »(,, m.^ les poiiiLs de y (jui ie])résciilt'iil 
deux points donnés M,, Mo de T, non sur C. Menons par ;/(, m., des 
demi-droites parallèles à os et soient p,, p., les premiers points de 
rencontre avec les représentations de C; p, sera sur une certaine 
reju'ésentation c\ et p., sur c',. Soit p., le point de c', homologue de p^ 
et construisons le vecteur p'.,ni'., équipollent à p^ m.,. Le segnnent 
de droite m, m!, représente une courbe qui, sur T, joint M, M, sans 
couper C. Ces points étant c[uelconques, C ne partage pas T en 
régions. 

47. Je vais maintenant établir le théorème suivant : 

Théorème. — Soient C une courbe de Jordan fermée sans point 
multiple tracée sur un tore el a, {i ses coefficients d'enlacement avec 
Vaxe et le lieu des centres des méridiens. Pour que la correspondance 
entre C et une circonférence puisse s'étendre à tout l'espace, il faut 
et il suffit que'l'un des nombres a, {3 soit égcd à o, à -\- i ou à — i. 
Quand cette extension est possible, on peut passer de C à la circon- 
férence par unedéforiiiatioii homéomorphe île l'espace n' altérant qu'une 
région bornée. 

iN. Montrons dabord que ces cojiditions sont suiiisantes. Ceci 
est déjà fait pour le cas a = [3 = o (n° i'2). Supposons que l'un au 
moins des nombres a, p ne soit pas nul, et raisonnons sur la courbe C' 
définie par les écjuations (3). Si a ou [3 est iml, C est un méridien 
nu un parallèle de T, donc une circoiiléi-cnce el la [iroposiliun est 
c\ idenlc. 11 ne reste donc à étudier (pic Ir cas a^ --/- o. 

Soit d ai)oril a = ± i. \}\\ (|cnii-(il;in (piclroiupic uiciic par 

l'axe lin Inic ((iillM' C' cil un seul |iiillil. 1*^11 elfel, ce deliu-plail 
ciMlpc I siii\;ilil le HM'IuIich oj -- (0„ e| les pollils de C' sur ce llléri- 
dicii nul |ioiii' paramètres les racines de l'étiuation i\'„ -|- k ^= x t, 
l\ claiil un enlicr f[uelconque. Mais comme a = ± i cl (pie / est 
(•(unj)i'is cnlrc o cl i, celle éipialion a une laeiiie / cl une seule. La 
projcclKiii C| (le C' sur le plan des xi/ i si donc sans poinl iniilli])lc. 
SdiI s le cylindre projclaiil ('.' sur le plan des .ri/. Iiinilé à deux 
courbes I . I,' de cilles r d r. Nous p(iii\iiiis passer de C' 

à C| par une (Icloiinal nui lioiiKMimoriilie de S nallcrani pas les 



L'iroMKoMMm-Mir-: dk vkvx figihes et de leurs voisinages. 277 
lionliô.cs L, 1/, <iu'..ii (léfinii-îfit coinmo .•elles <-f.nsifl6ié.-s |.n-.-.'- 
demment, n°s 'iiî, 27. 

Comme S vérifie manifestement les conditions du théorème du 
nO 5«, on peut passer de C à la- courbe plane C, (donc aussi à une 
..irruiiféinne par une déf.nni.'.l ion de l'espace n'altérani qu'une 
rétiioii JMii'née. 

Hesle le cas ^ = ± i. Mais il n'y a, en réalilc, aucune différence 
essentielle entre a et ?; une inversion dont le pôle est sur le lieu des 
centres des méridiens de T, transforme T en un tore T'. les méri- 
diens de T en les parallèles d.- T' n inversement, donc elle Irans- 
forme C en une courbe C p.Hii- lacpullc y.' = ^. [i' = a. 

Les condiliniis Sdiil ilnnr liiii: sullisantes. 

4î). P(mi' montrer <pie les .onditions sont nécessaires, supposons 
que la correspondance entre C et une circonférence puisse s'étendre 
à tout l'espace. Il en est alors de même de la correspondance entre C 
et la circonférence. Au cercle limité par la. circonférence, correspond 
une calotte simplement connexe sans point multiple il ayant C^ 
]iour frontière. Nous allons montrer que s il existe une telle calotte 1 
et si aucun des nombres a, '^ n'est nul, Vun d'eux est, en valeur absolue. 

éga} à i. - 1, ■ 

Considérons une surface auxiliaire T', enveloppe d une sph.-re 
de ravon constant f dont le centre décrit C. Nous prendrons z 
assez petit pour que T' soit sans point multiple. Alors T' est le 
lieu d'une circonférence G dont le centre décrit C. qui a p pour 
ravon. et dont le plan est normal à C: par chaque poini d.' T' il 
passe une circonférence C et une seule. G. étant petite, coupe 1 
en deux points M,. M. qui décrivent deux courhcs L,. \.,. ^> lo 
l,oint M décrit C dans le sens positif, M, et M, décriront L,- 1^. 
dans des sens que je prendrai pour sens positifs de ces courbes. Les 
trois courbes C. L,. L, étant ainsi orientées, je dis qu'elles ont 
deux à deux un coefficient d'enlacement égal à cc% donc différant de o 
dans les hvpothèses où nous nous sommes placés. ^ ^ 

Envisageinis une représentation de T sur le plan H. Soh'uI c 
un vecteur de projections a. fS représentant C, et m la rcprescnla- 
linnsurcM-nn pniul M -le C. l/an' M, MM, suivant lequel le cercle 



2^8 I.OUIS ANTOINE. 

limité par G coupe T est représente par un arc m, mm.^. Nous sup- 
poserons p assez petit pour que nun,, nun.^ soient toujours inférieurs 

à '-■ Soient /,, l. les lieux de //;,, ///,. quand M décrit C. Les projec- 
tions de /,, L, sont entières puisque L,, Lo sont des courbes fermées. 
Mais comme les extrémités coi-respondantes de ?, et de c' sont dis- 
tantes de moins de -, les projections de /, sont égales à a et jJ. 
de même pour l.,. Donc les coeflicients d'enlacement de L, et de L, 
avec l'axe et avec le lieu des centres de méridiens de T sont a el i. 




Déformons C iiiléiieureinent à T (donc sans couper L, cl Jjj) 
chacjue jMiint dr i'.' décrivant un rayon de méridien. .Nous amè- 
ju>rons ainsi C sur le lieu des centres des méridiens, a point de C 
venant en un même point de cette courbe. D'ailleurs ('/ étant 
enlacé a fois avec l'axe du tore, nous pouvons dire (|iie nous 
amenons C sur a fois la circonférence lieu des centres des méii- 
dieiis. L, est eidacé 3 '"i^ avec celle circiiii léiciice, iloiic a'i l'ois 



T. HOMKOMOHPUIE IiK Ul.lX FIGIUKS KT DE I.EUnS VOISINAGES. 279 

avpo C Nous aiiiiuiis pu co;aloniont par uno déformation oxt*'- 
riourc à T amener ('.' mu- !i fois une circonféroncc conrentrique à un 
méridifn est un piu plus jriande. I.o résultat est lo mémo. On a lo 
même résultai |)imu les cocCficicMl s frpnlacpment do C avec h., 
cl de L, avec \..,. 

l' ixdiis un sysiciiic de ((inrdiiiinécs oj', c.' sur 'I''. Suil M' un point 
(le ! '■ !l csl sur une riicunlciciicc (i de centre M. Le pumt M est 
déterminé sur C par une valeur du paramètre /, entre o et i [équa- 
tions (2)]. Nous prendrons co' égal à th un entierprès. Orientons la 
circonférence G, par exemple dans lesens(pii \a di' M, à NUexté- 
l'ieurement à T . Nous prendrons |i( m ro' le rapjx ut d uiiedél ermina- 
I Km quclcoiupie de Taie M, .M' à la longueur de G. o' est déterminé 
«à un entier près. La courbe L, apour équation o' = oà un eut ier 
près. I.es courbes G ont pour équations co' =^ constante. 

Si nous cunsidérons une courbe fermée tracée sui" T'. nnus jniu- 
\dns lui laiic correspondre deux noinbi'cs a', j' «pu seront les 
accroissements respectifs de (o' et de Z/' (piand on décrit la com'be. 
Pour les courbes L, et L^, a' = i, ^3' = o : pour les circonfé- 
rences G, a' = o, |5' = I. 

Nous pouvons faire la représentation de T' sur un plan II' coinnie 
nous avons fait la re])réspntation de T sur un plan 11. Au point .M' 
do paramètres ro'. o', nous ferons correspondre le point ni' de c.mh- 
données co', ç,'. Cette représentation aura ries propriétés tout à jaii 
analogues à celles de la représentation du tore. 

ÎÎO. Je ^■als iii(inli-cr (pic. si 1 existe, il exisi e sur T' une courbe G, 
ne coupant pas 1 cl pour lacpiclle 3' iiest pas nul. 

X étant une calotte siinplemenl connexe sans puinl iniilliple 
jiciil se re|ir(''seii I er sur lin eerele 1 liinil('' par une cireiinrérciicc c' . 
I, ensenilile di'S |>()iiils cnniiiimis à 1 el 1' si' repr(''sciit e alors siii- 
\:iiil lin eiiseniMe leriiH' ayant un ('carl miii nul a\ee c'. .le jteux 
dune Iraier une eirconlérencc r" euneentrupio à c' et telle que dans 
ranneaii e(Mii|iris entre ces deux eireiuiférenccs il n'y ait pas de 
points représentant des pi)inl s ciuiimuns à X et T'. Soient C" l"'h(Uuo- 
Inniie (le t" et -' la (alnlle slniplenient connexe sans point mul- 
ti|)le correspnndani ;i I ml ern'iir de c" , Z' a G" pour frontière et 

Juiirn. (le Mnlli. (•<• ^.tk), loin.- I\. ~ F.i~.'. Ml. i.j-i. 36 



280 LOUIS AÎJTOINK. 

lim ]M'u1 |)assrr de (]' à ('/' sans couixt l' puistjirdn pcul passer de c' 
à c" sur laum'aii i[\ir rornieiil ces deux cdiirlies. C," est {loue cnldcce 
comme (]' in'cc lotdc rnuriic travée .sur I '. 

1' n ayaiiL j)as de jxiinls sur C, nous pou\(ius enrerinei' 11' ilans 
un domaine polyédral D non enlacé avec C (n° .","»). Soient D' l'en- 
semble des points de D sur T' cl I,. L, ... les Iront ièrcs de D'. 
La courbe C, que je cherche est une des enurbes I. 

Tout d'al)ord, les courbes 1 existent, c'est-à-dire cpi il y a sur T' 
des points de D et des points n'appartenant pas à D. Si tout T' 
n'appartenait pas à D, une circonférence G étant extérieure à D 
ne couperait pas i' et par suite ne serait pas enlacée avec C", ce 
qui n'a pas lieu, puisque G est enlacée avec C. Si tout T' appar- 
tenait à D, la circonlerence G étant intérieui'c à D ne serait pas 
enlacée avec (!', ce qui n'a pas lieu. Donc les lignes I existent. 
Remarquons en outre (pic le domaine D est formé de cubes d'un 
pavage de l'esjjace el que ces cubes satisfont à la seule condition 
d'avoir un diamètre inférieur à un nombre déterminé t et de 
toucher X'. .Nous pouvons donc choisir le pavage de façon qu'au- 
cune face ni aucune arête ne soit tangente à T' et qu'aucun sommet 
ne soil sur T'. Dans ces conditions, les eom'bes I seroiil en nnnilire 
Uni, sans point commun et sans point multiple. 

Les courbes I appartenant à la frontière de I)', donc de D, aucune 
d'clli's ne louche 1'. ni 1, puis(pie i est la siuntnc de 1' cl d'une 
poilion iiilérieiirc à '\'. Il sullil donc de pi()u\er que, parmi les 
coiirlii's I, il y en a au moins uni' |miiii- la(|iiclle ^i' .-: o. Ce scia la 
coiirlie (',, clu'iihec. 

Si pour loiilcs les courl)es I on a\ail ^ — o, on aiirail |iiiiti' ces 
coiiilics a' = (), -|- 1. ou — I. ( >n ne pi'Ul pas a\oir, pour une 
coiirlic I, a' ~ -| 1. car celle couriie poiirrail se lanicner sur T' 
à la cou ri M' !., cl , par su 11 c. ccl I c cour lie I sciail coin me I ,, cnlaci'c 
a \ ce (',' . ce (pu n a pas lieu. I a ppail ciiaiil à l>. 

Supposons alors ipic |ioui' loiiles les coiiihes I lui ail a' - jiJ' ~ o. 

Les repi'i'senl al ions 1 des coiiilics I sur II' soiil alors des courbes 

lermécs sans point mullipic el sans poinl ciuiiniuii: il \ a donc 

uiu' l'égioii A d lin seul Icuanl extciiciirc à Imilcs ces coiirhcs cl 

l'axe o' o' a des poiiils dans celle i(''gioii, car il ne peiil cire loiil. 



f. HnMKoMiilil'IHK liK fiKl \ I H.l UKS LT IiK I.EIH-- \iilSI 



NAGEb. 281 



l'Ill ii'r illlt'licur à mic seule cninlir /. Siile'lll (/ llll |iullll (If (;c| H\i: 
M|t|i;ill eiuilil il A cl /' II' |Milril (Iniil riirduiinre es( ^•'^■,l\^• à celle de u 
aiiciiiiciilcc (le I. // i-e|ii('scnl :iiil li' mèiiic |)iiinl (|iic (/ esl :iiissi 
dans A. llll ic|]|i'seiile une cuc( udi'iiMiic G. liacDiis daii> A un 
are y allaiil de n à h. Il re|(r(''sciil,c une coniix" l'fi'nit'c I', li'acéc 
sur I ' cl |)(iii\anl axuii' des poinis iinillipli's. Majs y |»''iJl ^'' '"i»- 
nicru'i- sur II' an scnnu ni ,///. a el h ne Ixiiiecjnil pa-. diuii' !" |mmiI 
se lanii'Ui-l sur I ' à une encnnlerenee (]. 1" esl dune l'idaiM'c ;i\-ec (. 

t'I (i". XdiiN arjlvuris à une ((inhadicl nm |pai la reniai(ini' sni- 
vanlr : si A apparlii-nl à D (c est-à-dn c ic|iresiiil c ilfs jaunis 
a|»|)arl(iianl liais à D), T a|)partit'nl à I ), iIihk 11 isl pas enlaci'c 
avec (V, ce qui n'a pas lieu; si A ira|)paitienl ])as à D, 1" ne fuupc 
jjas 2', ce qui est encore impossible puisque eelte courbe est enlacée 
avec C". 

// e.sl donc nécessain' (jiie. pour une au moins des couiIh's I. 6 ne 
soil pas nul. Soll C, celle ((Mirlie cl siiienl x', y les accruissenieuls 
de eu' el tie 'j' quand on la ticcrit. 

(lonsidéiniis juaintenant la coui'be C, tracée sur 1' el qui a ])our 
équal unis paramétriques 

y.' et p' étunl les valeurs qui viennenl d'être définies pai- (.".,. « )n peut 
passer de ("., à C, jiar une dél'ormalinii bnméomm-phe de T' sur lui- 
même, ddiic ( II" 5<>j pai- une di'lniiiiat nm hométiniorphe de 1 espace 
naitéranl ipi uni' léeinii lim inc. (.elle réoiim peut d ailleurs être 
prise assez voisine de I ' pnur que (.' lui soil exi rTietiie. A la lin de 
celle déldinialiini. i (|e\ ieni une calutlc sinipleiiienl cniinexe 1, 
ayant (1' pour Irnnlièie cl (pu n esl pas cniipi'c par (.,. l)oiic : 

<> i . S'il exisi e une calcil le silllpleliieill euniiexesans pomi miil- 
liple 1 a\aiil piHir Iriiiilièic (".'. il en existe aussi une Ij de ménit" 
irnnlièrc cl ipn n esl pas cnnpi'e par une ccriaine courbe (.^ Iracei; 

sur I ' cl (b'-liliie p;i| les ('qujil inllS (/|) où ^3' 7^ O i fl^. I l^- 

y ii'i'iani |ias nul, (^, <cilipe eU'ect ivemeni I., en '^ polllls 

ipie je désin^ne par M,,. M Illle cnnpc aussi 1,^ en ;3' points 

M.^, Ml, le s'uis pruus'er qu il existe <leux points .M,, M_, eonsé- 



282 LOUIS antoim;. 

culifs sur (^, et pouvant être joints sur 1 par une courbe ne coupant 
pas I,. 

Remarquons d'abord que les points M,, M,, . . . sont des points 
de traversée de même signe de T par C, et que AL,, M.,. . . . sont des 
])()ints de traversée du signe différent du premier. Ceei résulte 
immédiatement de la considération de la représentation de C, qui 
est un segment rectihgne et qui coupe les droites o' ^ entier aux 
points représentatifs des points M,, o' variant toujours dans le 
même sens quand on passe par un tel point. Nous su])poserons par 
exemple qu'en décrivant C\ on passe de lintérieur de T à l'exté- 
rieur aux points M,. M,. ... et de I extérieur à 1 intérieur aux 
points Mo, M, 

C, ne touchant pas 1,, enfermons X, dans un domaine polyé- 
dral D non enlacé avec C, et soit D' l'ensemble des points de D 
situés sur T. Il y a sur T des points de D, par exemple tout C, et 
des points n'appartenant pas à D, par exemple les points M,, .... 
Donc D' a une frontière qui, par suite d'un choix convenable de D 
(remart^ue faite au numéro précédent), sera formée d'un nombre 
fini de courbes I,, L. ... sans jioint multiple et sans point com- 
mun.' 

Les cuurJjcs 1 uppurli'iiaiil ù L), aucune il elles 11 est enlacée 
avec C, . De même les courbes 1 appartenant à la frontière de D, 
aucune d'elles ne coupe Z,, donc aucune d'elles n'est enlacée 
avec C. Soient alors a,, jî, les coelficients d'enlacement d'une de ces 
courbes I^, avec l'axe et le lieu des centres des méridiens de T. Cette 
courbe a alors avec C le coellicicnt d'enlacement a^, = a, ^ {i>oir 
le raisonnemi'nt fait an 11° 49 sur les cnnrbes C'/. L,, Lo). Nous 
venons de dire que ce coellicicnt était nul, et comme y. el 3 ne sont 
pas nuls, a, et ^, sont nuls. Les courbes i icprésenlani lis (dnibis I 
sur II sont donc des courbes fermées, sans point mnltij)lc el sans 
points communs et chacune fl'elles avec son inlérieur repiésenlc! 
de façon biuniviKpie el eonlinue une ealolte simplemeni cniinexi' 
SOI' T (n" i2). De plus, il y a dans II une région iini((ui' d un seul 
leniinl extérieure à toutes les courbes i et tous les jxunls cpie repré- 
sent i-nl les |)oin(s de cette région ajipartiennent à D, car les droites 
indéfinies qui représentent C ne peuvent être que dans cette région 



1. IIOMKOMDIUMIII'; IlE DEUX FIGUIIKS ET UE MCllIS VOISINAfJES. 20) 

cl C a|)|i;irlii'iil ;i D. < )r les points M,, M,, . . ., Mg, M,, . • • n'appai- 
licmiriil |i;is à I) : leurs rcprésenlalions //(,, . . ., lu.^, . . . sont «loue 
cllaciilic ml ('iiruics ;'i une ((Mil'ln' /. 

Soll //(, iiiir icpii'scnlal luii |iaiU(iilirie de M,; elle csl iiitéricuiH' 
à une ((lurl)r / , il, par suit c, située dans une région dun seul tenant s- 
lijuiléc cxléiiiuieJuciiL par i, et évenluellenienl par des courbes i.,, 
i.j, ..., intérieures à i,. Chacuiie de ces courl^es n'est [las enlacée 
avec C, et Finléi'ieur de chacune dClles représente de façon biuni- 
voque cl conlinue une réoion de T. La somme des traversées de T 
par C, à l'intérieur de chacune île ces régions est nulle et, par suite, 
il'y a un nombre égal de points //(,. //(,, ... et de points ?u.^, in., à 
l'intérieur de chacune des courbes /,. i .., t,, .... En particulier, il y 
a au moins un point /»-, dans s. (!c poiiil m., peut alors èlie jniul au 
point m, dans .v. Ce chciuin icprc'scute une courbe K, allaiiL 
de M, à un certain point -\L siu' 1 sans coujier I)', dniic sans ren- 
contrer -,. 

Si M, et Mo ne sont pas consécutifs sur C,. soit K, l'un des arcs 

de C'i ayant pour extrémités M,, Mo, la courbe K, + K', ne coupe 

])as i,. Les points de K, au voisinage des extrémités M,, M. sont 

dans une même région de T. Nous pouvons alors déduire de cette 

courbe une courbe C, ne coupant pas -, et formée de : i" la 

courbe K,, sauf deux petits ares au voisinage des points M,, M.; 

2° une courbe déduite de K, par une déformation au cours de 

latpielie cha([ue point (b'crif, un rayon de méridii-n de T, du côté des 

])etlls aies su|i|iiimés île K, ; j° deux petits arcs laisanl le raccoi- 

demi'nl. Celle courlje (]', eoupe T en des points (|ui loni |)artie des 

jjoints M,, M|, ..., Maj.M!,, ..., mais leur nombre est Jiioindre. 

Je ])eux ap[)lii[uer à la courbe C!, les raisonnements faits sur C, 

cl jolnih'c deux cerlains points M, , M!, par un chemin K. tracé sur 1" 

et ne c(jupanl pas 1,. Si M^, M, ne soni |ias eonséculils, j en\i- 

sagerai Tare M, M, de K,, soit K.,, el je recommencerai sur la 

(durlie K , I K.. I,e nondjre des |poinls tels que M,, Mo allant en 

diniinnanl e| TopiMaliou pou\anl se |ioursuivre tant qu'on na 

pas obleini de points consécutifs sui' ('.,. je linirai par en obtenir. 

Appelons M,. M., ces {\c\\K points eonséeni ils. K Lare qui les joint 

sur T el K' l'aie de (',, sur lecpiel il n'y a i>as de [loinls de T en dehors 



284 LOUIS A>TOI>"E. 

des extiéiiiiu-s AI,, M,. La rmabc K -j- K' ne cuupanl pas il, uVsL 
pas enlac'CP avec C. C'est celle j)ii)j)riélc que je vais luaiiitejianL 
utiliser. 



ôii. Cinisulérous une dei mère ct)Ui'be auxiliaire K' j(>j>j|ianl sur 1" 
les points M, et Mo. Pour préciser K", je supposerai qu un poiul M' 
décrit K' el qu'à chaque position de M' je lasse eorrespundre un 
point M de l'intersection de T par le cercle limité à la circouféreme ( ', 
passant en M'. K" sera l'arc décrit par M que je suppose se déplacer' 
de façon continue. Je peiix supposer en outre que K" coupe C 
en un seul point M„ et il y aura en ce point, sur T, traversée de C 
et K''. t)n pourra d'ailleurs passer de K' à K" dans une seule région 
de T, les points M,, M., ne bougeant pas. La courbe fermée K + K" 
peut avoir des points mvdtiples, mais cela n'a aucune importance. 
Soiejit a,. 3, ses coefficients d'enlacement avec l'axe et le lieu des 
centres îles juéridiens de T. 

Nous distinguerons deux cas suivaut que K' est intérieur ou exté- 
rieur à T. Supposons d'abord K' intérieur à T. Amenons K' sur K' 
par la déformation indiquée ci-dessus. Puis amenons C intérieure- 
ment à T, à coïncider avec | a ' fois le lieu des centres des méridiens. 
Le coefficient d'enlacement de celte nouvelle position de C avec 
K + K" est en valeur absolue [a^, [. D'autre part, C et K + K' 
n'étaient pas enlacées. Mais les déformations faites sont en réalité 
des délormations de ces courbes, au cours desquelles il y a une 
traversée (et une seule) en M„. Le coefficient d'enlacement a doue 
augmenté d'une unité en \aleur absolue. Donc | a3, | = i. Ceci 
exige ja| = i. 

Un raisonnement anabjgue montre que. si K' est extérieui' à T, 
on a 1 ,8 I = I . 

Donc, SI la idirespondance entre C e| uni' circonféreiirc |irut 
s étendre à louL l'espace, el si aucun des nombres a^3 n'est Jiul. l'ini 
lie ces nombir^s est égal à -j- t ou à - i. c.o.i . d. 

ô.". 11 résulte de <-eei cpie la eomlilion nécessanc et sullisanle 
pour <iu uni; courbe C tracée sur un loro soit jrunlièrc d une culotte 



I.'lloMI'iiMonPIIIK DK IIKUX IIGI'RKS Kl' IiK I.KIIIS VOISINAGKS. 285 

siiiipleiiK'iil. connexe sans ptiinl inulli/ilc csl ([m- rmi tli-s iiuinhri-s 
a, '') soil ('•«riil j'i o, à -f- T 1)11 ;'i I. 

N.(Mis \ciiiiiis (le |iniii\('r (|iii- cri h- ((hhI 1 1 n >ii ('hiil ii(''ccs.Saii'(; 
|Miiir (, . l'Jlc csl ('•c;i|ciiiciil ii(''ccss:iiic |iniii' (.. |iiiis(|nc la c(irrcs|)(jn- 
ilaiicc ciilrc C ("I (y s'rli'iid à Imil rcspacc i'"JI<' csl su llisaiitc, car, 
dans vr i.';\-^. la ciii-i'cs|i(in(la ncc cnirc ('. cl \\\\v circniirci-ciicc s'étend 
à hml rcs|iaci\ la calnllc scia I'Iiuiik ildciic du ccn'lc Jiniilô par la 
fircoiiléicncc. 

RoniartHKins ciiliii (|tic si la cnncs|)(imlaiicc ciilic (', cl mu- cii- 
conlérciifc ne pcul pas s'étemlic à luiil Fcspaci', rlic s'étend néan- 
moins aux Noisiiiages de ces couilx's. IJ en est en ellVl ainsi pour C 
et une ciieoniérence : elle s'étend à l'intérieur de T' d'une part et 
d'autre part à l'intérieur d'un tore dont la eireonlerenee serait le 
lieu des centres des méridiens. 



I\ Exemple de deux arcs homéomorphes seulement 

en eux-mêmes. 

i>4. I/éludc (|ui \icnl (rèlrc laile des courbes I racées sur le 
tore T va nous periuellic de coiislruirc un arc 1' dont la correspon- 
dance avec un segmeiil de di-oiic y ne peu! sélendrc à aucun voi- 
sinage. 

(Considérons sur T la courbe ("/ définie par les é({ualions (5) du 
Ti° 46, oj = a^ o = fi/, où / varie de o à f ci où nous su|)poserons a 
e| p supi-ricuis à i cl premiers cnire eux. Sur ("/, inanpnuis deux 
jioinls A, \\ de pai'amètrcs lespeclivenienl assez \-olsins de i> et i 
|)iiur (pic riiii (Jes deux arcs AB de ('.'. sdil \ , ne ciaipc pas les deux 

])aiallèles — -. Ci ^ ,- de '\ . Ces |)arallèlcs liniilciii cliacun 

1 ' 1 

un cercle. Ajoiilons à ces cercles les polnl-^ de T pour lesquels on 

a , <C '-^ <^ - • Nous conslllnons ainsi lun- siirldie siinpletnenl 

'I ' I 

connexe sans pontl mulli pic (] ipic jiil iliscrai dans un iiisj ani . 

.I'u|)|)eile \' le second arc Ali de ('.' . 

Marcpions sur l'axe des ; un poini I' de cole supi'iiciirc à 3 v. 
Prenons les IkhihiI bel lipies de (',', A. \\. V, A'', (] par lapporl à 1' 



286 LOUIS ANTOINE. 

dans lo rapport [- ) , n étant cnlier ])ositif,ot désignons ros homo- 

thétiques par la lettre correspondante affectée de Findiee n. Le 
choix du point P est tel que les surfaces Q„ sont extérieures les 
unes aux autres. Joignons BA, cxtérieiuenient à ces surlaces, et 
])renons encore les hoinothétiques de cette ligne. La courbe che.rcJiée 
V est formée de : i° les homothéticjues de V C[uand on donne à n 
toutes les valeurs entières; 2° les honiothétic{ues de BA., ; 3° un 
segment PP' de l'axe .des z, P' ayant une cote supérieure à celle de P. 

6:^. Supposons que la correspondance entre F et un segment de 
droite y puisse s'étendre à leurs voisinages. Soit p l'homologue de P 
sur Y- 11 existe une sphère de centre p et dont tout l'intérieur appar- 
tient au voisinage considéré de y. Dans cette sphère, considérons 
une courlie c formée d'une demi-circonférence de centre p cl de 
son diamètre porté par y. Elle limite dans son |ilan une calot le 
simpleinent connexe n. A c correspond une courl)i' C Iront ière dune 
calotte simplement connexe sans point multiple 1, homologue de ct. 
La courbe C est formée d'un arc, portion de F auquel a]5partient P 
et d'un arc ayant un écart non nul avec P (homologue de la demi- 
circonférence), donc extérieur à une certaine sphère de centre P. 
Mais je peux déterminer n assez grand pour que Q„ soit tout entier 
intérieur à cette sphère. C comprend donc l'arc V',^ et un arc exté- 
lieur à Q„. Je dis qu'il est impossible (niune telle courbe soil l'ron- 
tière d'une calotte simplement connexe sans poiiil mulliple. I*"n 
raison des homothélies faites, il me suffit de prouver que Ja coitrhe C, 
soiniue fie V et d'wi arc \" exlérleur à Q. ne peiil jxis rire jroiilière 
d'une telle calotte. 

;>(». Supposons C(u'il existe iiiic cilotte il limitée à {'.. l'aisons une 
.inversion par ra])porl à un pninl inléiieur à '!" el nnii siIik' soi- —. 
T se change en une sinlaci' ([ui lui csl homédUKuplie, par coiislnic- 
tion. Mais si I (in lail ciii rcspnndic aux mh'tkIiciis les inxciscs des 
])arallèles el imcrsenirnl . la (■(ii'ii'S|Hiii(laiirr |miiI s(''l('rnlrc à Iniit 
lespacc, comme on s'en rend com|)lc aiséincnl. car Ici il s'agil (!<■ 
snri'aces analytiques simples. Supposons celle e.\lensl(in lailc I! 



l'hOMÉOMOBPHIE de DEIX FIGl RES ET DE I.EIUS VOISINAGES. 287 

correspond à C une fombe analogue, mais pour laqufll»' les nom- 
bres a, j3 auraient ('■té periiiiilés, ce qui n'a aneune importance ici. 
A Q correspond un»- siulace simplement connexe intérieure à '1", 
et à V" une courbe intérieure à la surface coriesponflant à Q. 
T,a nouvelJe courbe C seirait frontière d'une cabttle 1, la corres])on- 
dante de celle limitée à l'ancienne courbe C. Hemarqucuis tlailleurs 
que nous jiouvons supposer que les arcs de \" voisins de A et B 
sont analytiques, et alors, par une déformation de l'espace, n'alté- 
rant que l'intérieur de Q,'nous pouvons amener V" à être intérieur 
à T et à la sphère de diamètre AB. Je peux enfin supposer A, B assez 
voisins pour que cette sphère soit intérieure à la surface T' définie 
au n" iU. 

La figure ohtenue. est donc la suivante : la sphère de diamètre AB 




est intérieure à T'. PLlle découpe dans 1" une calotte l limitée par 
une courbe S et soit Ij, la iiorlimi de cette sithère intérieure à T. 
C est une courbe formée de \' d d'un arc \'" allant de A à B inté- 
vii'urenii'iil à la surface Q = IJ + U,. Il s'agit de pidincf (pn^ T. 

Jouin. Jf Malh ( s- <.ti.M, i..im.- IV, l'.i*. UI ^~ 



288 LOUIS ANTOINE. 

ne peut pas être frontière crime ealotle simplement connexe sans 
])oint nniltiple (fio. i2i. 

iî7. SiijiposuiiS (.(ii'il existe luu- ruliitle 1 avuul (. pou:' lion- 
tièie. Comme Q est mtérieureà T', les rais<iiineinenls faits au n" -iO 
sur C, T' et — s'appliquent iei à C,T' et S. Il existe alors une calni le 
S, de frontière C qui n'est pas coupée par une courbe C, de 1 ' ipii 
a pour équations co' = xt, o' = |3'/ {^' ^ o). 

Enfermons I!, dans un domaine polygonal D non enlacé avec C, 
cl (\>' laçiiii que rinterscclKiii de D avec T (et aussi avec la suilacr 
qui s"cii déduit en icmjilaçaut F ]iar l ,) soil conslituéc |>;ir un 
iKiuilirc fini de courbes 1 sans piiiiit niuJti|ilcct sans piuiil cmn- 
mun. iNous supposerons encore que, si une courbe I rencontre S, 
elle traverse S en ce point de rencontre. Les tronçons des courbes I 
intérieurs à U se répartissent en deux catégories : la première est 
formée des tronçons dont les deux extrémités sont sur le même 
arc AB de S; la seconde est formée des tronçons ayant une extré- 
mité sur chacun de ces arcs. 

Considérons d'abord les tronçons de la première catéoorii\ In 
raisonnement, analogue à celui du n" '(.'>, ])erniet de les l'aire dispa- 
raître, grâce à une déformation de T sur lui-même naltérant f[iruii(' 
portion un peu plus gi'andc (|ue U. Cette déformation ])ouria 
d'ailleurs l'aire sortir de L des cdurlx'S 1 lo1alemen1 iiiléi'icuris à l . 
Luc telle (l(''liii mal mu |)eul être réalisée |)ar uue (li''l(irui;i I imi de 
res[)ace n altérant que le AOisinage de [ (n" 5()j. doue ne luodi- 
lianl pas C ni C',. Après cette délormatioii, 1) devient un unii\-eau 
dniiiauie non enlacé a vi'c (^^ et en ferma ut encore une <aliil I e liiiutee 
à C cette ealolle étant ce qu'est de\eiiu 1, après la défin mat luii. Il 
n'y aura plus de tronçons de première catégorie dans l et le 
uiunbre des exi réuiilés de tronçons aura ('•le dlniiiiui''. 

Si, dans l ,. il y a des tronçons de prennère catégorie, je leiai 
un raisonnejnent analogue, en remplaçant l par l , et je feial 
disparaître ces tronçons, en dimmiant toujours le ikuuIm"' des 
extrémités sur S. La déformation pouiiail jpenl-èlre faire rca[ipa- 
raître des tronçons de premièie catégorie sur l : je recdiumcnceiai 
alors ro|)ération sur l pniir les faire dispaïaîl le et :inisi de suite. 



L'iloMKdMdltl'IlIK I)K liKUX VlC.l HKS ICT IiK LKlItS Vol SINMiKS. 2»9 

J'arrivciai liiialemoiit à no plus avoir ilc tronçons di" picnuèrc 
calôo-oric, ni sur l', ni sur U,, car chaïuni- (l<'s oiiérations diminue 
le nonihii' (lis ixtrriniirs sur S cl n- iioiiilirc est (ini. Il ne restera 
))lus ([uc des I ronrons de seconde calcooric. Si je décris les deux ares 
AB de S à parlir de A el (jue je nuniérole les extrémités de tron- 
eons au l'ur el à mesuic de leur rencontre, les exi rémités ayant le 
même nujucro ne |ic\ivenl cire extrémités (|ue dnn mèjne tronçon 
dans [ el d'un uicnie Iroru'on dans l',. Mais ces deux liouc'oiis. 
l'un dans l . laulrc dans l ,, lormenl une courlic enlacée avi'c (.. 
Ceci esl impossible }uiis(pie les lignes I apparl icnncnl à la Ironlii're 
de 1) et par suite ne coupejit pas I,, ceci à tous les stades des détor- 
mations laites. Il ny a donc plus d'extrémités de tronçons sur S. 
S'il y a des points des courbes I à l'intérieur de U, ils sont sur des 
courbes I totalement intérieures à U. Je peux alors faire une défor- 
malion de l'espace, iTallérant (|n"une région 1res voisine^ de l . de 
laçon (|u<' ci's courbes ni' coupent plus ^ . \ est alors, ciunme A 
el l3, lolalemenl intérieur à D. 

Nous pouvons alors re})rendre les raisonnemeuls des n*^* .'» l et '.i'I 
en renouvelant, chaipie l'ois que cela sera nécessaire, les dél'orina- 
tions indit[uées ci-dessus pour le domaine l>. Nou< en dedunons 
une courbe telle i[ue K + K'. non enlacée a\ .c C. coniprcuanl une 
porlion K' apparicnani à C, el une |MMlion K sni- I. extericmc 
aux divers domaines D. ibuic ne coupant pas \ . Mais \ ' élanl uilé- 
lieur à (^>. on peul passer de \ ' à \. el par -uile di' (". à C sans 
cou|iei' K -r l'^'- I'^ + l*^' " '""' 'I'""' 1'"^ enlacée :i\ic ('.' . 1 .e rai- 
soiuienicul s'achève comme au n" ."J'i cl Ton en c(Uiclul <(ue x^ i 
ou 3=1. ce (pii es! coniraire aux h\ pollicses lailes. 

houe la coi'rcspoiulancc cnlic 1" el y ne peul s'clcndre à aucun 
\oisukil;<'- 

:;H. I.a pi'oprii'h' de r iM'iil à la tnruie de cell e courbe au \ oisi- 
nao-e du poini 1'. Appelons alors 1" un arc <le 1" ,pn'lcon<|ue. pourvu 
loulel'ois ipi'il c(uilieune le |)oiul I' conmie ponil mierieur. au sens 
siricl. i'oul arc sans point luulliple doni 1' la il |iai lu e>l Ici ((uc sa 
correspiuHiance axi-c un seuuu'nl de droite ne peut s étciub'c a 
aucun \oi<iuai^e. (".cl arc ne peut lalie partie de la honlicre d nue 



2gO LOUIS \MOI.NE. 

calotle slniplcinfiit cumiext- sans point iiiuluplc. De juèiiu', la coi- 
lespondaïuf entre une eirconférenee el nne courbe fermée sans 
point multiple dont F' est un are ne peut s'étendre à aucun voi- 
sinage. Une telle courbe ne peut pas être la irontièn- dune calotte 
simplement connexe sans point multiple. 

Je dis, de plus, que F' (et par suite toute cipurbe cnntenant V j 
ne peut pas être considérée comme tracée sur une surface sans point 
multiple. Il faut entendre dans cet énoncé le mot surface avec la 
restriction faite habituellement en Analysis situs : pai'mi les modes 
de décomposition de la surface en éléments, il en existe au moins 
un tel qu'un point donné P de la surlace appartienne à un seul 
élément. 

Supposons qu'il existe une surface contenant F'. Divisons-la en 
éléments de façon que P appartienne à un seul élément Z. P appar- 
tenant à Z seul, il y a un arc de F' ayant P comme point intérieur 
(au sens strict) qui appartient aussi à 1 seul. 

Décrivons F' dans les deux sens à partir de P jusqu'aux premiers 
points Q, Qi qui appartiennent à un élément autre que 1 et appe- 
lons F" l'arc QPQ, de F'. Considérons un des deux arcs QQ, de la 
frontière de ^ (celui qui ne contient pas P, si P est sur la fron- 
tière). Conservons de cet arc la portion Q' Q', qui ne touche Y" 
qu'en ses extrémités, Q' étant sur l'arc PQ de F" et Q, sur l'arc PQ'. 
La courbe formée de cet arc Q' Q', de frontière et de l'arc Q'PQ, 
de F" limite sur Z une calotte simplement connexe sans point mul- 
tiple. Or ceci est impossible, puisque la Iront icre de cette calotte 
comprendrait un arc du type de l'arc 1'. 

\ . — Correspondance entre les ensembles de courbes. 

i\\). l'nur trniiitier ceUe étude, disons un nml du cas où l'un cliei'- 
(Inrail à éleiidrr la correspondanct; entre ilenx j^riHipes lorniés 
chacun de deux cnurbes, C,, Co d'une part, c,, c, d'autre pari, lei- 
mées, sans ])oint jnuitiple et sans point commun. Pour (jue la cor- 
respondance entre C,,C^ et fi.f. puisse s'étendre à leurs voisinages, 
jl laut <'t il sutlit iiiiiiiirisl riiiriii (|u il en soit ainsi pour la l'orres- 
pondance entre C, et t, il jmiui la i iniespnndance eut re C, et c^. 



l,'ll(.MI,nM()Ftl'IIIK IPli IH;iI\- IIIITIIKS KT UK I.KIIIS Vi il s r N \<;KS . 2gl 

Pour (iii'cllc [juisfie séleidre à Imil rcsiiace, il laiil i-iirorc qu il imi 
soil ainsi pour la cuiTcspondanci' ciilrc C, d c, d la ((irrespouclauco 
culi'c C. cl c... Mais ccric coiidilioii iiCsl plus sullisaiiLi-. L'cxU-iisioii 
à l.onl, l'espace iic sci'a, ])ai- cxciiiiilc, pas |)<issil)lc si le roclliciçiil 
(rciilaccmi'iil (le C, et C, n'csl pas v<^:i\ au cnclliciciil (rciilaceiueiit 
(le c, cl c... Mcnic si CCS ciicilicicnls soiil cnaux, il ne sera jnis toii- 
pMiis possible (le lairc celle cxIcMsioii. Voici un exciii]>le où Ion se 
trouve dans ce cas. 

(JO. Cojunu- courbes c,, c.,, prenons deux circonférences d'un 
nicine plan, extérieures l'une à l'autre. Comme coui'lx- ,C,, prenons 
une circonférence du plan des xij cl, de centre l'origine des coor- 
données. 

Pour définir C.,, marquons un segment FF' de milieu O, porté 
])ar l'axe (Jy et intérieur à C,. Marquons un segment équipol- 
lent llfl' ayant son milieu H, sur Ox et extérieur à C,. Construi- 




sons un rectangle AA' 15' 15 ayaiil ses côlés A.\', IMV cciuipoUcnls 
à h'I'', leurs milieux A,, B, élant dans le plan .vOz, cl ses côtés AB, 
A' B' paralIcMes à Oz cl a\anl pour milieux II. H'. Appelons G, 
G' les deux arcs de circoidV'rciicc AIT') cl A' I'' 1')'. Sur le cylindre 
dr ré\(ilulioii d'axe II H' cl de gciicralricc AA' li'ai^'iuis les deux 



292 LOLIS VNTUl.NE. 

spires crhélicc ne se eoupant pas AB, A' (soit G,) et BA, B' (soit G',). 
La courbe C, est la réunion des quatre arcs G, G', G,, G, [fig. i3). 

La correspondance entre C, et c, s'étend à tout l'espace, ainsi 
que la correspondance entre C^ et c... c, et c, ne sont pas enlacées. 
C|, C^ ne sont pas non plus enlacées, car C^ coupe le cercle limité 
par C, aux deux seuls points F, F' où les traversées sont de sens 
contraires. Je dis que néanmoins la correspondance entre le groupe 
C,, C, et le groupe c,, c.2 ne peut pas s'étendre à tout V espace. 

Retenons- les trois propriétés suivantes du «iroujjc c,, c... Fc 
cercle limité par c, n'est pas coupé par (_,. Fc cercle limité par c\ 
n'est pas coupé par c,. Il existe une sphère contenant c, à son inté- 
rieur et c, à son extérieur. En rapprochant ces propriétés des 
trois théorèmes démontrés ci-après, nous avons trois preuves de 
l'impossibilité d'étendre la correspondanci- ((insidérée à tout 
l'espace. 

Pour démontrer ces ihcorèmcs, j'utiliserai une calotte de sur- 




l'ace S ayant Cj pour Ironlière cl c(unprenaiil : 1" nue surface cylin- 
drique de srénéralrices parallèles à ( >// cl de hases G cl G': i^^ deu\ 
conoïdes liinils d'axe A,B, et de direetrires lespeel i\ enieni (r, 
et G',. S a une ligne double A, B,. Ou peni ie|iiésenler S sur I inté- 
lieuv S d'une lirconlérence Y- 'f* ^i?"*' «lo\ible ilinil rejiresenli'e p;ir 
deux seoiueiils a, h\. a\ l>, de jiarl et d ;nilie ijn diaiiietie //' qui 
représenli' la iféuéralricc l'I"' [fii;. Il]j. 



I.IIOMKOMOnPMIE r>K PEUX KIOIÎRES ET DE I.Eins \(tISIX\GES. SqS 

fil. l'HÉonfeMi-: I. Toute cdlolle si nipleinenl miinere snnf; point 
iiiiilliple ayant (1, pouv frontière coupe C^. 

Sll])J»()S()nS (|U il cxislr une telle calnlte 1 ne couy^ant pilS C;. 

I'>iiif'rjii(nis — (liiiis un (Inniiiine |iiil\ édial I) non eMlacr avec (.^ 
(ll*^ 35). .\|i|ielniis (I reiisenilde lies |)(iinls (le v re|iléseM I a ni lies 
])i)iiils (le S a|i|iail enani à I). .[e dis ([ne je peux joindre a^ e| li 
à I inh'iienr de .v par un aie (lieue p(d\ jidiiale i ne loin liani pas </. 
S'il en ('lail anireinenl. il y aurail dans la IVotil if're (analyli(jiu') 
de (/ une eiillllie l ax.illl ee^ deux piilllls liailS des léoiims diflé- 
ICIiles. I, lllli'llelir de / re pri'X' 1 1 1 e aliilS une ealiille de S 1 la \ erséc 

en un seul puinl par (.j. el (.^ >erail enlae('-e a\ei- la ennrlie I (pie 
repri'senle '. (ieei esl i mpi issi Me. pnis([iie I apparlienl ;'i I ), nnu 
(Milacc avec C^. 

Soit alors y' le chemin joignant a^ b\. Considt'icuis la courbe V 
tracée sur S et représentée par : i" Tare />, ja^ dey; 2° l'arc y', décrit 
de a\ vers h\. Cette courbe est fermée et traverse le cercle limité 
par C| en des points sur FF', la somme aloébrif[ue des traversées 
étant 1. Elle esl donc enlacée avec (".,. D'autre |)arl. elle esl exlé- 
lieiire à l), donc ne coupe pas X. .Nous arrivons à une c(hiI radie- 
lion, 

(>2. Théorème II. — Toute calotte sintpli-nicnl connexe sans point 
ninllii'Jr rpd a C.^ pour frontii're coupe C.,. 

Snppiisons ipi'il existe une telle calotle - ne coupani |)as C,. 
]MilViiuon>-la dans un domaine polyi'dral !> inui enlace a\i'c ("., 
et soll (/ renselldile des points de .v (pil repri'Sen I en I des points de S 
appartenani à M. (/, el /', apparl leiinent à '/. car ils représentent 
des |ioints de 11.^, donc de 1). ,1e peux joindre «, h^ à l'inlériein' de s 
par un ( liemin y' apiiartenanl tout entier à (/. Sans cela, il y aurait 
sur S une courlie I ap|Kirlenanl à la Ironlière de H cl <pii serait 
enlacée a\cc C^. ce (pu ('sl impossible, car une telle courbe ne coup'c 
pas 1. i^a courbe V envisagée au numéro précédent est enlacée 
avec (".,. D'autre part, elle est entièrement intérieure à D et ne doit 
par suite pas être enlacée avec C,. Nous avons encore une contra- 
dict i(Ui. 



29 t LOUIS ANTOINE. 

(iô. Théorème III. — Soit Z une surface simplement connexe 
sans point muUipJe et sans point commun avec C, et Co. Ces deux 
courbes sont dans la même région de Z. 

Enfermons S dans un doniaino polyédral D non onlaré avoo C, 
et Cj et soit d l'ensemble des points do s qui représentent des points 
de S appartenant à D. Un peut joindre a\ b^ par un ehemin y' ne 
touchant pas d. Sans cela il y aurait sur S une courbe l apparte- 
nant à D et qui serait enlacée avec C^, ce qui est impossible. La 
courbe F du n" (M reste extérieure à D, doue ne coupe jias Z. 
D'autre part, elle est enlacée (deux fois) avec C,. Donc C, et P 
sont dans la même région de i (n° ô\]. Il en est alors de même de C, 
et C^, puisque F emprunte un arc de C^, l'arc G. 

0-5. Les courbes C,, C^ jouissent donc des trois propriétés précé- 
dentes, qui appartiennent aussi aux coin-bes enlacées et qu'on aurait 
pu être tenté de supposer caractéristiques des coiu-bes enlacées. 
Nous rencontrerons dans la deuxième Partie, une singularité de 
même nature, mais plus frappante encore : nous définirons une 
courbe non fermée qui est coupée par toute calotte simplement 
•connexe sans points midtiples ayant povir frontière une certaine 
circonférence. De plus, l'cMisemblc des points d'intersection n'est 
pas dénombrable. 

Nous verrons aussi, dans la deuxième Partie, de nouveaux 
exemples de deux arcs homéomorphes seulement en eux-mêmes, 
comme ceux définis au n° o-'l. Nous définirons aussi deux cmirbes 
non fermées tbinl la rorrespondaïui' peiil s"éleiiili<' à Irms Miisi- 
nages, mais pas à inut l'espace. 



i.'iiOMicoMORPHiiï i)K ni:ux riGUiiEs kt de i.EiHS voisiNAGKs. 295 

SECONDE l'ARTIE. 

LF.S ENSr.Mr.LRS l'AlilAITS l'AISTOUÏ IliSCONTI.MS ROIÎNKS. 



CHAPITRE I. 

l'IlOI'KlfiTÉS liÉNÉRAI.ES DES fiNSEMBLES FERMfiS DISCONTINUS. 

(Jo. Définitions. — Considérons un ensemble F de points dans 
l'espace E„ à n dimensions. On dit que l'ensemble est mal enchaîné 
entre deux de ses points M,, Mj, s'd existe un nombre v] non nul, 
tel qu'il soit impossible de construire une ligne polygonale ayant 
pour extrémités ces deux points M,, Mo, dont tous les sommets 
sont des points de l'ensemble et dont chaque côté ait une longueur 
inférieure à r^. Nous dirons encore, pour abréger, que ce nombre rj 
est tel qu'il est impossible de cheminer sur V ensemble, de M, à M„ 
par pas tous inférieurs à -i]. 

Remarcpions cjue si nous avons déterminé une valeur r, satis- 
faisant à ces conditions, tous les nombres inférieurs à cette valeur 
y satisfont aussi. De plus, y) ne peut pas être pris supérieur à la dis- 
tance M, Mo. Donc les valeurs possibles pour yj ont une borne supé- 
rieure £ ayanl. les propriétés suivantes : Si •/] < £, on ne peut pas 
cheminer sur l'ensemble de M, à Mo par pas tous inférieurs à r,. 
Si Yj > £p, on peut cheminer sur l'ensemble de M, à Mo par pas tous 
inférieurs à Y]. Oest ce nombre tf que f attacherai désormais au 
couple M|, Mo si r ensemble est posllij mal enchaîné entre ces deux 
points. 

Si M,, Mo-, M',, M', soni (|ualic poinls de rcnscmble et si les 
distances M, M',, Mo M', sont inl'érieures à 0, ou bien £f(M,, Mo) 
et £,. (M,, M'J sont tous deux inférieurs à 0, ou bien ils sont égaux; 
car on i)asse de M, à M, et de Mo à M!, par des pas inférieurs à 0. 
Donc si M', et M, tendent vers M, et M,, £f(M',, M,) tend vers 
£i (M,, Mo). £,,(M, Mo) esl une fonction coiilinuc des couples de 



Jouni. de Math. (S- si-ric), lonic l\. — l'aso. 1\ , 



38 



296 LOUIS ANTOINK. 

points M,, M^ de leiisemble; cest-à-dire des 2» coordonnées de 
ces points. 

Un ensemble est dit partout discontinu, s'il est mal enchaîné 
entre deux quelconques de ses points. Nous dirons aussi pour 
abréger que l'ensemble est discontinu. 

?sous allons étudier ceux de ces ensenrbles qui sont fermés, et 
surtout ceux qui sont parfaits et partout discontinus. 

66. Théorème. — Soit F un ensemble fermé partout discontinu 
et soient S,, Sj deux surfaces sans point multiple {variétés fermées 
an — I dimensions) dont Vune S, est intérieure à Vautre. On peut 
construire une surface polygonale V, sans point multiple, ayant un 
nombre fini de sommets, intérieure â S, et ayant S., à son intérieur, 
et ne contenant aucun point de F. 

Ce théorème généralise un énoncé dû à M. Painlevé (^) : Etant 
donné un point M d'un ensemble, parfait, partout discontinu et 
plan, on peut enfermer ce point dans une ligne (analytique, par 
exemple) ne contenant aucun point de l'ensemble et dont tous les 
points sont à une distance de M inférieure à un nombre donné. 

Pour légitimer notre énoncé, considérons tous les couples M,, 
M2 formés d'un point de F situé sur S, et d'un point de F situé 
sur So. Ces points forment deux ensembles fermés discontinus F, 
et F„; si, par hasard, l'un de ces ensembles F,, par exemple, n'exis- 
tait pas, nous adjoindrions à F un point F de S,, alors F, existerait 
et se réduirait à P. Les ensembles F, et Fo étant fermés, la fonction 
£f(M|, m,) atteint sa borne inférieure 9, pour un couple M,, Mo 
convenablement choisi et par suite 6, est différent de zéro. 

Adjoignons à F tous les points de S, et de S^ et considérons, pour 
l'ensemble -f ainsi obtenu, la fonction î.f (M,, M_,), M, étant sur S, 
et M^ sur Sj. Cette fonction atteint encore sa borne iiiféiicure 0. 
Je dis que 6 est différent de zéro. 

Sans quoi, si petit que soit y] > o, on poiurait aller d'un ])ninl M, 
de S, à un point M^ de S, par pas inférieurs à yj en ne rencon- 

(*) Voir la Thèse de M. Zorf.tti {.Jouninl dc^ Mathèmntiques, Çfi série, l. I, 190.5, 
P- 9- 



I.'lInMHoMOHPHlE DE DKUX FIGLKKS lOT IJIi LKMl'- XnlM.NAGKN. 297 

traiil que des points de 3. Soient m, le dernier ix.inl de S, rencontré, 
m., le premier point de S, rencontré, p, et p., les points rencontrés 
respectivement, immédiatement après m, , immédiatement avant m^. 
Pi et pa sont des points de F, t,{pi, pg) est au plus égal à y;. Don- 
nons à Y] des valeurs décroissant jusqu'à zéro; de cette suite di; 
valeurs de y), on pourra toujours extraire une suite partielle telle 
que les points p, et p, correspondants tendent respectivement vers 
deux positions limites, m, et m, : ces points limites des points p, 
et p, de F appartiennent à F; m, est sur S,, m., est sur S,, car p, 
et p., étaient distants de moins de r, l'un de S,, l'autre de S,. Et 
puisque £,.(M,, M,) est une fonction continue, on aurait 

£(.(/»i, ;»2) = o; 
ce qui est contradictoire, puisqu'on a nécessairement 
£i(w,. m.,) *;, > 11. 

(>7. Pavons l'espace à l'aide de cubes égaux de tliamctre d, 
Inléricui- à -0. Et considérons les domaines formés par ceux de ces 
cubes qui contiennent, à leur intérieur ou sur leur frontière, un 
point de ;1 Deux points P, Q de -f situés dans un mêrnc domaine 
sont deux poi^Us pour lesquels £j(P, Q) est au plus égal à 2^ < 0; 
donc tous les points de S, sont dans un même domaine D qui 
ne contient aucun point de S,. Tous les points de D pouvant être 
joints à So sans sortir de D, donc sans rencontrer S,, tous ces 
points sont Intérieurs à S, eL les différentes surlaces polygonales 
limitant D sont intérieures à S,. Elles divisent l'espace en régions 
dont une seule est non bornée et celle-ci est limitée par une seule 
des surfaces frontières de D, soit V. 

V répond à la queslion, elle est intérieure à S,, elle contient S, 
à son intérieur, elle ne passe par aucun poini de 1'. H est vrai que V 
peut avoir des points singuliers parce que deux cubes peuvent avoir 

en commun, sur V, un sommet, une arête, une frontière à 

n - 2 dimensions: mais alors, il n'y a pas île jioints de F sur cette 
fr,,nlière ni dans un certain voisinage de cette frontière et, sans 
sniiir lie ce voisinage, on peut niodilier V, en augmentant ou 
irmiiimaiil I >, de la(:nii à faire «lisiiaïaîti'e les singularités 



298 LOUIS ANTOINE. 

68. Théorème. — Soit un ensemble fermé partout discontinu 
borné F et un nombre A. On peut enfermer F dans un nombre fini de 
surfaces polygonales, ne touchant pas F et dont chacune a un dia- 
mètre inférieur à A. 

Pavons l'espace à l'aide de cubes égaux et ayant un diamètre 
inférieur à A. Envisageons ceux de ces cubes qui touchent F et 
soit Sj la fror^tière de l'un d'eux. Entourons So par une surface S, 
ayant encore un diamètre inférieur à A (une frontière de cube, par 
exemple). Construisons la variété V intermédiaire entre S, et S^, 
définie par le théorème précédent. Faisons de même pour chacun 
des cubes conservés, cubes qui sont en nombre fini puisque F est 
borné. 

Toutes les surfaces ainsi construites, c[ui se coupent, partagent 
l'espace en cellules et tout point de' F est intérieur à une de ces 
cellules et une seule. Chacune de ces cellules est d'ailleurs une por- 
tion de l'intérieur d'une des surfaces V construites, donc a un dia- 
mètre inférieur à A. 

Considérons une de ces cellules qui contient une piMtlon de F; 
soient F' cette portion de F et V la frontière de la cellule. V a un 
écart non nul avec F'. Pavons l'espace à l'aide de cubes ayant un 
diamètre inférieur à cet écart et conservons ceux qui touchent V. 
Us forment un domaine d'un seul tenant auquel F' est extérieur. 
Les frontières des régions extérieures à ce domaine et conlciianL 
des points de F' peuvent être rendues sans ixiint muUiple et sans 
point commun, comme il a été fait pour V au numéro précédent. 
Elles constituent une partie des surfaces cherchées. En faisant la 
même opération pour chacune des cellules rjui contient des points 
de 1', j'aurai I mil es les sinlaces cherchées. 

(jî>. Ce théoièjne va nous jx'rjnettre dal lailirr à I cnscnililc I'' 
une infinité dénomhrabh; de surlaces polygonales V telles que F 
coïncide avec Vensemble des points qui sont intérieurs à une infinité 
des surfaces V. 

Donnons-nous arbilrairciiienl un nojubre A, cl ciifcriiHiiis V dans 
un nombre fini de surfaces polygonales ayant chacune un dianiclic 



1. lIOMKOMOliPinE DE DEUX FIGUHES ET DE LEUHS VOISINAGES. 299 

inférieur à A, (n° 68). Nous appollerons ces surfaces polygonales, 
les surfaces d'ordre i. A l'intérieur de chacune d'elles, il y a une 
porlioii lie I' (|iii est, comme F, un ensemble fermé partout dis- 
continu. 11 peut d'ailleurs arriver que certains de ces ensembles 
partiels se réduisent à un point. Envisageons d'abord ceux de ces 
ensembles partiels qui ont au moins deux points, et soit 1., un 
nombre inférieur au diamètre de chacun d'eux et à la inoitié de A,. 
Enfermons chacun de ces ensembles partiels dans un nombre fini 
de surfaces polygonales ayant un diamètre inférieur à Aj et tota- 
lement intérieures à la surface d'ordre i qui le contient. D'après la 
première condition imposée à Ao, nous aurons ainsi au moins deux 
variétés pour chacun des ensembles partiels envisagés. Quant aux 
ensembles partiels réduits à un point, nous enfermerons chacun 
d'eux dans une surface polygonale de diamètre inférieur à A^ et 
intérieure à la surface d'ordre i qui le contient. Les surfaces ainsi 
défîmes constituent les surfaces d'ordre i. 

A partir de ces surfaces d'ordre 2, nous construirons des surfaces 
d'ordre 3, comme nous avons construit les surfaces d'ordre i à 
partir des surfaces d'ordre i; nous continuerons indéfiniment. 
L'infinité dénombrable de surfaces ainsi construites se répar- 
tissent en surfaces d'ordre i, 2, 3, . . ., A, . . . el ont les propriétés 
suivantes : 

a. Quel que soit A, les surfaces d'ordre À sont en nombre fini et exté- 
rieures les unes aux autres; 

h. A ï intérieur de chaque surface d'ordre A, il y a au moins une 
surface d'ordre A + i, et chaque surface d'ordre A -p i est intérieure 
à une surface d'ordre A ; 

c. Le diamètre maximum A> des surfaces d'ordre A terul vers zéro 
quand k augmente indéfiniment. 

( CeLte dernière ])i(i|)riélé |)i(ivi(iit de la secomle condilion im- 
posée à A., A_, < -A|- ) 

,/(' dis (/ue F coïncide avec l'ensemble des points qui sont intérieurs 
à une infinité des surfaces ainsi définies. Toul dabord. chaque 
pdiiil de F l'sl nilérieur à une iiiliiiilé di; ces surfaces, car il csl 



3oO LOUIS ANTOIAE. 

intérieur à une surface (et d'ailleurs une seule) de eliacmi des 
ordres. Soit maintenant M un point intérieur à une iniinilé des 
surfaces V; montrons qu'il appartient à F. Etant donné a' quel- 
conque, il y a un nombre A > A' tel que M soit intérieur à une sur- 
lace d'ordre A, puisque le nombre des surfaces d'ordre au plus égal 
à X' est fini. M est donc intérieur à une surface et une seule de 
chacun des ordres. Soient V,, V^, V.,, ..., V>, ... ces surfaces. 
Chacune d'elles contient au moins un point de F : soient M,, M^ 
Mj, . . ., Mx, . . . des points distincts, ou confondus, respectivement 
intérieurs à V,, V^, V3, . . ., V>, ... ; M et M> étant intérieurs à Vj, 
on a MM), < A). Or \ tend vers zéro quand A augmente indéfini- 
ment. Par suite, M appartient à F, puisque F est fermé. 
La proposition est démontrée. 

70. Réciproquement : Soit une infinité dénomhrable de aur- 
faces V {polygonales on non) satisfaisant aux trois conditions {a, b, c) 
du numéro précédent. Je dis que V ensemble F des points intérieurs à 
une infinité de ces surfaces est un ensemble fermé partout discontinu. 

Dans cet énoncé, ainsi que dans les conditions a, b, c, les nu il s 
intérieur et extérieur doivent être entendus au sens strict. 

A chacune des surfaces V attachons un jaoint M' intérieur à celte 
surface ou situé sur elle et soit F' l'ensemble de ces points M', sup- 
posés tous diflérents (^), ce qui est manifestement réalisable. Je 
dis que F est le dérivé de Vensemble F'. Montrons d'abord que tout 
point M appartenant au dérivé de F' ap])artient à F, c'est-à-dire 
est intérieur à une infinité des surfaces ^, ou, ce cjui revient au 
même, esl intérieur à une surface Y (r(ir<lrc A, ([iicl (pie soit A. 
M ajjparti'nant au dérivé de V a. dans sou voisinage, une liiliiulé 
de [loinls M'. Mais les points M' idalils aux surfaces \ (rmilii' au 
plus égal à A soiil in munlirc liui. I)nii<' M a dans son xoisinage une 
infinité de pomls M' iclatds au.\ siufaces tloiit l'ordre esl supé- 
l'ieur à A; il appailienl donc au dérivé de I ensemble F,' des 

(') Si l'on ne ])rf'nail |>as les |)oints lous ilillVicnls, il faudiait, ciMiinie nuijdurs 
en pareil cas, convenir c|u'un |i<)inl P (lui cories|iiin(l à une iniinilé de suifaecs esl 
considéré comme apparlenani au dérivé de F'. 



I.'lIOMÉOMOHIMIIK l)K DEUX l-IflLUKS ET DE LEUKS VOISINAGES. 3oi 

poiiils M' Inuiiiis |)ar los surfaces trocdre supérieur à A. Mais, par 
construclinii cl en vcriu ilc la propriété b, F\ est intérieur à l'en- 
semble des suriaces d'ordre X + i. Ces surfaces sont elles-mêmes 
intérieures à l'ensemble des surfaces d'ordre A et ont avec elles 
un écart non nul t. Le dérivé de F', (et par suite M) est donc inté- 
rieur à l'ensemble des surfaces d'ordre A et tout point de ce dérivé 
a un écart au moins égal à i avee ces surfaces. Don<- .M est intérieur 
(au sens strict) à une des surfaces d'ordre A. 

Inversement, tout point M iiilérieui' à une inlinité de surfaces V 
appartient au dérivé de F'. 

En effet, M est, quel que soit F, intérieur à une surface V d'ordi'c 
supérieur à A, donc est à une distance inférieure à A), du point M' 

correspondant. Et puisque A-, tend vers zéro avec ^, M est limite 

de points M'. F est donc bien le dérivé de F'. Par suite, F est 
fermé. 

Remarquons qu'un jxiiiil M île 1'' définit une suite de surfaces V 
auxquelles il est intérieur, et qu'inversement, toute suite de sur- 
faces Y des ordres i, 2, 3, ... emboîtées les unes dans les autres 
définit un point de F. Nous établissons ainsi une correspondance 
hlnnivoque entre les suites du type considéré (S) et les points de F. 

Chaque surface V peut être introduite dans une suite S. Donc 
il y a des points de F à V intérieur de chaque surface V. De plus, chaque 
point de F est intérieur à une surface V d'ordre À; donc, quel que 
soit X, tout V est enfermé dans Vensemhle des surfaces V d'ordre A. 

Montrons maintenant que F est partout discontinu. Pour cela, 
considérons deux points M, M' de F. On peut déterminer un ordre \ 
assez élevé pour que Ax soit inférieur à la distance MM'. M et M 
sont alors intérieurs à deux surfaces distinctes V, V d'ordre X. 
Or tout F est contenu dans l'ensemble des surfaces d'ordre X et ces 
surfaces sont extérieures les unes aux autres et ont un écart nuituel 
non nul Y]. On ne pom-ra donc pas cheminer sur V . tic M à M', i)ar 
])as iiifériems à •/]. F est |)artout discontiiui. 

71. l/cnscjiible des points intérieurs à une inliiule des sui"- 
i'ac(>s V qui sallsloiit aux cnndll ions «, /), c du n" (îM est donc \\\\ 



3o2 LOUIS ANTOINE. 

ensemble ferziié partout discontinu et, invei'senient, tout ensemble 
fermé partout discontinu borné peut être défini de cette façon. 
Nous appellerons surfaces de définition d'un ensemble fermé dis- 
continu, les surfaces V qui lui donnent naissance par ce procédé. 
Ces surfaces peuvent être choisies polygonales, chacune ayant un 
nombre fini de sommets. 

Dans le cas des ensembles plans, ces surfaces deviennent des 
courbes sans point multiple et sans point commun. On peut prendre 
comme courbes des lignes polygonales et nous dirons qu'elles cons- 
tituent les polygones de définition de l'ensemble. 

Enfin, pour un ensemble de l'espace à une dimension (ensemble 
situé sur une droite), chaque surface devient les deux extrémités 
d'un intervalle. Nous dirons que ces intervalles sont les intervalles 
de définition de rensemble. 

Le procédé indicjué peut dailleurs servir à définir un ensemble 
fermé borné cpielconcjue. Il sullit de considérer les mots extérieur 
et intérieur au sens large, au lieu de les prendre au sens strict. 

72. Comme première application de ces propriétés, démontrons 
que tout ensemble fermé, partout discontinu, borné est situé sur un 
arc de Jordan sans point multiple. 

Soit F un tel ensemble de l'espace à /( dimensions. Nous le suji- 
poserons donné au moyen de ses surfaces polygonales de défini- 
lion V. Nous désignerons toutes ces surfaces par la même Ici Ire V 
affectée d'un indice inférieur désignant son ordre, et, s'il y a hcii, 
d'un indice supérieur distinguant les surfaces d'un même ordic. 
Nous supposerons, comme nous pouvoiis toujours le l'ani', cpi il y a 
une seule surface d'ordre i. 

Sui' chaque surface V marquons deux jioinls A cl U ([uc nous 
affecterons des mêmes indices r[ue celle surface V. Nous construi- 
rons l'arc de Jordan de la façon suivante. Soit V>, une des surlaces V. 
Supposons cju'elle contienne y. sui'faces d'ordre X 4~ i qn'' nous 
désignerons par les indices supérieurs i, 2, ..., /.. . lorgnons les 
points A>, a;,,; B)'^,, al,; BL„ Ai'^„ ..., Bill, A^;,.,; B?^„ B>,; 
respectivemcnl, par fies lignes polygonales ne se coupant pas, 
sans point nudliplc, cha<une de ces ligues clant, saul ses c.xhé- 



I. IIOMK()Mr)li['HIK IIK DKUX 1 - 1 C, V H !■; S i:t rilC LKI-llS VOISINAMES. ')o3 

mués, intérieure à V), et extérieure aux surfaces V>+, considérées. 
Il est possible de construire ces lij^nes, même dans le cas de l'espace 
à deux dimensions (i), car il faut, dans .c cas. la totalité de ces 
lignes pour partager en régions la portion du |.ian intérieure à V; 
et extérieure aux V>^.,. Les surfaces V ayant chacune un nr.mbre 
fini de sommets, je peux aussi imposer aux lignes construites la 
condilion d'avoir chacune un nombre fini de sommets. Ajoutons à 
toutes les lignes construites l'ensemble F. Je dis que l'ensemble L 
ainsi obtenu est un arc de Jordan sans point multiple, qui con- 
tiendra naturellement F par sa définition même. 

Pour le prouver, considérons, sur l'axe des t, le segment (o, i) que 
j'appelle / et montrons que l'on peut considérer L comme une 
image biunivoque et continue de /. 

Aux deux points A,, B,, pris sur la seule surface d'ordre i, je fais 
correspondre les deux extrémités o,, b, de /. Supposons connus les 
points ax, by, correspondant aux points A>, B? d'une même sur- 
lace \) et supposons que cette surface contienne y. surfaces d'ordie 
A + I. Partageons le segment «> è^ en 2 x + i parties égales par 
des points que je note o-^.+ i, è,',,, a;^,, hl^„ ..., a?^„ f^^„ 
l'abscisse de l'un de ces points étant supposée inférieure à celles 
des points qui le suivent. La correspondance entre les A. B et les 
a, b résulte de leur notation. 

Prenons maintenant une des lignes polygonales construites, 
ALiB-'+i, je lui fais correspondre le segment de / limité par les 
points homologues, la correspondance conservant la similitude 
des segments homologues. Jusqu'ici la correspondance est mani- 
festement biunivoque et continue. 

Pour définir les homologues des points de I', remarquons que les 
points a, b de mêmes indices sont extrémités d'un intervalle v, 
que j'affecte des mêmes indices, et que ces intervalles remplissent 
les conditions voulues poui' définir un enscinlile fermé partout dis- 
continu /. D'ailleurs les intervalles ç ont la même disposition relative 
que les surfaces V de mêmes indices. Soit alors .M un point de F; 
il est intérieur à toutes les surfaces V d'une suit(> du type (S) 



(^) .Je n'envisage naturellrnu-iit pas le cas où F serait sur une droite. 

Journ. de Math. (8' série), tome IV. — Pasc. I\ , ig?\. So 



3o/i I.UUIS ANTOIKi:. 

(n° 70). A cette suite (S) coiTespond une suite d'intervalles if définis^ 
sant un point //( et un seul de / que je ferai correspondre à M. La 
correspondance ainsi réalisée entre F et / est biunivoque et, ajoutée 
aux correspondances précédentes, elle donne une cori'espondance 
liiunivoque entre L et l. 

11 reste à prouver que cette correspondance est continue. Ceci 
a lieu pour les points n'appartenant pas à F et à /. Montrons-le 
pour les points de ces ensembles. Soient M, m deux points homo- 
logues sur F et / et M', m' deux points homologues quelconques 
de L et /. Il faut prouver que, étant donné II, on peut lui faire cor- 
respondre h tel que mm' < h entrame MM'< H. Or je peux déter- 
miner un nombre A assez grand pour que la surface d'ordre À qui 
contient M ait un diamètre inférieur à H. Soient A, B les deux 
points qui ont été pris sur cette surface. Soient a, b leurs homo- 
logues sur /. m est intérieur à ab et l'homologue du segment ab 
est intérieur à la surface considérée et par suite la distance de 
chacun d'eux à M est inférieure à II. Il suffit donc de prendre h infé- 
rieur à la distance de ma a et à b pour réaliser les conditions 
voulues. 

L est donc bien l'arc de Jordan cherché. 

T."». (\(s des etisembles parfaits partout discontinus. - Les 
résultats qui précèdent s'appliquent évidemment aux enseni])les 
parfaits partout discontinus bornés. On peut cependant imposer 
des conditions pKis particulières aux surfaces de définition de ces 
ensembles. 

Soit P un ensemble |)arfait flisconlmu. Rcpicnous sur cet 
ensemble les raisonnemenls du n° (Jî). Su])i)osoris V enfermé dans 
un nombre fini de surfaces d'ordre X. Soil 1" la partie de I' inlé- 
riciire à lune de ces surfaces. V est inaintenaiil un eiis('iid)!e par- 
iait, qui, par suite, a un diamètre non nul. Dans la conslruclion des 
surfaces d'ordre X + i? on pourra donc faire en sorte ([ii'il y ait au 
moins deux surfaces intérieures à la surface d'ordre a envisagée. 
Ainsi, on [leut remplacer la condition b par la suivante : 

b' . A V intérieur de clia(jue surface d'ordre A, // y a. au moins deux 



1,'lIOMÉOMOnPHIE DE DEIX FIGfHES ET DE I.EUItS VOISINAGES. Jo") 

surfaces d'ordre A + i et chaque surface d'ordre >. + i est inté- 
rieure à une surface d'ordre A. 

Réciproquement, considérons une infinité dénombrable de sur- 
faces V satisfaisant aux conditions a, h', c; je dis que V ensemble des 
points intérieurs à une infinité des surfaces V est un ensemble parfait 
partout discontinu. 

L'ensemble défini par ces surfaces est fermé partcjul discon- 
tiim (n» 70). Il suffit donc de prouver que cliacun de ses points est 
point limite pour l'ensemble. Soit M un tel point. Il faut montrer 
que, quel que soit £, il existe un autre point M' de l'ensemble tel 
que MM' < £. Or nous pouvons déterminer un nombre A tel que 
les surfaces d'ordre A aient un diamètre inférieur à z. Soit V celle de 
ces surfaces qui contient M. A l'intérieur de V, il y a au moins deux 
surfaces d'ordre A + i. L'une d'elles contient M. Lçs autres con- 
tiennent des points de P autres que M. Ces points étant intérieurs 
à V, la distance de chacun d'eux à M est inférieure à t. 

C.y.F.D. 

7'î. // résulte de ceci que deux ensembles parfaits partout discon- 
tinus bornés quelconques sont honiéomorphes. Il nous suffit de 
prouver qu'un tel ensemble P est homéomorphe à un ensemble 
particulier p. Comme ensemble p nous prendrons l'ensemble obtenu 
sur l'axe des t en enlevant du segment (o, i), le tiers moyen (extré- 
mités non comprises), puis de chacun des deux segments restant 
le tiers moyen et ainsi de suite indéliniment. Rangeons dès main- 
tenant les intervalles contigus à p: nous les supposerons classés par 
ordre de grandeur décroissante, ceux qui ont même longueur étant 
rangés par abscisses croissantes. 

Nous supposerons P donné j)ar ses surfaces île définition V sulis- 
faisant aux trois conditions a, b',c. Nous allons chercher à définir/* 
p;ir «les iiit<'rvalles «' satisfaisant à ces mêmes conditions. Nous 
établirons en même temps une correspondance biuiiivoc[ue entre 
les surfaces V el les iiilervalles v, faisant correspondre des intervalles 
et des surfaces de même ordre. 

Nous pouvons supposer (lu'li y a une seule surface d «irdre i. 
INiiiis lui IVidiis roir('S|)oinlie, cuniinc iiil er\allc d ordre i, un inlei- 



3o6 LOUIS AiNTOINE. 

valle un peu plus grand que l'intervalle (o, i). Supposons les cor- 
respondances établies jusqu'à l'ordre A inclusivement. Soit V> 
une surface particulière d'ordre k et supposons qu'elle contienne 
X surfaces d'ordre X + i, V)'_^i, V^.^,, ..., Vx+, (a;>2). Soient O). 
et bx les extrémités de l'intervalle (^x correspondant à V>. Dans la 
suite des intervalles contigus à p, rangés comme il a été dit, consi- 
dérons les y. — I premiers qui soient totalement intérieurs à ai, b-,. 
En dehors de ces intervalles contigus et de ceux qui contiennent a-, 
et bi, il y a, sur axby, x segments qui contiennent tous les points 
de p sur t^i. Enfermons ces x segments dans x intervalles intérieurs 
à Çy et n'empiétant pas les uns sur les autres. Ces intervalles cons- 
titueront les X intervalles Pj^., que je ferai correspondre par une 
loi arbitraire, mais de façon biunivoque, aux x surfaces V)^.,. Pour 
la construction de ces intervalles p')^,, il y aura lieu de prendre une 
précaution facile, si l'on veut, comme nous en aurons besoin, que 
la longueur maxima O), des segments d'ordre "X tende vers zéro, 
quand X augmente indéfiniment. 11 suffira que les extrémités de P), 
et du segment qu'il enferme aient un écart assez petit, cet écart 
tendant vers zéro quand X augmente indéfiniment. 

Ceci étant, les intervalles (^ cpie nous avons définis remplissent 
les trois conditions a, b', c et définissent par suite un ensemble 
parfait partout discontinu ({ui n'est autre que p. En effet, tout 
point de p est intérieur à une infinité des intervalles c; tout point 
intérieur à une infinité des intervalles v est, soit une extrémité 
d'intervalle contigu à p, soit un point limite d'une infinité de telles 
extrémités, donc appartient à p. La correspondance entre les sur- 
faces \ et les intervalles ç est biunivoque, et les intervalles ont 
même disposition relative que les surfaces (jui leur correspondent. 
Soit alors M un point fie P. Il est intérieur à loiiles les surfaces V 
(lune suite unique du type (S) (n° 70). Aux sui'iaces de cette suite, 
c(pircs|jondeut des intervalles définissant un point unique m de p 
que j(! ferai correspondre à M. Cette correspondance sélend à 
tout P et tout p, et est biunivoque. 

Il reste à prouvei- (|u"(llr est continue, c'esl-à-dui' (juc, M et m 
étant deux points lioinulngues particuliers, M' el //(', deux pomls 
homologues ([uelconques : 



l'uoméomokpiiie i)k deux hgures et de LEuns VOISINAGES. 'Î07 

1° Étant donné H, on peut détenuiner /( tel que nun' ■< h 
ontiaîne MM' < H; 

2° Étant donm'' //. (Hi jm'uI (léloniiiner II id rjiic MM' • ; H 
entraîne mm' < /(. 

II étant donné, je peux déterminer A de façon cjue le diamètre 
des surfaces d'ordre A soit inférieur à H. Soient \ la surface d'ordre A 
qui contient M et v l'intervalle correspondant. %> contient m, et tous 
les points de p intérieurs à v ont leurs homologues à l'intérieur de V. 
Il sulfit donc de prendre h inféiieur à la distance de m aux extré- 
mités de V pour être assuré que mm,' < h entraîne MM' < II. 

La seconde condition se réalise de façon analogue en interver- 
tissant les rôles de P et p. Cette réalisation est possible, puisque la 
longueur maxima o> des intervalles v d'ordre A tend vers zéro 
quand A augmente indéfiniment. 

P et p sont donc h(unéuniorphcs (^). 



CHAPITRE II. 

LES ENSEMBLES PARFAITS PARTOLT DISCONTIMS PLANS. 

7o. Les ensembles parfaits, partout discontinus, bornés, plans, 
sont, au point de vue du problème qui nous occupe, dans le premier 
des trois cas possibles : leur correspondance peut s'étendre à la totalité 
de leurs plans. II nous suflîra de faire la démonstration dans le cas 
où l'un des ensembles est un ensemble particulier. 

Soient alors P un ensemble, parfait discontinu, borné, qin'lroii<[ue, 
du plan E, et p l'ensciiililr iililisé au ii*^ 74. La démonstration faite 
à ce numéro a prouve que P et p sont homéomorphes. Je me pro- 
pose d'étendre cette correspondance à la totalité de E et de e. 

Nous supposerons P donné par ses polygones de définition \. 
Nous supposerons encore cju'il y a un seul polygone d'ordre i. 
La démonstration du n° "i a fait correspondre à ces polygones des 
intervalles de définition de p. Nous en déduisons immédiatement 

C-) Ce résultat, ainsi que celui du n" 72, ont été, comme je l'ai déjà dit, énoncés 
par M. Denjoy, C. R. Acad. Se, t. liO, 1909, p. 1048, et t. loi, iQio, p. i3S. 



3(j8 louis antoink. 

des polygones de définition de p : il suffit de rem}îlacer chaque 
intervalle par le carré dont il est la diagonale. Nous appellerons v 
ces carrés. La correspondance entre les carrés p et les polygones V 
résulte de la correspondance établie au n" 74 entre les Vet les inter- 
valles de définition de p. Cette correspondance entraîne aussi 
l'homéomorphie de P et p comme il a été dit au n^ 74. 

Soient alors V et ^' un polygone et un carré se correspondant. 
Si leurs contours n'ont pas le même nombre de soinmets, je mar- 
querai sur l'un de ces contours un cei-tain nombre de points que 
j'appellerai sommets, de façon à égaliser ces nombres. J'établis alors 
entre ces contours une correspondance continue, les faisant cor- 
respondre sommet à sommet, côté à côté, la correspondance entre 
côtés étant une similitude. Je fais en outre en sorte que les sens de 
description des deux contours soient concordants. 

La coiTespondance entre les contours ainsi établie, soient V un 
polygone d'ordre "k et v son homologue. Supposons que V con- 
tienne à son intérieur x polygones d'ordre A 4- i ; t^ contiendra à 
son intérieur les x carrés homologues, La correspondance établie 
entre les contours s'étend à la région annulaire qu'ils limitent 
(n°22). L'extension se fait de même pour les extérieurs du polygone 
et du carré d'ordre i. Ajoutons enfin à ces correspondances la cor- 
respondance entre P et p. J'obtiens ainsi une correspondance biuni- 
voque de tout E et tout e. Tout point de l'un des plans n'appartenant 
pas à l'ensemble discontinu a, en effet, avec cet ensemble un écart 
non nul. Il est alors extérieur aux polygones de l'ordre K assez 
élevé pour que le diamètre des polygones de cet ordre soit infé- 
rieur à cet écart. 11 entre dont' dans une tics c(irrcsjM>n(laiK('s eux i- 
sagées. 

Il reste à jhiiunci' (pic la ((uicspoi (lance csl ainitnue. (!ccl a 
manii'estemejit lieu en dehors de P cl />. Soiciil alois .M, //( deux 
])oints homologues particuliers de P i I /*, ( t M', m' deux points 
honujlogues quelconques de E et e. Il laiit niniiliir <[uc : 

1° Étant donne 11, on pcul (h'Itriniiicr // id i|iir //(///' ■ // 
entraîne MM' < H : 

2" Étant (loiiiK- h, on piiil ih'lcifiilnci' Il hl (jui M.M' ■ Il 
entraîne mm' ■< //. 



I.'lIOMKOMOItPniK l)K DKIX FIGURES KT DK I.EIHS VOISINAGfZS. 30Ç) 

H étant (loiiiié, soit >. un urdie assez grand poui' <iue S-,, maxi- 
mum du dijtmi'li'f dfs polygones d'ordre 'k, soit inférieur à H et 
soit V le polygone de cet ordre qui contient M. Son homologue v 
contient m et tous les points intérieurs à c ont leurs homologues 
dans V. Il sullit alors de |)rcndie // iiil'éiieur à i"i''Cinl mm md de m 
avec le contour de i^. 

La deuxième partie se démonlrc de la rncfiie lacon. 

La proposition est établie. 

"6. Comme application, démontrons la ])ropriété suivante : 
Soient, dans un plan E, deux ensembles parfaits partout discontinus, 
bornés, P, P' sans point commun. On peut passer de P à P' par une 
déformation homéomorphe de E n altérant quune région bornée. 
Au cours de cette déformation, les divers points de P décriront des 
arcs de Jordan sans point multiple et sans point commun, dont 
l'extrémité seule appartient à P'. 

Les deux ensembles, étant parfaits et sans point commun, ont 
un écart non nul £. Supposons que chacun d'eux soit donné par ses 
polygones de définition V, V. Nous pouvons déterminer un ordre X 
assez grand pour que les polygones V et V de cet ordre aient un 
diamètre intérieur à. - t. Les polygones V et V de cet oidrc n'em- 
piètent pas les uns sur les autres. Je peux les considérer comme 
étant les polygones d'ordre i de rensemblc parfait discontinu 
P + P'. 

Soit alors, dans un plan e, l'ensemble p porté par l'axe O.r, 
p étant toujours l'ensendjle particulier déjà défini. Considérons un 
deuxième ensend)lc // déduit de p par une translation parallèle à 
l'axe des y. Je supposerai ces ensembles définis par leurs carrés de 
définition, choisis de façon à établir l'homéomorphie de P et p 
d'une part, P' et p' d'autre part. Je supposerai d'ailleurs p et p' 
assez écartés pour que les carrés d'ordre X de p et p' ne se touchent 
pas. Au moyen des polygones V, V et des carrés t', c' d'ordre au 
moins égal à X, la correspondance entre P et p et celle entre P 
et p' s'étendent à la totalité de E et de e. Les raisonnements sont 
analogues à ceux du numéro précédent. 



3lO LOUIS ANTOINK. 

Il suffit alors de prouver sur p et p' la proposition que je veux 
établir. Or, dans e, la possibilité de la déformation est manifeste. Il 
sulfira que, dans cette déformation, chaque point de p décrive un 
segment parallèle à l'axe Oy. On pourrait d'ailleurs, au lieu des 
ensembles p et // considérés, ])rendre deux ensembles homothé- 
ticjues sur deux arcs de cercle homothéticpies et concentriques et 
appliquer à ces ensembles la déformation indiquée au n^ *i6. 

77. Disons enfin un mot de la correspondance entre ensembles 
situés sur une droite. Soient P un ensemble parfait, partout discon- 
tinu, borné, situé sur une droite E (axe des T) et p un autre ensemble 
situé sur une droite e (axe des t). lî y a des correspondances entre P 
et p qui s^ étendent à la totalité de E et e. Nous supposerons toujours 
que p est l'ensemble particulier déjà envisagé et que P est donné 
par ses intervalles de définition V. 

Pour mettre en évidence la propriété ciue j'énonce, il suffira de 
prendre une précaution dans la détermination des intervalles de 
définition de p. Soient A, B les extrémités d'un intervalle V d'ordre A 
de P contenant à son intérieur x intervalles d'ordre X + i '^t soit ab 
l'intervalle i> correspondant de p. Les /. intervalles d'ordre A + i 
que contient i> sont déterminés, mais la manière dont on les fait 
correspondre à ceux contenus dans V est arbitraire. Je choisirai 
cette correspondance de manière qu'en décrivant AB d'une part, 
ab d'autre part, les intervalles correspcuidants se présentent dans le 
même ordre. Je fais alors correspondre les extrémités de ces inter- 
valles dans l'ordre où elles se présentent. E et e sont alors découpés 
en tronçons. Si un tronçon de E, ne contenant pas de points de P, 
est limité par deux points A, B, les deux points homologues a, b 
limitent sur e un tronçon ne contenant pas de points de p. Je ferai 
correspondre ces tronçons })ar similitude. J'ajoute à ces corres|ion- 
dances la correspondance entre I* cl /* résultant de la coiislruc- 
tion des intervalles de définilioti de p cl aussi une correspondance 
entre les extérieurs de l'intervalle d'ordre i de P et de l'iiitervallc 
d'ordre i de /). J'obtiens ainsi la correspoiidaïui' clieichér cuire E 
et e. Dans cette correspondance, les points huniologues de P et de p 
se présentent dans le même ordre sur E et e. 



I, HOMEOMOIIPIIIE r»E DEUX FIGUHES ET IiE LEUKS VOISINAGES. >II 

Ceci s'étend immédiatement aux ensembles parfaits discontinus 
situés sur des courbes de Jordan saiu point multiple d'un espace 
quelconque. Soient P et p deux ensembles parfaits discontinus 
situés respectivement sur des arcs de Jordan sans point multiple 
r et Y, les extrémités de ces arcs n'appartenant pas aux ensembles. 
Supposons que les coordonnées d'un point de T s'expriment en 
fonctions continues d'un paramètre T variant de o à i. Faisons 
correspondre aux points de F les points de l'axe des T dont 
l'abscisse est leur paramètre. A F correspond un segment de 
<lr()ite F' et à P un ensemble parfait partout discontinu P' situé 
sur F'. Faisons de jnème pour p : à y correspond un segment dé 
droite y' et à p un ensemble pariait discontinu p' sur y'- Or, on peut 
étendre à la totalité de F' et de y' une certaine coi-respondance 
entre P' et p' et il en résulte l'extension à la totalité de tout F et 
de tout y il'une certaine correspondance entre P et p. (Ceci ne 
s'applique natinclifuii'nt pas à une corres])on(lanri' ffuplr(pii([uc 
entre P et p.) 

La même propriété a évidemment lieu si F et y sont des courbes 
fermées. Elle a aussi lieu, dans le cas des courbes ouvertes, si cer- 
taines extrémités de ces courbes appartiennent aux ensembles 
sous la réserve que, si un point de P est extrémité de F, le point cor- 
respondant de p soit aussi extrémité de y. 



CHAPlTRi: III. 

LES ENSEMBLES PARFAITS PARTOUT DISCONTINUS 
DANS l'espace a TROIS DIMENSIONS. 

78. Les résultats ne sont plus aussi simples pour l'espace à trois 
dimensions. La correspondance entre deux ensembles parfaits, 
partout discontinus, bornés, gauches, peut, soit s'étendre à tout 
l'espace, soit s'étendre aux voisinages de ces ensembles, soit ne 
s'étendre à aucun voisinage. Nous allons donner des exemples de 
ces deux derniers cas. Ils résulteront des propriétés d'un ensemble 
particulier, que je désignerai par P et que je vais définir. 

P est donné par ses surfaces de définition (n° 75). Toutes ces sur- 

Journ. de Math. (8* série), tome IV. — Fasc. U , i<i-!"- ^4*^ 



3l2 LOUIS ANTOINE. 

faces sont des tores, que je désignerai par T. Je suppose qu'il existe 
un seul tore d'ordre i. Si je considère un tore quelconriue d un 
ordre cjuelconque X, je suppose qu'il contient à son intérieur k tores 
d'ordre }; + i et que ces tores sont enlacés comme les anneaux d'une 
chaîne fermée entourant Vaxe du tore d'ordre X considéré. 

Précisons ces déiinitions. Je dis que deux tores sont enlacés, si, 
étant extérieurs Tun à l'autre, un parallèle de l'un est enlacé avec 
lin parallèle de l'autre. Il en sera de même pour deux parallèles 
quelconc[ues pris un sur chacun de ces tores, et aussi pour toute 
courbe se déduisant d'un parallèle sans sortir du tore envisagé. 
En particulier, si deux tores sont enlacés, les lieux des centres de 
leurs méridiens sont enlacés. Pour simplifier le langage, j'appel- 
lerai circonférence d'ordre 'k, intérieure à un tore d'ordre \, le lieu des 
centres des méridiens de ce tore. Je désignerai ces circonférences par 
la lettre C. 

Numérotons de i à A' les k tores d'ordre A + i intérieurs à un tore 
d'ordre X. Je supposerai que deux tores ayant des numéros consé- 
cutifs, ainsi que les tores k et i, sont enlacés, alors que deux tores 
non consécutifs né sont pas enlacés. Je suppose enfin que les centres 
de ces A: tores sont sur la circonférence d'ordre A et qu'en joignant 
ces points dans l'ordre de leurs numéros, on forme un polygone 
régulier non étoile. Ces conditions sont possibles à réaliser. Il suffit 
pour cela que le rayon du méridien d'un tore T soit assez petit, par 
rapport au rayon de la circonférence C de ce tore, et que k soit assez 
grand. On peut alors prendre pour tores d'ordre X + i des tores 
semblables au tore d'ordre X. La possibililé de la construction a 
alors lieu quel que soit X, k étant fixe. Pour sinq)lilier (iiiebjues 
raisonnements idtérieius, je supposerai que ce iiomhrc k est 
pair. 

l'^iiliii le diamèlre d'un lorc d'ordre X + i est inférieur à la moitié 
du diamètre du tore d'ordre X ([ui le cdiitient. Donc le diamètre 
maximum des tores d'ordre X tend veis zéro t[uand X augmente 
indéfiniment. Les tores 1" satisfont donc aux trois conditions a, h', c 
(n° 75) ; ils définissent donc bien un ensemble parfait partout dis- 
continu P, qui est l'ensemble des points intérieurs à une infinité 
des tores T. 



I. iioMKOMonriiiK iiK i)i;i:.\ figi'hks et de i.ki:ks voisiNSf;K>. 3l3 

79. Ihkokkme. — L'ensemble P f/ui vient d'être défini, et tout 
ensemble parfait, discontinu, p situé sur une droite sont homéomorphes 
seulement en eux-mêmes. 

Supposons qu'il existe une correspondance entre P et p qui 
puisse s'étendre à leurs voisinages. Soient M et m deux points 
homologues de P et p. m est centre d'une sphère s dont tout l'inté- 
rieur appartient au voisinage en question de p. Il y a d'ailleurs 
dans s une infinité de points de p, p étant parfait. Soient alors a 
et b deux points de la droite portant p, intérieurs à s, n'appartenant 
pas à p, tels que m soit entre a et i et qu'il y ait dans s des points 
de p extérieurs à l'intervalle ab. La sphère 7 de. diamètre ab ne con- 
tient alors aucun point de p sur sa surface, elle est intérieure à s, 
m est à son intérieur et il y a dans l'intérieur de s des points de p 
extérieurs à a. 

a étant intérieure à s, il lui correspond dans l'espace de P une 
surface simplement connexe sans point multiple 1 ne passant par 
aucun point de P ayant des points de P dans chacune de ses régions. 
Pour démontrer le théorème, il me suffit alors de prouver que ceci 
est impossible. C'est ce qui résulte du théorème suivant. 

80. Théorème. — Toute surface simplement connexe sans point 
multiple 1 fjui a des points de P dans chacune de ses régio?îs coupe P. 

Supposons qu il existe une surface simplement connexe sans 
point multiple 1, ayant des points de P dans chacune de ses régions 
et ne coupant pas P. i! et P ont alors un écart non nul et l'on peut 
déterminer un nombre \ tel que tous les tores d'ordre A aient un 
diamètre inférieur à cet écart. Or chaque tore d'ordre X contient 
des points de P. Aucun d'eux ne coupera donc -. De plus, l'ensemble 
des tores d'ordre A contient tout P, dont il y a des tores d'ordre K 
dans chacune des deux régions de —. La même propriété a lieu pour les 
circonférences d'ordre A. 

Suicnl i" un lurc [larticulicr d'ordre X — 1 et C,, Co. .... C^. 
les A" circunféreiucs tlOrdre A qu'il contient. C, C^. étant enlacées 
sont dans la même réoion de 1. de incnie C^^ et C,, .... C^ et C, 



3l4 LOUIS AXTOUNE. 

(n'' 54). Nous allons d'ailleurs reprendre la démonstration de cette 
propriété et en tirer d'autres conséquences. 

Appelons 2 i le cercle limité par C^, et A,,,, et A^, les points 
d'intersection de L,, respectivement avec Co,-, et C^i+i. Envi- 
sageons d'abord le cercle T., et les points A,, A^. Je dis que ces 
points peuvent être joints sur L, par une ligne polygonale ne cou- 
pant pas Z. Enfermons en effet i] dans un domaine polyédral D 
non enlacé avec C,, Co et G,. Nous pouvons choisir ce domaine de 
façon que les cubes qui le constituent n'aient aucun de leurs som- 
mets dans le plan de C^ (n° oO). La frontière de l'ensemble des 
points de D situés sur F, est alors formée d'un nombre fini de 
contours polygonaux I sans point multiple et sans point commun, 
ne touchant pas Co. Le point A, n'est intérieur à aucun de ces 
polygones. Si, en effet, il était intérieur au contour I, C, serait 
enlacé avec I, ce qui est impossible puisque I appartient à D. De 
même, Ao n'est intérieur à aucun des contours L Donc on peut 
joindre A, et A, sur Fo par une ligne polygonale ce., ne coupant pas D, 
donc extérieure à D comme A, et Ao. a^ ne coupe pas 1 qui est inté- 
rieure à D. 

Construisons de même les lignes a,, a,,, ..., y./^ ne coupant 
pas Z (^). Appelons enfin ao,+, l'un des deux arcs Ao„ Ao,+ , de Co,+|. 
L'ensendjle de tous ces arcs forane une ligne fermée a ne coupant 
pas —, intérieure à T et enlacée avec l'axe de T. Je i^ais prouver que, 
par une déformation homéomorphe de l'espace, n altérant que /'m- 
térieur de T, je peux passer de a à la circonférence d'ordre A — i 
que contient T. 

81. Considérons d'abord l'arc ao. Appelons ^o le segment de 
droite A, A„. On peut passer de ao à po par une déformation de V-, 
sur lui-même, n'altérant pas la frontière C^. Ceci résulte du lliéo- 
rème du n° 2B. Mais la déformation qui est indiquée à ce nujiiéio 
ne conviendra pas ici parce que les points A,, Ao ne restent pas 
fixes, alors que cette fixité me sera nécessaire. Mais ao étant une 
ligne polygonale, il n'y a pas de dilliculté à réaliser cette condition. 

(^) Je rappelle que le nombre h est pair. 



l'.h.mkomouph.e dk'deux f.gukks kt ..e leurs voisinages. 3i5 
Pour cola, remarquons que «. est partagé en tronçons par ^,. H 
Y a deux tronçons particuliers d'extrémités A. ou A,. J appellerai 
tronçon de la première catégorie un des tronçons restant et tel que le 
contour lormé par ce tronçon et le segment rect.hgne joignant ses 
extrémités ne contienne à son intérieur ni A, m A Par un raison- 
nement analogue à celui du n» 4o, je peux définn^ des déformations 
du type envisagé faisant disparaître ces tronçons de prenuere caté- 
gorie et ceci en diminuant le nombre des extrémités de tronçons. 
Ces déformations faites, parcourons la nouvelle ligne a., de A. 
vers A, et appelons B le premier point de rencontre avec ^,.. bur e 
segment A. B, il n'y a pas d'extrémités de tronçons, car une tel e 
extrémité appartiendrait nécessairement à un tronçon de la pre- 
mière catégorie, tronçon qui serait totalement intérieur au contour 
formé par l'arc A. B et le segment A. B. Nous pouvons alors, par 
une déformation du type envisagé et portant sur un polygone un 
peu supérieur à celui limité par ce contour, faire disparaître 1 extré- 
mité B (c/ nO 4i>). Cette opération ne fait d adleurs apparaître 
aucune nouvelle extrémité de tronçons et aucun tronçon de pre- 
mière catégorie. Je peux alors la répéter sur les extrémités res- 
tantes et j'arriverai à un arc a, n'ayant plus que ses extrémités 
A,, A, en commun avec ^,. Une dernière déformation laissant ces 
extrémités fixes amènera finalement a, sur ^,. 

Ceci étant, appliciuons à la déformation totale et au cercle 1 , 
la propriété du n» 56. Je la modifie légèrement en supposant cpi au 
lieu des normales à l\, j'envisage une famille d'arcs de cunnude- 
rence jouant le même rôle et dont C, et C, font partu. La déter- 
mination d'une telle famille ne présente aucune ddliculte. J. /x>»-i- 
donc passer de a., à ^. par une déformation hornéornorphe de l espace 
n'altérant que le voisinage de l\, laissant fixes les points A., A., et pa 
suite les circonférences C, et C,. Faisons des déformations analogues 

pour les arcs a., a,;, . . ., «a- . ■ 

Après ces déformations, 1 sera devenue une autre surlace simpk- 
ment connexe ^-, les portions de 1 u.lérieures à 1 ayant seules 
été modifiées. Les arcs ri„ 3 .„...,?. et les arcs a «„ ... ne coupent 

pas 1' et si, par exemple, les circonférences C, sont inteneuies 
à i:, ces arcs sont intérieurs à 1'. 



3i6 LOUIS antoim;. 

Considérons jnaintenant le cercle F, limité par C,. Une défor- 
mation homéomorphe de l'espace n'altérant que le voisinage de F, 
permet de passer de a, au segment [3,, joignant A^. et A,. Je lais 
la même déformation pour tous les arcs a,, a^, .... J'obtiens. ainsi 
une surface simplement connexe sans point multiple X" qui n'est pas 
coupée par la courbe [3. somme des arcs [3,. Si d'ailleurs les courbes C,- 
sont intérieures à Z, [3 est intérieur à Z". Les parties de 1 ex- 
térieures à T n'ayant pas été altérées, les circonférences d'ordre A 
extérieures à T occupent la même position par rapport à S" et 

La courbe ^ diffère très peu de la circonférence d'ordre X — i 
que contient T. Une dernière déformation permet de passer de [i 
à cette circonférence. 

L'extérieur de T n'ayant pas été altéré, je peux répéter les mêmes 
opérations sur chacun des autres tores d'ordre À — i sans modifier 
les propriétés acquises. Après ces opérations, j'arrive à une surface 
simplement connexe sans point niultiple X)_, ayant les propriétés 
suivantes : 

S),_, ne coupe aucune des circonférences d'ordre 'k-~ i. Il y a des 
circonférences d'ordre A — i dans chacune des régions de —).-,, parce 
qu'il y avait des circonférences d'ordre \ dans chacune des régions 
de 1. 

82. 1/_| a donc par rappoit aux circonférences d'ordre A — i la 
propriété cju'avait H par rapport aux circonférences d'ordre A. Les 
mêmes raisonnements me permettront d'en déduire une surface X>. ^ 
ayant les mênaes propriétés par rapport aux circonférences 
d'ordre A — 2 et de proche en proche j'arriverai à une surface 
simplement c(ninexe ii, n^ coupant aucune des circonférences 
d'ordr(! 2 et en ayant dans chacune de ses régions. Or, ci'ci est 
inqiossible. En effet, les circonférences d'ordre 2 sdiil hiules lulc- 
rieures au tore uni(iuc dtudre i et par suite sonl dans la jiicinc 
région de L., (n° iW). 

Il est donc impossible que il ne coupe pas V, t-r (|(ii di'inniil ic le 
théorème du n" 80 et achève la dénionstiatioii du théorème du 
nO 7». 



l'homkomohimiik hk hkix ficures et de leurs voisinages. 3i7 

85. Soit r un arc de Juidan sans point multiple contenant P. 
Nous supposerons cet arc construit, par exemple, par le procédé 
indiqué au n" 72, les polyèdres étant remplacés .par les tores T. 
r est un nouvel exemple d'un arc de Jordan dont la correspondance 
avec un segment de droite y ne peut s'étendre à aucun voisinage. 

Si une correspondance entre F et y pouvait s'étendre, il corres- 
pondrait à P un ensemble parfait discontinu p situé sur y et l'on 
aurait en particulier une extension de la correspondance entre P 
et p. Nous venons de montrer qu'une telle extension est impossible. 

La propriété est d'ailleurs vraie pour tout arc de F ayant un point 
de P comme point intérieur au sens strict. Si M est en effet un point 
de P intérieur à cet arc, il existe un ordre A assez grand pour que les 
extrémités de l'arc soient extérieures au tore d'ordre A qui con- 
tient M. L'arc, d'après la construction de F, contient alors toute 
la partie de P intéi'ieure à ce tore, partie qui est un ensemiiie sem- 
blable à P. 

84. De l'ensemble P, je vais déduire deux ensembles Q, Q' dont 
la correspondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à tout 
l'espace. Q est la somme de deux ensembles P,, Po égaux à P, les 
tores d'ordre i, T,, T., de ces ensembles étant enlacés. Q' est la 
somme de deux ensembles P,, P!, égaux à P, les tores i d'ordre X, 
T',, T'^ de ces ensembles étant extérieui'S 1 un à l'autre et non en- 
lacés. 11 y a une correspondance immédiate entre Q et Q' qui s'étend 
à leui'S voisinages, celle qui résulte de l'égalité des quatre tores 
T,, T.,, T,, T.,, et des ensembles qu'ils contiennent. Je dis qu'il n'y a 
aucune correspondance entre Q et Q' qui puisse s'étendi-e à tout 
I espaci'. Supposons, en effet, qu'il y en ait une. Supposons T, , T., 
assez écartés pour que je puisse construire une sphère Z' ayant T!, 
à son intérieur et T', à son extérieur. ^' contient alors des points 
(11' iV dans chacune de ses régions et pas sur sa surface. 11 lui cor- 
respond une surface simplement connexe sans point multiple - 
ayant la même propriété vis-à-vis de Q. Ceci est impossible, les rai- 
sonnements du n° 82 nous permettant de construire une surface 
eimplement connexe sans point nmltiple ne coupant pas les deux 
circonférences d'onh-e i de Q et en ayant une à son intérieur et 



3l8 LOUIS ANTOINE. 

l'autre à son extérieur, ce qui est en contradiction avec le fait que 
ces circonférences sont enlacées. 

85. Je déduis de Q et Q' deux arcf> de Jordan T, Y' dont la cor- 
respondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à tout V espace. 
r est la somme de trois arcs F,, F^, F,. L'arc F, est intérieur à T, 
et contient P, ; T., est intérieur à T^ et contient P^; F., joint une 
extrémité de F, et une extrémité de F^ et c'est une ligne polygo- 
nale. F|, F!, sont respectivement égaux à F, et F^, cette égalité 
résultant de celle des ensembles P et des tores T. F3 joint une 
extrémité de F', à une extrémité de F„ et est une ligne polygonale. 
La correspondance entre F et F' s'étend de suite à leurs voisinages. 

Supposons cju'il y ait une correspondance entre F et F' qui 
puisse s'étendre à tout l'espace. Supposons F, choisi de façon qu'il 
soit coupé en un seul point A' par la sphère S' envisagée au n° 8-^. 
La surface S correspondante coupe alors F en un seul point A. 
Mais cette surface coupe Q, donc A appartient à Q, puisque tout Q 
est sur F.. La même propriété s'applique à tous les points d'une 
portion rectiligne de F'., voisine de A'. L'homologue de ce segment 
rectiligne serait donc une partie de Q, donc un ensemble dis- 
continu, ce qui est impossible. 

Cet exemple complète les résultats de la première Partie où 
nous avions indiqué une propriété de cette nature, mais j)our une 
courbe fermée. 

86. Le théorème du 11° 80 a une allure paradoxale, .le vais en 
établir un autre de même nature. 

Théorème. — Soit L une courbe de Jordan extérieure à un des 
tores T de définition de P et enlacée avec la circonférence C lieu des 
centres des méridiens de T. Toute ccdotte simplement connexe ^ 
ayant L pour frontière coupe P. L'ensemble des points communs à 
P et à ^ n'est pas dénombrable. 

Je peux supposer que le tore T envisagé est le tore d'ordre i, 
quitte à ne considérer que la partie de P intérieure à ce loïc Si 
l'on veut seulement montrer (jiic P et S se coupent, on jnul iin- 



r,'iioMi:oMoiu'iiiE me ni:i;x riGUiu;s i:t dk lkuus voisinagks. 819 

ployer dos l'aisnnncmcnts analogues à cevix qui ont servi pour le 
théorème du n° 80. Si P et I ne se coupaient pas, il existerait un 
ordre "k tel qu'aucune des circonférences d'ordre A ne couperait 1. 
On en déduirait une autre calotte ayant même frontière L et ne 
coupant pas C. Ceci est impossible puisque L et C sont enlacées. 

Pour démontrer en même temps que l'ensemble des points com- 
muns à P eti, nest pas dénombrable, il faut employer un autre pro- 
cédé. Pour la symétrie des notations, j'affecterai de l'indice i les 
lettres (sauf P) qui figurent dans l'énoncé. Je vais alors établir le 
lemme suivant. 

87. Lemme. — Il existe sur S, une courbe Lo extérieure à un des 
tores d'ordre 2, soit T.,, et enlacée avec la circonférence C, d'ordre 1 
qu'il contient. 

Supposons qu'il n'existe pas de courbes L,, satisfaisant à ces con- 
ditions. A chaque tore T., d'ordre 2, j'adjoins un tore parallèle et 
extérieur T., assez voisin [)our que la chaîne des tores T., ait les 
mêmes propriétés d'enlacement que la chaîne des tores Tj. Je mon- 
trerai que je peux déterminer sur chaque tore ï!, une courbe ne cou- 
pant pas Z, non enlacée^ ai'ec la circonférence d'ordre 1 intérieure 
à T', et enlacée avec l'axe de ce tore. Des déformations de l'espace 
n'altérant que le voisinage des tores T [, peuvent amener ces courbes 
à être des parallèles des tores T.. La chaîne formée par ces paral- 
lèles est analogue à la chaîne des circonférences d'ordre 2 et elle 
ne coupe pas la nouvelle surface déduite de li, par ces déforma- 
tions, surface qui a encore L, pour frontière. Ceci est impossible^, 
car on en déduirait une autre calotte de même frontière ne coupant 
pas C|, qui est enlacée avec L. 

Il sullit donc de prouver que, s'il n'existe pas sur 1, de courbe 
extérieure à un tore V., d'ordre 2 et enlacée avei- la en-conférence Cj 
d'ordre 2 quil contient, on peut déterminer sur T, une courbe ne 
coupant pas 1,, non enlacée avec C^ et enlacée avec l'axe de Tj. 

Si -, ne coupe pas T!,, la courbe cherchée est immédiate : ce sera 
par exemple un parallèle de T,. Supposons que 1, coupe T., et 
soit II l'ensendjle de leurs points communs. Soit d'autre part 
l'écart de '!'._> avec T.,. Par des raisonnements analouucs à ceux des 

Journ. de Mat/i. (S- série), tome IV. — l";i*c. I\ . uyji. 4* 



320 LOUIS ANTOINE. 

n°^ 51 et suivants, je peux prouver que : 1° il existe un nombre y] 
tel que, si M,, M^ sont deux points de I, distants de moins de Y], 
on peut les joindre sur Z, par vm chemin intérieur à une sphère de 
diamètre 0; 2° il existe un nombre i tel que toute coui'be J dont 
chaque point a avec H un écart inférieur à i peut être amenée 
sur i| par une déformation au cours de laquelle chacun de ses 
points garde avec H un écart inférieur à 0. Au cours de cette défor- 
mation, on ne rencontrera donc pas T., et Ton restera à l'exté- 
rieur de To. Donc le coefficient ' d'enlacement de J avec Co ne 
change pas. Mais on ai'rive à une courbe tracée sur Z, et exté- 
rieure à Tj, donc non enlacée avec Co. Par suite, toute courbe telle 
que J n'est pas enlacée avec C,. 

£ étant ainsi déterminé, pavons l'espace à l'aide de cubes de dia- 
mètre inférieur à £ et gardons ceux de ces cubes qui touchent H. 
Ils forment des domaines D et toute courbe de D est non enlacée 
avec Cj. Je supposerai D choisi de façon cjue sa frontière coupe T„ 
suivant un nombre fini de courbes I sans point multiple et sans 
point commun (n^ oO). Les courbes I existent, sans quoi un méri- 
dien de T., serait intérieur à D, ce qui est impossible puiscpi'il est 
enlacé avec Co. Les courbes I ne touchent pas H, donc 1,, et ne sont 
pas enlacées avec Cj. Leur coeflTicient d'enlacement avec l'axe de T, 
est donc o ou i. Si ce coefTicient est i pour l'une d'elles, cette 
courbe sera la courbe cherchée. 

Supposons que ce coefTicient soit o pour toutes les courbes I. 
Si je fais la représentation de T., sur un plan H (n° «"ÎO), les repré- 
sentations de ces courbes sont des courbes fermées i. Un raison- 
nement analogue à celui du n° i>0 montre alors rjue la région de II 
extérieure à toutes les courbes i représente des points n'ap|)arl.e- 
nant pas à D. Traçons alors un segment de droite ab représentanl, 
un parallèle, a et b étant dans cette région. Les diverses repré- 
sentations d'une courbe I particulière découpent ab en tronçons : 
considérons ceux de ces tronçons intérieurs aux représentations 
de I et reportons-les sur toutes les représentations de I. Il y en a 
un dont les extrémités sont consécutives sur i, soit a, b^. a, h, et 
l'arc a, b, de i délimitent alors une région de II représenlant de 
façon biunivoque une portion de T,, (n° 42). Je peux alois rein- 



I. IIOMKOMOHIMIIIC I)K DICLX FIGURES ET IJK LELHS VOISINAGES. 



321 



placer un sogmciit un peu supérieur à a, b, par un arc très voisin 
de l'arc a, b, de i et extérieur à i de façon que le nouvel are ab 
représente encore une courbe sans point multiple non enlacée 
avec Co et enlacée avec l'axe de T.,. Je ferai de même pour les 
tronçons du type de a, b, qui apparaissent alors obligatoirement et 
ceci jusqu'à ne plus avoir de points intérieurs aux représentations 
de la courbe I envisagée. Je fais de même pour chacune des 
courbes I. La courbe obtenue finalement représente une courbe 
ne touchant pas D, donc ne touchant pas -,. Cette courbe n'est 
pas enlacée avec C, et est enlacée avec l'axe de II.,. C'est donc la 
courbe que je cherche sur T',. Le lemme est ainsi démontré. 

Remarquons que, dans la démonstration, j'avais seulement fait 
intervenir la condition qu'il n'existait pas de courbe L., dans le 
voisinage de ï!,. J'amenais en effet la courbe J sur 1.,, chacjue point 
de J ayant toujours un écart inférieur à avec H. Donc, non seu- 
lement L, existe, mais encore il existe des courbes L, intérieui'es 
àT.. ' 

88. Le lemme précédent peut être complété ainsi : Non seulement 
L., existe, mais il existe une autre courbe L, ayant la même propriété, 
les deux calottes l^, -., découpées par ces courbes dans 1, nayant 
pas de point commun. 

Au cours de la démonstration de cette proposition, j introduirai 
un certain nombre de courbes fermées tracées sur X, . J'appellerai 
intérieur de Vune de ces courbes, la calotte simplement connexe 
qu'elle découpe dans Z, et extérieur le reste de X,. Ces dénomina- 
tions s'appliqueraient, en somme, à une représentation de i^, sur 
un cercle. D'un autre côté, j'associerai à chaque tore ïo d'ordre i, 
deux tores parallèles et extérieurs, l'un Qj à la distance de ï,, 
l'autre R^ à la distance i 0. est supposé assez petit pour r[ue les 
tores Ro (et par suite les tores Q.j) forment à l'intérieur di- T, une 
chaîne analogue à la chaîne des tores T,. 

Nous avons vu que nous pouvions choisir Lo aussi voisin (ju on 
veut de l'un des tores To. Je choisirai cette courbe assez vtiisiue 
de l'un des tores T._, pour qu'elle soit extérieure à tous les tores T^. 
Jf prends alors iiiicriciir m la iiioilic de l'écail ilc Lo cl des tores \\. 



322 LOUIS ANTOINE. 

Je construis une surface polyédrale S,, voisine de Z,, et lui corres- 
pondant, les points homologues de S, et 2, ayant toujours un 
écart inférieur à 0. Je choisis cette surface de façon qu'aucune de 
ses arêtes ni de ses faces ne soit tangente aux tores Q^ et qu'aucun 
sommet ne soit sur ces tores. Dans ces conditions, l'intersection 
de S, et des tores Q., a pour homologue sur 2, un nombre fini de 
courbes sans point multiple et sans point commun. Aucune de ces 
courbes ne coupe L, et si l'une d'elles correspond à l'intersection 
de S, et d'un certain tore Q.,, elle est extérieure au tore To corres- 
pondant et intérieure au tore R.,. 

Parmi ces courbes, il peut y en avoir qui ont L, à leur intérieur. 
Dans ce cas, il y en a une F qui les contient toutes. J'appelle 1' 
l'extérieur de F (l'extérieur de L^, si F n'existe pas). Je désignerai 
par G une quelconque des courbes restantes, situées sur Z'. Si Vune 
des courbes G est enlacée avec une des circonférences C,, ce sera la 
courbe L!, cherchée. Nous allons montrer qu'en supposant que cha- 
cune des courbes G n'est enlacée avec aucune des circonférences Cj, 
nous arrivons à une contradiction, ce qui prouvera l'existence 
de U. 

Supposons qu'il en soit ainsi. La partie d'un seul tenant de il', 
extérieure aux courbes G, ne contient aucun point des courbes C.,. 
Cette partie est, en effet, tout entière extérieure aux tores T^ : 
Un point de T^ est à une distance de Q^ égale à 6, donc son homo- 
logue sur S, est intérieur à Q^; on ne peut atteindre ce point sur S,, 
à partir d'un point de l'homologue de L,, qu'en traversant le 
tore Q„; donc on ne peut atteindre un point de T„, à partir de L^, 
sur 2,, qu'en traversant une courbe G. Les frontières L, et G de 
cette partie de 1' ne sont pas enlacées avec les courbes Co. Donc le 
reste de sa frontière F n'est enlacé avec aucune des conibcs (',,. 
Ceci prouve déjà <jue F n'est pas la courbe L^ cpii csl enlacée avec 
une des courbes C^. 

Soit J une courbe tracée sur 1' et extérieure à Vun des tores ï{... 
Je dis quelle nest pas enlacée avec la circonférence C, que contient R.. 
J étant extérieure à Ro ne coupe aucune des courbes G ([iil pid- 
viennent du tore Q^ intérieur à R^. La portion de X' intérieure à J 
et extérieure à ces courbes G particulières est donc extérieure à T» 



l"homkomohpiiie de deux figlhes et de leurs voisinages. 3a3 
et par suite ne contient aucun point de la circonférence Co inté- 
rieure à Rj. Les courbes G faisant partie de sa frontière ne sont pas 
enlacées avec C,, de même que F (dans le cas où F ferait aussi 
partie de cette frontière). Donc le reste de cette frontière, c'est- 
à-dire J, n'est pas enlacé avec cette circonférence Cj. 

Ceci étant, je peux appliquer à 1' et aux tores R. les raisonne- 
ments faits au n^ 87 sur S, et les tores T.. 11 existe sur chaque 
tore R, une courbe ne coupan pas I', enlacée avec l'axe de R, et 
non enlacée avec la courbe C. que contient R,. Des déformations 
n'altérant que le voisinage des tores R, permettent de prendre 
pour ces courbes un parallèle C^ sur chaque tore.Ro, - étant trans- 
formée en une autre surface que j'appelle encore I', ayant pour 
frontière la courbe L, et une courbe que j'appelle encore F, qui est 
intérieure à l'un des tores R., tore que je désignerai par R. J'appel- 
lerai de même C le parallèle C, pris sur ce tore et je supposerai 
que c'est le cercle de gorge de R. 

Les courbes C, forment à l'intérieur de T, une chaîne analogue 
à la chaîne des courbes C,. - a un écart non nul avec ces courbes. 
On peut déterminer un nombre z tel que toute courbe dont chaque 
point a, avec I', un écart inférieur à i peut être amené sur I sans 
couper aucune des courbes C!.. Mais toute courbe tracée sur I se 
ramène à zéro, ou à L,, donc n'est enlacée avec aucune des 
courbes C,. On peut donc enfermer 1' dans un domaine polyédral 
non enlacé avec les courbes C,. 

Grâce à ce domaine polyédral, je peux, comme aux n°^ 80 et 81, 
construire une courbe a ne coupant pas X', intérieure à 1 , et 
enlacée avec l'axe de T,, donc avec L,. Prenons une précaution 
pour construire une partie de a. Soient A, R les deux points de ren- 
contre avec le cercle limité par C (relatif au tore particulier R qui 
contient F) des deux courbes C!, enlacées avec C. Pour former a, 
je prendrai d'abord une ligne polygonale joignant AR sans couper 1 
et intérieure au cercle limité par C. Comme arcs des courbes C^ 
enlacées avec C, je prendrai deux arcs qui, au voisinage de A et R 
sont du même côté du plan de C. Grâce à cette précaution, je peux 
réduire R à un point sans couper a. Il en est de même de F, inté- 
rieur à K. DuiH- 1' n'est pas ciilacée avec a. 



324 LOUIS ANTOINE. 

La contradiction cherchée réside dans le lait que a ne coupe 
pas X', n'est pas enlacée avec F et est enlacée avec L,. 

L., existe donc et peut être prise parmi les courbes G, donc est, 
comme L.,, intérieur à T,. 

89. Appelons courbe d'ordre i, la courbe L, et courbes d'ordre 2, 
les deux courbes Lo, L!, qui viennent d'être mises en évidence. 
Lo joue par rapport à un tore d'ordre 2 le rôle que joue L, par rap- 
port au tore d'ordre i. Je peux donc construire à l'intérieur de L, 
deux courbes L;,, L'., (courbes d'ordre 3) extérieui'es l'une à l'autre, 
intérieures à un tore d'ordre 2 et jouant chacune par rapport à un 
tore d'ordre 3 le rôle de L, par rapport à T,. Je fais de même pour L„ 
et je continue ces opérations indéfiniment. 

Uinfinité dénombrable des courbes L satisfait, par construction 
aux conditions a et b' du 11° 75 : toutes les courbes d'ordre X sont 
extérieures les unes aux autres; à l'intérieur d'une courbe d'ordre X 
il y a deux courbes d'ordre A + i ft chaque courbe d'ordre X-|-i est 
intérieure à une courbe d'ordre X. De plus, une courbe d'ordre A 
est intérieure à un tore d'ordre À — i , donc le diamètre maximum des 
courbes d'ordre X tend vers zéro quand X augmente indéfiniment 
{condition c). En prenant l'intermédiaire d'une représentation 
de ^, sur un cercle, on en déduit que les courbes L définissent 
sur ^, un ensemble parfait partout discontinu P' qui est l'ensemble 
des points de 1, intérieures à une infinité des courbes L. 

Je dis que P' appartient à P. En effet, un point M de P' est inté- 
rieur à une suite de courbes L comprenant une courbe et une seule 
de chatiue ordre. C'est le point limite unique d'une suite de points 
pris un et un seul sur chacune des courbes de la suite précédeuLe. 
Or le point [)ris sur la couibe d'ordre X est intérieur à un Lore 
d'ordic X -1. Donc M est un poiiil de P. 

il eu résulle (pu-, non seulemenl P ci 1, se cotipciil, mais (pic, 
parmi les points communs à l* et à -,, il t/ en a furnuuil an ciisenihle 
parfait, donc non dénombra hle. 

!K). (loiiiiiic coiiibc L, nous |(ou\(ins prendre un inémlien on un 
paiallilc (I un des lorcs de délinilion <le P. Si nons ciiiisulénins I aie 



l.'lloMKOMOIIi'lin; IiK DKUX Ilf-IHES ET DK LEURS VOISINAGES. 323 

dr- Joidaii r qui lonliciit P (arc que je peux supposer ne pas 
couper L,), toute calotte simplement connexe sans point multiple 
ayant L, pour frontière coupe Y et parmi les points d'intersection, il 
y en a une infinité non dénornbrahle appartenant à l'ensemble P. 

C'est un fait de même nature que celui démontré au n° 61. Nous 
avons cependant ici cette circonstance plus parado.xalc que la 
courbe F (qui joue le rôle de la courbe C, du n" (îl) est une courbe 
ouverte et que parmi les points d'intersection, il y en a une infinité 
non dénombrable appartenant à un ensemble discontinu particulier 
sil ué sur r. 



INTEGHAL SOLUTIONS OF TIIK EQUATION ;* -1- t/" = C* • ^2^ 



Intégral .solutions of thc crjuation ^*H-t,° = ^* 
in thc quddratic realins of rationality ; 

By Harris HAXCOCK. 



One of tlie simplest iJioplianlinr équations is ./•^-i-j'- = z'-. 

The solution of lliis equalion gives the so called Pythagorean num- 
bers a; = 2/)y/, y — {])'^ — ?')^ ^ — {p"^ + T)f-i vhere p,q,l arc 
ralional intogerssucli tliat /; > y >■ o, / ]> o with the furlher condition 
ihalp ami q arc relalively prime and both must not be odd. 

For exemple, 

P 5, '/ = 4, -i=4", y = 9' -"4i, 4i = = 4<>-+ 9'- «'c. 

A trealment of such piobleiiis in the realm of natuial inlegrals is 
found in the second volume of DicUson's admirable Hisloi-y of the 
Thcory of Numbers. As every problem, wboso historv is given by 
Dickson, admils a generalized trealment in the algcbraic rcalms of 
the second, ihird and higher degrees, it is seen that a vast field of 
further investigation is open to Mathematicians. And by developing this 
algcbraic iiumhcr-thcorv ncw light may bc thrown upon ihe thcory 
of algebiaic équations. 

By (lelinilion a quadratic algcbraic integer is the root of the équa- 
tion /'^ 4- \ / -h B = o, wiiere \ and l> arc rational iutcgeis and the 
coefficient of /- is unity. 

Let 



4 = rt, -H v'af -h fir.j, -fi — 6, ■\-'Jb\-h 6,,, Ç = c, 4- v c; 4- Cj 

Joarn. de Math. (8» série), lome IV. — Tasc. U, 1921. hI 



328 HARKIS HANCOCK. 

be threo quadratic algebraic integers, being respectively ihe rools of 

X- — 20, J- — «2^=0, >'- — 26,/ — b-2=:o, Z^ — 2f, ; — fo:=0, 

\vhere a,, a.,, />,, 6,, r,, c.j arc arbitrary ralional integers. 
If tben ^- -f- Y]* = ■(-, it follows tbal 

(I) 2a, ; + «2 -+- 2 ^,0 -4- ^2= 2c,s + C2, 

or 



(I") 2«'j H- «2+ aaiv'rtj -y a.-h 2bl 4- 62+ 2^,y/Ai; -t- L>„ 



= 2 CJ + Cj + 2 C, V C- H- Co 



Our problem is to solve this lalter équation in intégral vakies of a,, 
a.2i l>,, b^, t", , Cj. 

First let a, = o. Il follows lliat 

(II) «j-H 2^j -t- i, = 2CJ 4- Cj, 



(III) b,s/'b\+b^=Cx\Jc\ + c,. 
Wiiliiig (III) in the l'orin 

(IV) b\ — c; r= c;C2— ^j ^21 

il is seeii tliat Z^,, r,, may be laken al pleasure and r^, /^, so cliosen as 
to satisfy (IV). Tlien from (II) a., is determined. 

For examplc let b^ = 4, '1 = 3, llien is l>.^ — — ■yoo, r... = — i225 
and «2 =; — 539. And that is, if r, is a root of y- — '6 y -\- 700 = o and 
*( a root ov ;- — (>; 4- 122,^, then yj- = 'Ç- 4- 53(). Sce Diophaiilu.s 11, 
11; Dickso/i II, p. 402. 

.Vrx7 observe thaï from (I") foUow ibe l\\o équations 

(1) 2a'j 4-rtj4- 2 6y 4- ^2^= 2 6-J 4- c,, 



(2) . a,va'7 4- a-, 4- ^,\ 6; 4- 62~ ''i v''-';' -+- t-'î' 

llial lliesc équations admit solulion is seen al once if \\c put 

rt, Tz: Of =1 Cl ; c... r^ 2 « , 4- "2 4- 1'^. a-,^= b., — . 



INTK.r.HXL SOIATIONS OF TIIK EQUATION ?- -(- r/ = w^ 'izg 

For it is évident that if ;, r,, l arc respectively the roots of 

«-— aa,- — o* =:o, 

tliat^='-r-r,= = "C-. 

Note that «, must bc an even inleger in order thaï ; and r, be alge- 
braic integers. 

For example, 

j:--4X + 2 = o, y--— \y -h-î=0, -' — 4C — 4=0. 
hâve roots 

; = r, = 2 -(- V^, r = 2 + 2 \/2 

such that 

\ solution of ( 1 ) and ( 2 ) is had as follows : 
Put 



(3) <^bl^b,= m\'a\-ho.,. 

where m is a rational integer to be detcrmined. 
We hâve at once 



(4) c, = «,+ /«/', and \^a; + o, = \/c\-r 

In the latter expression put for c, its value so that 



and regarding a., fixed, make '% satisfy the relation 

(5) ai=2fl,mfc, -f- /»«-if -i- cj. 

This expression may be simplified by observing from (\) that 

(6) n.-h 2 b] -^ bi^= îrti»i/>, -H 2//r-i; — '.';. 

From (5) and (6) il is seen that 

(7) 2/<j-!- /'j= a. — c,, 

and also that 

(8) m*ù] + 2aibtni — 2b\ + bi. 



33o IIARRIS H\NCOCK. 

The lalter équation in m may be salisfied iii an infinité number 
of ways. Fui" let 2.a^ = 'i^nb,, ihus iiialving a perfect square on 
the left hand side and put respectively b.,— ib'\. =i[\b\, ='il\b\, 
= (jib\, etc. 

It is seen that m may take the values i, 2, 3, 4 

For example let m = 2, so that </, = )/>,. b.,= i '\b\. From (3) it 
follows that b] -I- b., = in-(^a] ■+- a,), or — i\ b\ = '\a.,, an expression 
which olTers an infinité number of values of a„ and b^. Write A, = 2, 
«2= — 21, rt, = G, b..= bij. From (4) and (5) it is seen that 
c, := 10 and c, = — 8"). 

It is thus sho\\n that the roots of 

.i-- — 1 3 .r -h 2 I — 11, 1- — 4 y — .")6 ^ o , j - — 20 ; H- S.") — o, 

arc 

;=:6 4-y/i.5, ri = 2-i-2^i5, s=^i<>-+-v''^ 

and that 

A second mclliod. — Write as above 

j:-— 2f?,,r + «, = o, y- — 'ib^y' — b.,^= o, z- — 2C,c — Cor^o 

with roots, the algebraic integers, 



i = ûfi-+- y/rtj -+- «2- ïl = 6, H- V'^'j -t- /^.., ' = C| + v/c;- 

Put 

r, :=//(;-+- /(, 

SO that 

rr = ni-^^-i- 21)1/1 ■ -h II-. 

It f(illo\\s that 

2 ^iT; 4- 62=: m-(2«,i + rtj) -+- '2 m ne ■+- «', 
or 

2 Aiffiç + 2/>, « + />... ^ 2rt,m-; 4- ajHj'-t- ■xmn'i -\- /(-. 

Il is clcar from ihis last expression that 

(1) ii = mox -(- «, 

(2) ■îh^n -h bi^= m'-n.,-^ n'-. 

If rt is eliminated from thèse équation ue hâve 
(/■) /j]+ bi= in'{a\ + a„). 



INTKGH\I. SOLUTIONS OF THE i;(,il \TION C' -j- T ' = Ç- . 33 I 

Froin équation (I ). it follows lliat 

2 «1 ; -^ "- — lli^ml — ■?./>, Il 'r- //..r^ 2 C, ^ ~r C,. 

If llie ratioiial and il laliolial paît of lias expression arc e(|uateci, it 
is scon tliat 

(3) «I -t- mb,=: c,, 

(4) 2aJ + «j T- ihiinai — 26, « + ij= 2cj -H r,. 

I-lliiiiinali' // finiii (4) by means of (i). \ve hâve erjualion (//') above 
Xoliiiii' tliat thc relation 



\ a\ + "o — \ fj — f2 = \ («, H- nih,)--r- Ce : 

musl be satislied, it is seen that 

( ô ) a., ^ 2 17, w/', -r- 1)1- h\ ~ c,. 

Froni ( // ) anil ( 5 ) the quantities a. — '•. aad di may be respectivelv 
eliminated. and tbe followinj^ équations take llieir places 

(4") ib\+ 0.^-= m- b\ + 2aih^m, 

(5") ib'\-^ b.,^a,— c^. 

If as in the previous solution, \ve put in (4°) thc values ia, = 'ib,m, 
b.,^=i^h], we hâve i6h] — If/n'-b'-^, or /« = 2, 20, = GA,. From (i ) 
n=^—5l>, and from (2) — 21 Ir^ — /^a.,. Put h, = 2, a, = —21, 
a, — iu Ao=5G. F'rom (3) and (:>") it is seen that c, = 10 and 
C2= — B5. Observe, however, that équations (1), (2) et (4) may by 
eliininating // be replaced by 

b'I — b-, = ni- {ai -+- a^ ) 

and 

(7o ^ 2 il j -i- i, = .'\(i,nibi -^ 2 ni^\b\ ~- C; ; 

and il is seen that this solution is only a différent form of the prece- 
dinjç one. 

A more gênerai solution. — W riting as in tbe prcccdinjr mclliod 

T, ^^ 111^ -r- n. 



332 HAKHIS HANCOCK. 

vve liave 

(i) il = nie, -h n 

and 

( 2 ) 2 h, n -+- b, ^= «i' c, + /;- . 

Again noie if n is eliminated from (i) and (2), lliat 

b\ -+- h^^ m'-{c\ -\- c-i). 
Furthor write \ = p'C -\- q and it follovvs that 

(3) a,--pCi+q 

and 

(4) ■?.a,q + 9i — p^Ci+q-. 

If q Is eliminated from lliese latter équations, we liave 

,7';-l- a« = p^{c\-\- c.,). 

Tlic above values substituted. in (i) cause that équation to become 

3 «,(/>; + ^) + (7,4- 2^1 (//( ' -I- /( ) ■{- /'.,= ic^Z -t- r,. 

In ihis expression equate thr real parts and also the injaginary 
parts and it is seen that 

(5) C| = />«, + /« 6,, 

î/0<7,c, -1- 2/11 h, c, H- 2rt,(/ -t- a/',/( + a,-+- ^2= Co + %c*. 

Due to (5) the last équation becomes 

( 6 ) 2ft,f/ -h 2 h, n -f- o« -4- ij ^= fo. 

l-'roin (i), (3) and (5) it is seen that 

mn -4- pq 

(7) '■1 = r-^; 

^ ' ' \ — m- ^ p* 

and from (2), {f\) and (6) 

(8) c- - /- 



m'—p 



333 



INTEfMUL SOIATIONS UF THE EoLATION :' "f" r,' — -:' • 

A solution of (7)anfl (8) is had, if \vo put 

Il = k{\ — m- — p") ami 7 = /(i — W-— /''), 

wliere /. and / arc arbilrary integcrs. 

It follows that 

c, =^ nik -^ pi. 

c,= {k^— l-)W, where \\^\ — ni- — p-. 

From (i ) and (3) wo hâve 

bi=: k + piml —/>/.). 
Ox^ t -~- in{ pk — ml I ; 

and from (2 ) and (4) 

h,= \{ml-pk)- — k']\\. 
a, = [{pk -miy-—l^]U. 

Further note l!ial 

v-^ + c,= l^+k'~(kp-lmy, 
a] + Cl, — p^- (Cl + f, ). I>] -+- l>i — in^ ( c; + c, ). 

For cxamplc, lel / = 2, A' = 3, /? = 5, />/ = 7. 
It is seen ihat 

fi:=3r, a,^=y, b^— — 2. 

r = 3+2v'3, ; = 7-t-iov/3, •/)=— 2-+-14 \/3. 

whi're ç- -(- ■/)- = .!■. 

Again put 

/« = 3, / =r I , /v = '., /. = 5, 

and \ve hâve 

1 — 12, -H 2tyi3. r,.= 9 + 3tV23, ; = 17 -r- i\'ii, 

Finally niaUe c\ -f- c, a perfect square, and \ve hâve ihe Fytliagorean 
niinibers. For cxaniple, let 

m ^ 5, /=2, /J — 3, /•=4. 



334 I1\RRIS HANCOCK. 

and \ve hâve 

Cj -r- C, =■ l6, C-| = -Mi. r = îO + 4 = ■'O- 

«7 -h «5-=: 3-. 1 6, «1 = 12, c. ■= 13 -(- 12 = 2^. 
6j -h /'2= 5-. 16, /),=— 2. Y) =— 2 4- 20 ^ 18. 

The quadratic realms of rationality. 

We arc now in a position lo express the above resulls in a more 
definite form. which is donc ihrough proof of the following theorem : 

In every quadratic rcalni therc is an infinité nuniber of solutions 
of the équation 

lliroui^Ji algebraic inlrgcrs. 

Il is well known that any quadratic inlcger may be expressed in 
the form a.\ -(- b.isi. wherc a and b arc any two ralional integers and 
where i, co form ihe basis of ihe realm, say R(v7), / any integer. 
If <s?2(mod4) or /ïes3( mod4), ihen is w = y/; if- however, 

i^i(mod4), ihen is co = —■ The case where / contains 

a squared faclor may hc reduced to onc or the olher qf the above 
cases, so tliat il is unnecessary to consider the case «?E^o(mod4). 
As the présent papcr is concerned particularly wilh the existence of 
sucli solutions as hâve been indîcaled, it is secn that the sohitions of 
ihe second case ncccssarily implN ihose of ihc first case; for if 

then ncccssarily 

(2?)^+(2Y;)^ = (.-n^ 

We may thcrefore considci- liere only the iirsl case : If 

i' z= /;i, -I- m\ t. 

where ///, and m arc any latiunal integers and if ; satisfics the 
équation 

x"^ — 2 rt, X — CTj =:: O, 



INTEGRAL SOLUTIONS OF THE EQUATION Z^ -\- T^' =^ C' . 335 

-.vhere et,, a., arc arbitrary ralional irUcgers, wc liave 

ni'\ ■ imin^\ l + m- 1 ^= 2(1^ m, -h 20, m\'l -+■ a,. 
Il lollous llial 

/«, _r (/, ami m'I =: (i\ -i- a,. 

Similarly if r, and Z arc roots of llie Iwo équations 

y- — 'b^y — ^2 =:o and ;' — 2 c, v — 0^=0, 

\ve hâve 

£ = ûTi -(- mt- , 
r, =3 6, — /(/-, 

wliere // like //t isan arbilrary integer. 

1 

p being lilvewisc aiiy ralional iiUeger; witk (lie conditions 
/>i'< :^ aj ^ a,. n* t ^ Iff -h bi, p- 1 =: c-, ^- c,. 
Writinij ihcii values in équation ( l) namely 

2 a, ; + (7, + 2 ^, •/] -+- />j = 2 c, ' + Ci, 

it is sccn tbal 

2«; -t- rt, -H >.il,ni\l — ! 6; -j- /<.; — > /i^/i\^ ^ !c; + Cj— '.C, /.'\ t. 

Iviuatiiig llu' ralional and iiralional tenus in ihis expression, wt 
bave llic following e([uations to solve 

( 1 ) '. aj H- a^ + 2 ^j 4- ij =1 te] -+- c,, 

(2) rt,m -t- 6,«z= c,/^. 

(3) /;('/ :ri rt; + rtj, 
(.',) nU =/<?+ /y„ 
(5) /)- 1 ^ c\ ^ Cj. 

Fioiii (1 ), ( -5). (/j)and (.-)) it foliows tbal 

2(ni- -+- n'- — 1>- )t i— a^-r- h. — c, ; 



Joiiiii. Je Muth. (S* série), loinc 1\. — Fasc. 1\ . i.jji 



/|3 



■ 336 iiAiiRis HANCOCK, 

or, wlial is ihe same tliing, 

(6) {m- -t- n- — /}')( = c] —ai— Ij], 

l\liiniiiate ivspeclively ff|. l>,. c,. belweeii (i; and (2) afler ( i) has 
been put in ihe form 

a j -t- ij + (w«--t- «-)/= C7 + /*-<, 
and \\e liave 

(~) p- (/ii-+n- — /j-)i =: («,/?i + A,/;)- — p^{a'-, ^ /jî). 

(8) n- {m--i- n- — p-)l = n-{c'^— a'-,) — {c,p — 11,111)'-. 

(9) m- (m- -+- «- — p-)t -.= rii-(c'-, — li-, } — \ c,/i — /'i")"- 

Noto thaï if \ve piil 

* m' -T- n'-^ p-, 

iii ihese ecpialions, \ve liave 

a, ^1 _ Cl 

m n p 

If llien l'ylhagorean iiumbers arc choscn for ///. //. p, tiie saine arc 
liad for a,. A,, c,. and froni (0) the iiumber / is indelerminate. 
Observe ihat équations (2) arc satislîed if uc put 

m ^=An,. iir=/,li,. p^/\c, ( /. anv ralioiial iiilogeri 

and cbûose fur a,, A,, c, any Pvlbngorcan iiunil)crs -,, t:^, -.,, 
~| -+- T^ =t:^^. For e.vainple, in any realin of nalioiialily lx(\7), il is 
évident thaï ihe algebraic inlegers 

£ — r, -1- A-7T|\ /. r, — 71; -I- /. 7:2V'- ? r^ -3-1- /.n.;\ < 

sali^fy llie C(jiialion 

i-T ■/,- -- r-. 
Jliu llicoreui has rcsolvcd ilsclf in ihc sohili(jn of llie ccpialion 

161 { m- k- II- p''-\l- (•;'- "\''^'\\ 

subjccl lo llie coiidilion 

(21 M, /// -i- //| /* -- ('i/'. 



INTEGRAL SOLLTIOXS OF THE EQL'ATION ?''H- /,-—?■- -^ "* 7 

One iiielliod of procédure is llie following : 

The inle-er / bein? lixcd, givc lo ///, //, p fixed values and put 

p'-— ni'^ — II' = /, 

wliere /. is constanl. 

From (()), il is sccn ihat 

a] -t- h] — cj — «./.. 

If r, is cliniinated Irom lliis laller équation and (2), we liave 

jl , (p'-—m-)a\— 2innaib, — (/J-— n-)b\—p-t/.. 

which équation is a quadralic form in the two unUnown quantilies r/,, 
/;,, whose discriminant D is — p-X-. 

The problem has now resolved itself into the solution of llie qua- 
dratic form (II) with négative, zéro or positive, discriminant. 

1° If /> is positive the discriminant is négative. In this case mul- 
liply (II ) hy i(fr - ///-) and put 
^,-) 'îi.p-— ni- m, — 'y.ninb^—x. 

It is seen tiiat (II) l)econies 

or 

(ii) .s- - = 4 /'p- [[ p' - >'i- u — l'i]. 

Honce through a finite number of trials, \no may détermine whilher 
or not there is a value fur A, which makes the right hand sido of (/V) a 
perfoct square — a condition witch is evidrntly necessary for the 
solution of the problem. 

For example write p = 3, m = 2. /? = 1 . so thaï A- = 4- Take / = o. 
From (ii) il is seen that, when 

(^a) />, = o. :î— 4.;^.5; 

(//, 6,= 3. .V— 4.3.4: 

^e) 6, = 4. i — 4-3.3: 

{d} l>i='^' '^^o- 



1 = 


r±6 + 


^5, 


Yl = 


: o + 


v/5, 


K = 


:±4 + 


3\/5; 



338 IIARRIS HANCOCK. 

Hence from ( /) and (-i). we liave 

(rt) oi^zG. ft| = o. c, = 4; 

(6) (7, = 6. 6i=3, c,— 5; 

(c) no solution : 

(ci) «1=2, A, = 5. c,r=3. 

Il is aiso évident from (//) lliat négative values niay be given to /', 
and s so tliat, for cxample, /', = — 3, s = — 4-3./|. 

In tiiis case a, = — b,, h^ = — 3, (\ := — ]. 

Hence in tlie realm R(\5) if values 2, i, 3 arc Iakcn re.spectively 
for m, », p, it is seen that : 



(«) 



f ; =±6 -+-■), y/S. 

(b) |r, = ±3-H v'o, 
(ç=±5 + 3v^; 

(c) j r) = ± 5 + v'â. 
( ? =±3 + 3v/5; 

arc solutions of tlie équation 

It is évident tiiat if — 2, — i, — 3 had been cbosen respeclively at 
values of w, n. p, tlie same values of a,, b,, r, as tliose above would 
liave been derived. 

If we put m = i, n — 3,p = 2,i[. is seen lliat A = — G and D = -h 2l\. 
Kqnation (ï\) becomes, if/ is taken =3, 

bh'l + 6ft, a, — 3(7j r=r ^2. 

A solution is n, = 3. b, = 3, t\ = — — = G. Tbecorrosponding 

values of ^, y;, 'Ç arc 

1 — 3 + ^/3, Y):=3-f-3v'3, !:==6 + 2v'3. 



INTKGRAL SOLUTIONS OF THK EQUATION ^--+-r,- = "C. 339 

W t = lo, tlie équation 

!j/il -+- 66,(7, — 3a'j= 240, 

admils solution a, = 2, h^ = 6, c, — 10. 
However if / = 5, llie équation 

5 6j + 66, r/, — 3rtJ =• 120 

does no/ admit solution, as is évident from elementary considération. 

Having onr solution it is possible by means of ibe PelTs équation to 
dérive an infinity of otbers. 

In llie first case, for example, wbere D = 24, the équation of Pell, 
namely T- — i^\J^ = i, admits ibe solution T = 5, U= i. 

Note that ibe équation 

ô//; + 66,«, — 3aj=72, 

inay be written in the form 

(56, + 3(7,)- — 24nJ=5.72. 
Hence writing 

5 6, + 3a, + v'24ai = (24 -+■ 3^24) (5 + \'^)'', 

Ave bave tbe solutions corresponding to values of /. = i , 2. 3 

If/. = i, it is seen tbat 

«1 = 39, 6, =.10, C| =r 42, 

and 

> = 39 + v/3, ri = i5 + 3v^3. ^ = 42 + 2^/3. 

In the two examples given above it is seen thaï (/,, l>,, c, bave a 

common faclor other iban unity. 

Take, however, 

m = 3, n = 2, /* = • 

and let 

/ = 22. 

Il is seen that k = — 12, and tbe discriminant D = + 12. Equa- 
tion (II) becomes 

8a\ + i2rt,6, + 36« = i2.22. 



34o HARRIS HANCOCK. 

Note that 1 2 is a quadratic residue of 12 . 22, ihe congruence 
/(- ^^ 12 (mod 12.32) 

admitting the solution n = ^)'i; and observe that 

is a propcr solution ol' the quadratic form. that is. one in which 
Oj and /^i arc relativily prime. 

Tlie corresponding Pell's équation 

T» i2U' = i 
admits the solution 

T = -, U = 2. 
Write 

8 (7'f )- I 2 CT, i, + 3 //; ^ I 2 . 22 

in the form 

(8n,4-66|)'— '2è? = 8.i2.22, 

and it is seen that the gênerai solution is 

8rt, + 6/^1+ \JT2b^ = (48 + 4 v/i2)(7 H- 2 v'i-0* (/.■ = o, I, 2, 3, . . .). 

When 

/,=:l, «, = — 39, A, =: 127, 

/. = 2, '7i=— 549, A, = 1732, 

A- ^ 3, rt, z;;^7647, />,:= 24124, 



Cl 


= 


i3i, 


fl 


= 


1817, 


<\ 


^ 


25307, 



The corresponding values ol' ?. •^^, 'C arc 

/, =: o, k — t, 

Ç.= 3+3 \f22, i '■=-- 39 + 3 \^i , 

n —- 4 + 2 v/22, -ri = 124 + 2 v/22, 

C=:i7+ v'22; Ç= i3i -t- \/22; 

Â- = 2, /S- = 3, 

;=- 549 -f. 3 \/^, ? =— 7647-1-3/1^, 

Yi = 1 732 -h 2 \/22, n =r 24 124-1-2 V'22, 

Ç =: 1817-1- ^^22; Ç= ■.',5307 -H v/22; 



INTKGRAI, SOLUTIONS Ol' TIIK KQUATIO.N Ç* -<- r,° = "£'. 34 1 

Note ihat on the transition from a négative lo a positive discriminant 

\\e niust hâve 

D = 0=: — /<V,. 

If /,■ = o, wlie liave tlie l'ytliagorean numbers consideiod above. 
And it'/j ^= o, tiie quadralic form (II) beconies 

a, //i + 6, /i = o 
and tlie further solution is wilhout difficullv- 



GKNKRALISATION d'uN TIIKOHÈME DE TCHEBVCIIEFF. 3?i3 



Ciénéralisdfion iT un llirorèinc de TcJicbychcff; 
Put TitvGVE i\AGEL. 

w Kiistiania (Norvège). 



INTRODUCTION. 

Oti doil à TcliebycheiTle théorème remar(jual)le que voici (') : 
Pj. (Haiil le plus grarul noiiihrc jyrrinler qui (li\isc le produit 

(i4-2-)(i + 4')U 4-6^)...(i + ^.r-), 
P ... 

le rapport -^ croit infnttnictil arrc x. 

Après la mort di; Tcliebychefi', M. A. Markofî a trouvé dans ses 
manusci'its postliiimes une feuille, tout à fait sale et déchirée, où se 
trouvaient des calculs presque ininteilinibh^s, mais qui Font conduit 
à la démonstration du théorème. Sa démonstration fut publiée dans 
le Bullrliii de l' Acadciidc Impcriale des Sciences de Saint-Péters- 
bourg, iiS<)5 (- ). 

Ce résultat a été généialisé par M. G. P(ily.i, (jui a démontré le 
théorème suivant C) : 

(') On le trouve annoncé dans les Cours ULliograpliiis (4" éililion, p. 197) de 
Heraiile. 

( = ) Ces renseignements sont lires du Mémoire de M. C. StoR-MER, Une appli- 
cation d'un l/iéorème de Tclicbychel) [Arc/iiv for Matheinalil< og yalur^i- 
denxkal), t. XXIV, Krisliania, 190;!). 

(^) G. P01.YA, Géiiératisalio/t d'un l/iéorcnie de M. Stdrmer {ÀichU- for 
Hl,illirnt(itil< og .\'iUuriidcnskiil>, l. .\\\V. Krisllani^i, 1917). 

J„,iin. (/<- Mdlli. (S- S('rir)- I^J""' IV. — 1n>si-. IV. içi'i. 44 



344 : nVGVE NAGEL. 

En posant pour n^ i 

F„(.r)=]"J(.r~p). 

OÙ p parcourt les o(n) racines primitives n"'"" de /'unité, et en. dési- 
gnant par P^ le plus grand facteur premier du produit 

F„(,>.F„(2).F„(3)...F„(x), 



Dans ce qui suit nous allons démontrer que le théorème de Tciieby- 
cheff peut être étendu à toute fonction rationnelle entière f{x), 
irréductible, de degré > i, à coeificients entiers. 
Nous allons, en effet, démontrer le théorème : 
En désignant par P,. le plus grand facteur premier du produit 

/i I !.,/■( 2 ■./■(S I. . .f{r). 

oùf(x) est un polynôme entier, irréductible, de degré ]> i, on a 

.r(\os.ry- 

où £ est une quantité quelconque <; i . 

Dans les deux premiers paragraiihcs, nous démontrons cpielques 
lemmes préliminaires : i° sur le nonjhre de racines de la congrucnce 

/( .?■) = o (mod /i^). 

oà/(x) est un polynôme entier, et où p est premier; et 2° sur l'ordre 
de grandeur de la somme 

qui est étendue à tous les nombres premiers p'^-f, el où v^ désigne le 
nombre de racines de la congruence 

/(■>■) = '•< {mi>t\j>). 

Le troisième paragraphe contient la généralisalicin du ihéorèine de 
Tchebycheff. 



GÉNÉHALISATION Il'uN TIIKOKKME PE TCIIEnVCHEFF. 343 

l. Klanl donnée la fonction lalionncUe, enlière de x de degré n à 
coefficienls entiers 

/(.r) r=rt„.r" + fl,x" -'-*-. ..-1- a„_iX -+- fi„, 
nous allons ici démontrer (jueUiues théorèmes sur la congruence 
/(,;■) =o (mo(3/v»). 

où p est un nombre premier quelconque. Pour simplilier, nous suppo- 
sons : 1° que le plus grand commun diviseur des coefficients ao>«n ■■■■> 
a„ soit égal à i ; 2° que l'équation f{x) — o n'ait aucune racine 
multi[)le, c'est-à-dire que le discriminant D de /(a:) soit différent de 
zéro. Alors il est bien connu que le nombre de solutions de la con- 
gruence 
(,) /(.r)so (mod/j) 

est au plus égal au degré n de /(';), lorsque p est premier. Si x„ est 
une racine de la congruence (i), tel que f'{j^\) ne soit pas divisible 
par p, nous appelons x^ une racine simple de la congruence (i). Si les 
nombres /(x„) et /'(.r„) sont tous les deux divisibles par p, nous 
appelons x„ une racine multiple de la congruence (1). Dans le dernier 
cas, nous tirons, en effet, de l'identité (' ) 

(■'.) f(x)=J\x,) + {x — x^)f'{r,) 

+ {.r-^ .r„ y' ^, +. . .+ (.r — .i-o)"- —, 

la congruence identique 

(3) /(.T) = (.r-.r„)'-,c(.ï-) {m."lif). 

OÙ ^{x) est un polynôme entier de x de degré n — 1. Comme le dis- 
criminant U de/(ï^) est une fonction rationnelle, entière des coei'li- 
cienls de/(.r) à coefficienls entiers, il résulte de (3) que D est congru 
au discriminant de {x — x„)-g(x) := o (mod/;); donc : 

(') Il est à remarquer que Imis les nombres — /'''('o) «"l'I entiers; car 



3/|6 TliYGVE NAGEL. 

Lemme I, — Si la congruence (i) possède une racine multiple, le 
discriminant D ûq f(^x) est divisible par p. 

Si l'on connaît toutes les racines de la congruence 

(4) /(.r) = o (mo.l/j»), 

on en peut déduire toutes les racines de la congruence 

(5) ./■(.r) = o (mod /,='-'). 

Toute racine de (5) est de la forme .r„ + ([f, où .i\ parcourt toutes 
les racines de (4). Cherchons à déterminer l'entier / tel que le nombre 
Xa-htp'^ soit une racine de (5), *„ étant une racine de (4). Nous 
avons 

/(.ro+ tp^) =f{To) + tp^.f'(x,) + e-if-^L!^ + . . . , 

/( .r„ + //)'' ) = /( ,r„ ) + tp^ ./' ( .r„ ) ( mod /;«+' ). 

On aura ainsi à résoudre la congruence 

(6) f'(x„)t = --^-^ (mod/.). 

Si /'(x^) n'est pas divisible par p, c'est-à-dire si a\ est une racine 
simple de (i), cette congruence a toujours une et une seule racine f. 
Siy"'(x'„) est divisible par/j, c'est-à-dire si j?o est une racine multiple 
de (r), la congruence (G) a p racines, ou bien elle n'a aucune racine, 
suivant que f(x\) est divisible par p""^' ou non. Dans le premier cas, 
correspondent à toute racine x^^ de (4) les p racines x„, r,) -I- />", 
x^+ip"", ...,x„-^(p - i)/?^ de (;-)). 

Nous aurons, par suite, les résultats suivants : 

Lemme II. — Soit ./„ une racine simple de la congruence ( i). 
Alors, il y a une cl une seule racine de la congruence (/\), (pii c$l 
congrue à ./■„ (mod y>' ). 

Lrmmc III. — Soit ,/.„ une racine multiple de la congruciu'e (i). 
Alors, il y a an plus />'"' racines de la congruence (4), (]ui sont 
congrues à a^d (mod/?* ). 

Des lemmes I et II, il ri'snlle : 

TnKOUÈMK I. — Si p l'-sl un iiomhri' pi'rmici' ijul ne divise pus le 



GÉNÉIULISATION d'uN TlllioilÉME DE TCHEBYCHEKK. 347 

discriininanl D de /(x-), La nombre de racines incongrues de La 

congruence 

f(.r) = o (modp^) 

est exactciiient égal à celui de la congruence 
/(j7)so {mod p). 

Supposons ensuite que le nombre premier p divise D: et soit p^ la 
plus haute puissance de p qui divise D. Si la conj^ruence (i ) n'a 
aucune racine multiple, le théorème 1 est encore vrai. 

Soit maintenant x^ une racine de la congruence 

/(.r) = o {mod/)S^+'), 

et de plus une racine multiple de (i). Dans ce cas, le nombre /'(-t'o) 
est au plus divisible par /#. Car, si /'(û;„) était divisible par p^\ 
ridentité (2) donnerait la congruence identique 

f{x) = {x-x,)-g(a-) (mod /#+'), 

d'où résulterait D i^no (modyoi^^' ), contre l'hypothèse. [D est une 
fonction rationnelle, entière des coefficients de f{x) à coefficients 
entiers.] 

Si/'(x-„) est divisible par /jP et non par />P+', on a donc ^<u.. Il 
résulte de plus que les nombres f'{x,,+ lp^-'), pour / entier quel- 
conque, sont divisibles par p^et non par p^"*"'. 

Si a;, est une racine congrue à x„ (mod/jS""^') de la congruence 

(7) /(.'■) = (moH /)«+?), 

OÙ a > p. -f- I , tous les nombres 

(8) x^ + iip'^ (m r= 0,1,2 />^— ') 

le sont aussi. Car le nombre 

/(.r,+ «/>=') =/(.r,) -t- "K/'C-^i) + ^"'/'"./■"(•^•i) +• • • 

est divisible par />"-*''*, puis(pic/'(.r,)Es; o (mod/jP") et -^a > a -+- p. 



34i^ TRYGVE NAGEL. 

Cherchons les racines de la congruence 

(9) /(^•) = o (raod /,==-?+'). 

qu'on peut déduire des p^ racines (8) de la congruence (7). 
Ces racines sont de la forme .r, + itp^ ■+- lyo""^'^. Nous avons 

= /(x,-i- H^«)-H .■/)"*? ./'(-■Ti +"/-'=') -H- . .=f{jc^+up^) (raod />='+?+'), 
vu que 

/'(x, -H »/'") = O (mocl/<). 

Comme 2a>aH-^-t-i, nous aurons 

/(.r, 4- up^) ^/{j-i ) -+- up'^.f {j-i ) ( mody»^-^?^''). 

Nous aurons donc à résoudre la congruence 

/(x,) + «/J^./'(.r,) = o (niod/j''-^P+'). 

La congruence 

%^ — "^ (-^/') 
p'^^p ■ p? 

possède toujours une et une seule racine, soit «„, puisquey"(a;,) n'est 
pas divisible par pP"^'. Nous obtenons ainsi en partant des /?P racines (8) 
de la congruence (7), les p^ racines suivantes de la congruence (()) : 

(10) .r, + (Ho-h/'/^)/>='+''/^'''^^ 

où /i = o, I, 2, . . ., /J^-' — I , et où i- = 0, I, 2. ...,/' — I , et pas 
d^autres racines. 

En posant x\ + «„/?* = x\, le système (10) est é(juivaleiil à 

(10') j:\ + lp^^\ 

où /^= O, I, ■>, . . ., p^ - I. 

il résulte de là, lorsque ./■, |Kircourl toutes les racines de (7), qui 
sont congrues à x„ (mod/j'^"*"^) : Le nombre de racines congrues à 
Ta {inod p^^') de la congruence (7) est indépendant de a, lors(|ue 
a>(A 4- I. 

A toute valeur de ./„ coircspond une valeur détoi minée de Ji, (jui 
est ^ [/.. Par conséquent, nous p;)Uvons tirer la conclusion : 



fWCNKKAMSATION I)\>' THKOIIKMK I)K TC II K F! YCIIE KF. 349 

I.(t ivliiiruciiri- 
(il) /(.;■) = o (mod/ï='+:-') 

possède cxar.li'nii'iil autant de lacines que la coiiL^riience 

(12) /(^) = o (.no.]//--:^^')- 

quel que soit a ]> U.. 

[Car, de toute racine de (12), qui est une racine simple de (1), se 
déduit, d'après le lemme II, une et une seule racine de (11).] 

Si la congruence (i) possède exactement m racines simples et 
/», racines multiples, le nombre de racines de la congi uence (12) est 
au plus égal à (d'après les lemines II et III) 

//( + lii iji'-''-^ n D-. 
Nous avons ainsi démontré : 
Théouème II. — L<i conjxrueiwe 

f ( ,r) == u (niod p'^), 

OÙ p est un facteur preuiier du discriniiuniit D de f{x^, possède au 
plus u\)- racines incongrues ('). 

2. Supposons que le corps algébrique /(a) de degré // soit engeudré 
par le nombre a, racine de l'écjuation /'(x-) = o, 011 

/(.f) :^ ;r" -H (7|X"""' + . . . 4- «,i_i J7 -H «,i 

est une fonction ciilière, iriétluclil)le i!e ./• à coefficients entiers, 
lin [)ieiiaiil |ioiir p(jinl de d(''pai'l la loiinule connue (") 



(') Noire tlonionslralion de celte proposition se dnte du 6 lévrier 1921. 
M. Ore nous a coinrnuniqué qu'il a démontré ce lliéorème déjà an mois de jan- 
vier. Sa démonslralion va paraître dans Norsti Malematist; Tidsskrift, t. 3 
(Kristiania, 1921). 

(-) Voir M. !•;. Landau, Lî/ijûtirii/i^' in die elcinvnlare and analytixche 
Thaoric der nl^-r/iraisclie/i Z(ddfii iiiid dci Idenle (l.eip/.ig. n)iS, p. 109). 



35o 



TRYGVE NAGEL. 



OÙ la somme est étendue à tous les idéaux premiers p du corps k(y.) 
dont la norme ne surpasse pas ./■, el où r est une cofislante positive, 
nous allons d'abord démontrer la formule suivante : 

Posons, pour abrég^er, 

NlP,:.i NPlSr 

et 

Alors nous avons 

+(^)=1 1;, 

vu (jue 

y- = log.r + 0(i). 
En y introduisant 
o\\ aura 

.-.(X) = log.r + 0(,) +0/ 2^;;^) +-0(«-'-'''^)- 
Or, nous avons pour tn„ sufiisammeiit grand 



I loi;(/>( -H 11]- 



pour tous 1rs m-' /n... ('oinine la série > — ; ; est convergente, 

' .mmà f)l( l()g/«)= f' ' 



r.KNEUVLIS.VTION I) L'.N TU HOiU-. MK I)K TCIIKIl VCtIK KF 

nous aurons, par suite, 



■L{.v) — \n<^.v + 0(1). 



(;. Q. F. D. 



Désignons maintenaul [)ai' v [^ le nombre d'idéaux |)rerniers fdifTé- 
rents) de degré /• divisant l'idéal principal [p\, où p est un nombre 
premier (rationnel). Si p^ désigne un idéal premier de degré /•, nous 
aurons \ei équations : 



loi:.\(Pi I 






(3) 












lo2:N(i)„) 



N(p„) -Z-""'" ,," 



où les sommes à droite sont étendues à tous les nombres premiers 

yoSr (dans la première ), i.c' (dans la seconde), etc. 
Or, nous avons, pour r '^n, 



puisque la série > -tt- est convergente. 

A = l 

Par addition, il résulte donc de (3), 
logN(|)) 



(3') 






Or, si nous désignons par v^, le nonibrj de raciiicj incongrues de la 

congruence 

/(,r) = o (moip). 

nous avons d'après Dodekind v^ = ^/m pourvu ipie /) ne soit pas un 
diviseur a non essentiel » de « l'index » du noml)re entier a du corps 

Journ. de Math. (S- siiric), tome IV.— l'as.-. IV. ign. 4-> 



3j2 trygvk nagel. 

A(a) ('). Comme il n'y a qu'un nombre fini de tels diviseurs « non 
essentiels », nous pouvons dans la formule (3') remplacer v'^," par v^,. 
En appliquant la formule (2.), on aura, par suite, la formule suivante : 

/'='■ 
(4) Vv„i^/^.-^logx + 0(i), 

/' 

où la somme est étendue à tous les nombres premiers p Ir. 

Celte formule est encore valable pour le polynôme irréductible 

/(.r) ^ a„x" + a^a-''-' H- . . . + «,,-1.2; -+- «« («0?= o). 

Car, si nous y posons 

r7„.r r= 3 

et 

i'(3) = r/'j' '/(i) = i" 4- «,;"-'-+-.. .H- a„_,(i'^- z. -t- «„(?'„'"', 

la formule (4) est valable pour le polynôme ,i'(-). Or. le nombre de 
racines de la congrucnce 

/(.î) = o [modp) 

est exaclcmenl égal à celui de la congruence 

-(;) = o {mudp). 

sauf pour o,, divisible par p. La formule ('[) est donc valable pour tous 
les polynômes irréductibles. 

Lorsque /(.r) est réductible, lu formule (4) subsiste encore, si l'on 
y remplace le membre log.r par mlogx, où m désigne le nombre de 
facteurs iri'éduclibles diflérents contenus dans /"(./;). 

.">. Soil donnée la fonction rationnelle, entière de degré n à coeffi- 
cients entiers 

(i) f {.!•]■= a,,. 1 " -i- ri,. r" '-(-...+ '7„_|X -h f?,,. 



(') Voir \'\. r)i;i)i:Kri>u, IJcbcr tien Ziisaninienltang z^xiscl en (1er Théorie der 
Idéale iindder Théorie der hiihcrcn Coiigriienzeit (Aldi. der A. (u'^i. der II it.i. 
zu Goltingeri, 1878). 



(■KNÉRALISATION d'uN THKOHÈMK DE TCIIEnVCIIKI T. 353 

Désif,aions par P,: le plus grand facteur premier du [iroduit 

(2) /(,)./(2)./(3).../(a-). 

[Celle définition Q\\ge que f( x) nes'annulepouraucune valeur entière, 
positive de ,/■. | 

Le but de ce paragraphe est de montrer qu'on a 

,0s ,. .r(logj)' 

( J ) 1 1 ni ~ ^= o , ou : < 1 , 

pour toute fonction irréductible /(./•) de degic > i. 

Cherchons d'abord une limite supérieure de l'exposant L de la plus 
haute puisance p'' du nombre premier/^), qui divise le produit 

(4) /(.)./(o)./(,V>.../(N). 

Si/? ne divise pas le discriminant D de /"(.r), la congruence 

/(.r ) ^ o ( mo(\ p'") 

possède exactement v^, racines incongrues (cf. § 1, théorème I. et 
pour la définition de v^,. § *2). L'exposant L de la plus liante puissance 
de p qui divise (4) ne peut donc surpasser la quantité 

OÙ p^^' est plus grand que tous les nombres |/( i) |, \ /(■2)\. ..., | f(\)K 
[EÇx) désigne le plus grand nombre entier contenu dans .r. ] 

Si/) divise le discriminant D, le nombre des racines de la congruence 

/(./■) = o (niodp'") 

est au plus égal à riD' [cf. ^ I, théorème II). L'exposant ciierché L 
ne peut donc être supérieur à 

Nous pouvons toujours d(''teirninei- un nombre positif./-,, tel cjue {') 
l/(') I = I "o ?" + rti-r"-' -i-. . .-h (7„^,.r -h a„\< ao(x + x^)" 

(') Pour siiii|ilifier, nous supposons Of, positif. 



354 TRYGVE NAGEL. 

pour toute valeur positive de x. Car nous avons, pour ./■ > o, 

\f[.v)\^a„.r" + I «, 1 .1-"-' .^. . . 4- 1 „i I j--'' + . . . -^ I a„\ 



et 

a„ ( x + .r„ ) " = a„ a-" -h aJ") .ro .i"-^ -h ...-¥- a J '' ) -^'o -*'""*' + • • • -t- «o "^ï • 

Il suffit donc de clioisir le nombre ,/o p'ns grand que tous les nombres 



'• / a,. 



Il résulte de là qu'on peut choisir l'exposant / de manière qu'on ait 



OU 

(6) 



log/> log/j 



Comme 

\1>J \P 
nous pouvons remplacer les limites (5) et ( V) par les suivantes 



P'J ^P P- P'J />-' 



et 



X l"S^„ logfN' -f-.ro) 



/'-i loy/' loi;/* 



.,m'"^^^+-^«V 



Par conséquent, nous aurons 

a =1 

■V , r >•' '"?"o iog(N -i-o-ji 

-" L /^-' '"?-■/' if'^'/' J 

log/> n\)- h ,t\)-—^ h «-D-— 2-1 ^ . 

-^ L iP— ' '"«/' 'og/' J 

D-ocuocl/' 

Il est évident que l'ordre de grandeur de la dernière somme est 0(N). 



GÉNÉRALISATION d'uN TIIKOUKMIC IiK TCIIK liYCIl KFF. "JSS 

Nous avons, de plus, 
Car la série 






est convergente, puisque 1 est la série 

lo" A- 



2d /,(/, — 1 



A- = 2 

Nous arrivons donc à la relation 



(7) 



21 '^sl/('^) I < 2 ^"p^-^^ + 2 '^p['"g'^o+ «log(N + .ro)] + 0(N). 



p = ^ 



Supposons qu'il existe une grandeur g telle qu'on ail pour une 
infinité de valeurs de .\ Tinégalilé 

(8) P.^<^N(lo};N)^ |ioiir£<l. 

Dans ce cas, nous aurons, d'après la formule (4), paragraphe îi : 

y v„i2iZ^ =r iogl',+ 0(i): logN ^- £ log logN + 0(i), 

et, en outre, d'après la théorie de la dislrii)ution des nombres pre- 
miers, 

pif. r^v. 
En introduisant ces valeurs dans (-), il vient 

,1 =N 

(9) V log|/(.r) I < N logN + 0[\(logNn, 

.1=1 

où £'<< I. 



356 TRYGVE TV.VGEL. — THÉORÈME DE TCHEBYCHEFF. 

D'autre part, nous avons 

2i '"§ l/(-*') I - " ^ 'og'^ "^ ^ 'og I "o^- «I ■'•"' -H • • • + cn^r-" I =- 0(N ). 
La formule de Stirling, 

.1 =N 

y log^ = NlogN— ^ + ^logN + 0(i), 
donne, par suite, 

.»■ = N 

2log|/(.r)| = «NlogN + 0(N). 
.<■ — 1 

Or, cette formule est conlradictoiic avec rinég:alité (9), // étant > i. 

L'inégalité (8) n'a donc lieu que pour un nombre fini de valeurs 
de j\. Far conséquent, le théorème (3) se trouve démon Iré pour toute 
fonction irréducliblcy(.it-) de degré > i. Nous le pouvons évidemment 
énoncer sous la forme suivante : 

« Soit /(./■) une fonction rationnelle, entière, irréductible, de degré 
> I à coefficients entieis. Alors il y a au moins un nombre parmi les 

nombres 

/(i), /(2). /(3) f[.r) 

qui est divisible par un nombre premier p^ x-(\og.vy, t étant un 
quantité (pielconque <i, pour tous les .'>.'•„, où le nombre x\ 
dépend de i. » 

Plus généralement, nous tirons de là le résultat suivant : 

Soif f(x) une foiiclion rallonnellc , entière, à coej/ivieiits entiers, 
possédant au moins un zéro irrationnel. Alors, il y a au moins un 
nombre, différent de zéro, parmi les nombres 

/(O, /(^). /(3), ..., /(.'•), 

qui est divisible par un numltre premiei- p^ x{\o^xf, t étant une 
(juantité fjuelconque <[ i, pour tous les x >■ .f„, oii le nombre x^ 
dépend de i. 



FDMVriONS AHÉLIKN.NES .\ THOIS VAIil\ni.ES. 



Sur les .systèmes de relations singulières entre les périodes 
(le fonetions (ibéliennes à trois variables; 

Par I»aii. LE\ Y. 



INTRODUCTION. 

1. Notions générales. — L'objel fin présent travail est rétudc, 
dans le cas des fonctions abéliennes à trois variables, des relations 
singulières entre les périodes. Ces relations, déjà étudiées dans le cas 
de deux variables par M. G. Humbert (Journal de Matlièmatlques, 
189901 1900), sont nécessaires et suffisantes pour que les fonctions 
considérées admettent des transformations (au sens d'Hermite) 
autres que celles qui existent quelles que soient les périodes. Elles 
sont aussi nécessaires et suffisantes pour qu'il existe des fonctions 
intermédiaires, admettant les périodes considérées, autres que celles 
qui existent quelles que soient les périodes et rpii sont réductibles aux 
fonctions thêta. 

Dans le cas de trois variables, les relations singulières constituent 
un système de trois équations du second degré. 

Notre point de départ est un résultat de M. Humbert, d'après 
lequel on peut déduire algébricpiemenl d'un système de relations 
singulières un autre système de même forme, el, par des combinaisons 
linéaires, une simple infinité de systèmes nouveaux. (Quoique équiva- 
lents au système initial, ils décèlent l'existence de transformations et 
de fonctions intermédiaires autres que celles qui semblaient d'abord 
résulter seules de ce système. 

Kn considérant comme distincts les systèmes dérivés les uns des 
autres par l'opération indiquée par M. Humbert, que nous appellerons 



358 PAUL LÉVY. 

opération'^, un système de relations singulières dépend-d'une manière 
linéaire et homogène de 14 paramètres, et peut être représenté par un 
point A de l'espace £,3 à r3 dimensions. Les systèmes dérives les uns 
des autres par ropération^f et par des combinaisons linéaires sont repré- 
sentés par des points d'une même droite, que nous appellerons droite D. 

D'autre part, le système de périodes peut être représenté par un 
point M de l'espace Ef, à 6 dimensions. Un systèm.e de relations singu- 
lières est un système de trois relations entre les points A et M. 

Le point de vue auquel nous nous placerons est le suivant. De 
points A, A', A", . . . résultent, par l'opération 3 et par des combinai- 
sons linéaires, de nouveaux points. On arrive ainsi à définir une 
variété linéaire, que nous appelons ?'«/vV'7eL, d'oi'i l'on ne peut pas 
sortir par l'opération ^. Il arrive quelquefois que, des systèmes donnés 
initialement, résultent algébriquement, mais pas par l'opération §^ 
des systèmes représentés par des points non situés dans celte variété L, 
mais dans une variété analogue plus étendue. Cette circonstance est 
exceptionnelle et ne se produit jamais pour les variétés L déduites 
d'un seul point A (qui sont des droites D);elle ne sera signalée 
qu'accidentellement dans le dernier Chapitre de celle étude. 

Si un point M de l'espace l\., est lié par les relations singulières aux 
points A, A', A", ..., donnés dans l'espace M^^, et par suite à tous 
ceux de la variété L déterminée par ces points, il décrit une variété, 
que nous appelons variété & correspondant à la variété L. 

L'objet de ce travail est l'étude des variétés L, des variétés s et de 
la correspondance entre ces deux sortes de variétés. 

Les relations singulières devant être à coefficients entiers pour être 
intéressantes au point de vue d'IIermite et de M. Humhcrt, celle 
élude peut être entreprise au point de vue algébrique et au point de 
vue arithmétique. Nous ne nous sommes placés qu'au premier point 
de vue, de sorte que cette étude peut apparaître comme devant servir 
d'introduction à d'autres recherches de nature arithmétique. Nous 
pensons toutefois ([u'elle peut présenter en elle-mèiiie quehjue intérêt. 

2. liésurhé des principaux résultats; géométrie de Vespace E, 3. — 
Une notion fondamentale, dans l'étude de l'espace E,^, est celle de 
point exceptionnel. Nous appelons ainsi un point confondu avec celui 



FONCTIONS AliKI.IEN.NES A TH01S VMUMII.KS. 35») 

qu'on déduit de lui par i'opéralion .7. (F^es syslr-mes de relations singu- 
lières correspondant à de tels points seront dits systiuncs exception- 
nels. ) 

L'élude de la suhstiluliou résultant de l'opération J eiVectuée sur 
les points d'une même droite D montre aisément qu'une telle droite 
contient trois points exceptionnels. Ce résultat a été obtenu par 
M. llumhert, qui a formé l'équation du troisième degré définissant 
ces points et qui intr oduit deux invariants I et J. Si J" — 4I' ^ o, deux 
de ces points sont confondus, en un point exceptionnel double. 

J'ai complété ces résultats en montrant que les points exceptionnels 
constituent une vaiiétc V à 8 dimensions. Par chaque point excep- 
tionnel passent une quadruple infinité de droites D. La propriété d'un 
point exceptionnel d'être double ne dépend que de ce point, et non de 
la droite D considérée. Au contraire, la propriété d'être triple dépend 
de la droite D. Tout point exceptionnel double est triple pour une 
triple infinité de droites D. 

L'étude des droites ou plans (variétés linéaires à un nombre quel- 
conque de dimensions), situés sur la variété V, joue un grand rôle. 
Nous appelons ces (//-oiVe^ A. Elles dépendent de i i paramètres. Chaque 
droite A peut être considérée d'une manière et d'une seule comme 
l'intersection de deux variétés linéaires, l'une à 4 dimensions, l'autre à 
2 dimensions, situées sur la variété V. On a ainsi sur celte variété deux 
séries dislincles de plans, dépendant respectivement de 5 et 9 para- 
mètres, que nous appelons plans II, cl plans t.... Il n'en existe pas 
d'autie ( ' ). 

Dans CCS plans, les points exceptionnels doubles sont définis par 
une condition linéaire. Dans un plan 11,, on a ainsi un plan l[., double 
(l'indice désignant toujours le nombre de dimensions); dans un plan -.,, 
on a en général une droite A double, et sur une droite A qui n'est pas 
double, on a un seul point exceptionnel double. Il peut arriver qu'un 
plan r^., soit double, c'est-à-dire ne contienne ([ue des points excep- 

(') l'ar un point. V de la variété V passent une quadiuple infiflilé de droites A, 
qui se répartissent en une simple infinité de plans IIj, et en une triple infinité 
de plans T.-i. Si le point A est double, une infinité simple de ces plans tTj sont 
doubles; ils sont situés sur la quadrique Q associée à .\ {voir plus loin dans le 
texte). 

Jouni. de Math. (S' série), tome IV. — l-usc. IV. lyu. 4^ 



3(JO PAUL LÉVY. 

tionnels doubles. Les droites d'un tel plan ne sont pas des droites A 
doubles quelconques; nous les appelons d>-oiics A spécialrs. Dans un 
plans n, double, ces droites constituent un complexe linéaire. Elles 
jouissent d'une autre propriété caractéristique : ce sont les seules 
droites A qui puissent être considérées comme limites de droites D. 

Ces droites A, plans -^ ou IT,, sont évidemment des variétés L. En 
dehors de ces variétés dont tous les points sont exceptionnels, une 
variété h h /t dimensions est évidemment un lieu de droites D dépen- 
dant de // — I paramètres, dont les points exceptionnels décrivent 
trois nappes ayant des nombres de dimensions «,, /i.^, /^, au plus 
égaux à « — I. Il peut arriver (jue, parmi les droites D qui décrivent 
la variété L, certaines se réduisent à des droites A spéciales qui ne 
soient situées sur aucune des trois nappes; on a alors une nappe 
spéciale. 

On démontre aisément que n ^ + ii.^+ 11^=:^ ■m — -i. On a alors 
trois cas à distinguer suivant que la valeur maxima n — i est atteinte 
par G, I ou :i des nombres /?,, n., et 11^. 

Premier cas : n, = n., =^ n — i, //,, = o. — La vari(''té \j sera dite 
dans ce cas un pian $. C'est un lieu de droites D passant par un point 
exceptionnel fixe A. Le plan T le plus étendu est un plan à 5 dimen- 
sions, lieu de toutes les droites D passant par A. F^es deux nappes 
autres que celles constituées par le point A constituent une qua- 
drique (^, à discriminant non n\\\, A\lc quadrique () assoeit'c à A; 
elle contient A ou non suivant que ce point exceptionnel est double 
ou non. (Si ce point est double, il est alors triple pour les droites D 
tangentes à la (juadrique; celles situées sur la quadrique, eu nombre 
doublement infini, sont des droites A spéciales.) Celte (]nadri(pie 
contient deux séries triplement infinies de plans à 2 dimensions; les 
uns sont des plans -.; les autres sont des plans IL situés dans des 
plans II,. Sur la quadritjue Q, le lieu des points exccpliounels doubles 
est son intersection avec le pl;ni polaire de A. 

Deuxième cas : «, = n^ -t- /i, =^ // - i. — La variété L seia dite 
dans ce cas variété J^. La variété .ç^la plus étendue est une variété j^j à 
5 dimensions, définie par deux plans -^ et -[, associés, c'est-à-dire 
tels que toute droite joignant un point de l'un à un point de l'autre 



FONCTIONS ADÉLIENNES A TROIS VARIABLES. 36l 

soil une droite D; les plans t, s'associent tous deux à deux de celte 
manière, f^a troisième nappe de points exceptionnels est un plan II, , que 
MOUS appelons plan de hase de la variété 415- Le lieu des points excep- 
tionnels doubles est le plan II., double dans ce plan; il contient les 
droites A doubles des plans r... et -.,, qui sont conjuguées par rapport 
au complexe des droites A spéciales du plan II., double. 

Il peut arriver que -k., et rJ., soient confondus en un plan r.., double. 
Un tel plan, et un plan II,, quelconque le coupant (en un point au 
moins, et par suite suivant une droite), déterminent une variété s^^ 
spéciale. 

Troisième cas : h,, n.^, «, sont inférieurs à « — i . La variété L sera 
dite dans ce cas variété ù\\. Les variétés de ce type peuvent être plus 
complexes que celles des deux premiers types. Signalons : 

La variété 3Ra, à () dimensions, lieu des variétés J^j, ayant môme 
plan de base ; 

Le plan &«, à 8 dimensions, tangent à la variété A' en un point 
exceptionnel double A; la quadrique Q associée à A constitue une 
nappe de points exceptionnels dans Pg; les deux autres sontconstituées 
par le cône, lieu des droites A passant par A ; 

La variété on.,o, à lo dimensions, lieu des plans t^ tangents à la 
variété aux diUérents points d'un plan t:, double; 

La variété ORg, à 6 dimensions, intersection de deux variétés ;">R,j 
dont les plans de base se coupent eu un point exceptionnel double 13; 
les points exceptionnels y constituent deux plans FI-, se coupant en B 
et la quadrique Q associée à B ; 

La variété on,., à 4 dimensions, intersection de trois variétés OR9 
dont les plans de base se coupent deux à deux en des points exception- 
nels doubles B, B,, B.. Les nappes de points exceptionnels sont trois 
plans IL,, à 2 dimensions, appartenant respectivement aux trois plans 
de base; il y a en outre une nappe spéciale, constituée parle plan 
B, B,, Bo, qui est un plan II_, double. 

5. Géométrie de l'espace K,. — D'après les notations adoptées 
pour les périodes, les coordonnées d'un point de l'espace E„ sont 
désignées par G, (V, (i", 11, 11', IT. Nous appellerons rù/ie£.^ lo cône 



302 PAUL LÉVY. 

défini paramétriquement par les équations 

G =i\ G'-t\ G"—i"-, 

\V=i'i", U'=i"t, \\"=ii'. 

La généralrice joignant l'origine au point i, l' , I" scia dite généra- 
trice {/, (', I" ) du cône s,. Nous appellerons cône £., (ou encore 
cylindre s^), de coefficients /, /', /", le lieu décrit par le cône £„ dans 
une translation parallèle à la génératrice (/, t', t'). On peut représenter 
soit la génératrice (/, l' , t"), soit le cône £.; correspondant, par le 
point a défini dans un plan par les coordonnées homogènes /, /', l". 

Quand le point o décrit une dioite a, a.,, la génératrice (/, /', /") 
décrit un cà/ir' du second degré £., dans un plan P^ à 3 dimensions. 
La translation de ce cône parallèlement à n'importe quelle de ses 
génératrices lui faisant décrire tout le plan P,, ce plan est situé sur le 
cône £4 représenté par n'importe quel point de la droite a^a.,. Ces 
cônes constituent un faisceau linéaire ; leur intersection est constituée 
par le cône £3 et le plan P.,. On peut considérer que la droite a^a., 
représente soit ce faisceau linéaire, soit le plan P, commun aux 
cônes £, de ce faisceau, soit le cône £^ intersection de ce plan et du 
cône £3. 

Le lieu, soit de tous les cônes £., soit de tous les plans P3, est un 
cône £- d'équation 



(i 


H" 


II 


II 


G' 


H 


II 


II 


G" 



Nous appellerons plan Ç.^ la variété linéaire à trois dimensions 
déterminée par trois génératrices du cône S3, représentées par trois 
points a, a' , a" non en ligne droite (s'ils étaient en ligne dioile, ce 
serait un plan P.,). Le plan E;, ne contient pas d'autre-génératrice cjuc 
celles introduites par sa définition. II est donc l'eprésentahle d'une 
manière unique par trois points r/, t/', a" . 

Nous appellerons plan e, la variété linéaire à quatre dimensions 
déterminée par un plan P., et une généraliice du cône £,. Il ne con- 
tient pas d'autre génératrice du cône £., que la génératrice isolée 
introduite dans sa définition et celles tpii, situées dans P;,, y décrivent 



F0^CT10NS ABELIENNES \ THOIS VA.IU\BI.ES. 



;<;3 



un cône £.,. F^e plan F. est représonlable par un point a et une 
droite a, a.,. 

Un plan t, est évidemment situé sur trois plans 5., représentés 
chacun par un sommet du triangle ad a" et le côté opposé. Inverse- 
ment, chaque plan Ej contient une double infinité de plans 5;,, obtenus 
en choisissant deux points d et a" sur la droite a^ a.,. 

Nous avons considéré dans ce qui précède des cônes ayant l'origine 
pour sommet, ou des plans contenant l'origine. Nous désignerons par 
les mêmes notations £.,, £;,, e.,, £5, F3, S., e^ les difi'érentes variétés 
déduites des précédentes par un changement d'origine. 

Un système de relations singulières définit une vavu'U' -Sj ou -s.j, 
à /( ou 3 dimensions, suivant qu'il est exceptionnel ou non. S'il est 
exceptionnel double, la variété §., est un cône £1. S'il est exceptionnel 
simple, la variété -S,, est un cylindre, dont la section plane est le lieu, 
d'une part d'une simple infinité de plans à u dimensions, d'autre 
part d'une simple infinité de droites. Le cylindre -i-, lui-même est 
donc le lieu d'une infinité simple de plans à 3 dimensions, qui sont 
des plans P^, représentés par des droites a,, a.^ pivotant autour d'un 
point fixe; la génératrice représentée par ce point est parallèle à 
celles du cylindre. Le cylindre ^., peut se réduire en particulier à un 
plan P, . 

Une variété S3, qui peut en particulier se réduire à un plan G,, 
peut se représenter paramétiiqucment de manière que les trois séries 
de lignes coordonnées soient des droites cô, génératrices de cônes £3. 
Les trois séries de surfaces coordonnées sont des quadriques, dont 
chacune est située dans un plan 1',, et a pour cône directeur un 
cône £/, nous appellerons une telle quadriquc une pseudosphère. 
Les plans P^ correspondant à une même série de surfaces coor- 
données sont jiarallèles à une même droite du cône £,; par une 
translation parallèle à cette droite, chaque pseudosphère engendre 
un plan P3 et la variété S, engendre une variété Si- On trouve ainsi 
les trois variétés -S; contenant une variété s,, représentant les trois 
systèmes exceptionnels dérivés par l'opération § d'un système donné 
de relations singulières; chacune de ces variétés est liée à une série 
de génératrices reclilignes sur s,, et la recherche analytique des 
génératrices passant par un point de -S^ corrcs[)ond par suite à une 



364 PAUL LÉVY. 

même rqualion du troisième degré, indépendante du point choisi, 
qui est celle indiquée au n" 2. 

11 peut d'ailleurs arriver qu'une variété .s^ contienne d'autres géné- 
ratrices que celles que nous venons de considérer; elles ne sont pas 
parallèles aux généraliices du cône B;^. Il peut arriver aussi que les 
trois systèmes de génératrices parallèles à celles du cône £;, se 
réduisent à deux distincts, ou luènie un seul, et ne puissent pas être 
prises comme lignes coordonnées. Ainsi, un plan S, peut se réduire 
à un plan tangent au cône C3; les trois points a, «', a" qui le repré- 
sentent sont alors confondus. 

Une variété s est évidemment une intersection de variétés -S^ ou -s,,. 
Indiquons la correspondance des principaux types de variétés S avec 
les types de variétés L définis dans l'espace E,., . 

Un plan P, est situé sur une quadruple infinité de variétés s.,, dont 
une triple inlinit('' de cônes £.,. C'est la variété S correspondant à un 
plan IIj. 

Un cône £3 est commun à une double infinité de cônes £s ayant 
même sommet; c'est la variéli' ^ correspondant à un plan Ilo double. 
Chaque cône 2^ a d'ailleurs une infinité de sommets, et contient une 
infinité de cônes 83, ce qui correspond au fait qu'un point excep- 
tionnel double est sur une infinité de plans IL doubles. 

Une droite A spéciale est l'intf^rseclion d'un plan II, et d'un plan 11. 
double. La variété rS correspondante comprend le cône £., et le 
plan P;, correspondant à ces plans IL etll,. Ce cône £3 et ce plan P.., 
ont pour intersection un cône £,, qui est la variété s correspon- 
dant à la variété 4^, spéciale déterminée par le plan tIo double et le 
plan H.. 

A une variété.!^, non spéciale correspond une psoudosphère, dont 
le plan P., correspond au plan de base de la variété J^^. 

A un p.seudocc/c/e, intersection de deux pseudosphères d'un même 
plan p.,, et par suite de toutes celles d'un faisceau lim-aire, corres- 
pond une variété ;)R|., lieu d'une série sim|tlcment infinie de va- 
riétés J^5 ayant même plan de base. Si le pseiidocercle se réduit à 
deux droites concourantes (nécessairement génératrices d'un même 
cône £3), les deux naj)pes de |)oints exceptionnels dans OXi,-. autres 
([ue ceux du [ilan de base, (pii sont de toute la(;on des variétés à 



rOiNCTIONS AIÎKI.IKNNKS A THOIS VAllI A BI.KS. 



'>6b 



trois dimensions, sont algrl)riqneincnl dislincles, el ont en commun 
le pliiii IL (louljle qui corres|)on(l au cône S^. 

L'cnsenilile de Irois génératrices du cône £;, correspond à la va- 
riété :)\L.,, intersection des trois variétés .)Il,,, aux plans de base 
desquelles correspondent les plans IV, di'finis |)ai' ces gn'-nératrices 
assemblées deux à deux. 

Au plan ts, tangent à la variété \' en un point exceptionnel 
double B, corres|)ond la droite ai, ligne des points coniques du 
cône S-, corres[)ondant à B. 

A la variété :^K,„, liru des plans (?« tangents à V aux points d'un 
plan -., double, corres[)ond un point, sommet du cône £., correspon- 
dant au point r..^ double. 

Si le point exceptionnel double B décrit un plan IL, double, la 
droite lO, ligne des points coniques du cône a, correspondant, décrit 
un plan P., en restant parallèle au cône 3. de ce plan. La correspon- 
dance entre B et cette droite iP est une transformation de Lie. 

'l. Transfoimalion <l' ll<'rniilc. — La transformation d'ilermite, 
qu'on peut envisager soit comme une transformation ponctuelle dans 
l'espace E„, soit comme une transformation ponctuelle dans l'es- 
pace E,.,, est utile à considérer dans la géométrie de ces espaces. 

Dans l'espace L,3, la transformation d'Hermite est une transfor- 
mation honiograpbique, qui conserve la variété V, et transforme les 
variétés L des dilTérents types eu variétés analogues; elle transforme 
aussi les complexes de droites spéciales en complexes analogues. 

Dans l'espace E^, c'est une transformation ponctuelle, transforme 
une droite (0, parallèle à une génératrice du cône t^ en une droite ana- 
logue, une pseudosphère en une pseudosphère et, d'une manière 
générale, une variétés en une variété analogue. Elle comprend comme 
cas particulier la translation et aussi une transformation permettant 
de transformer les variétés y^ passant par l'origine en variétés s^ 
linéaires, c'est-à-dire en plans C.,. Par ces transformations, une 
variété s., peut toujours être transformée en un plan C^ passant par 
l'origine. Celte réduction permet d'obtenir aisément les propriétés 
des génératrices des variétés -s^. 

On remar(pie l'analogie en tri* h' [)assagc d'un espace à l'autre, el la 
transformation de Lie, qui transforme une tiausfornuilion homogra- 



366 PAUL LKVY. 

phique conservant un complexe linéaire en une transformation 
ponctuelle conservant les angles (transformant une droite isotrope en 
une droite isotrope). D'après le résultat final du n° 5, il y a plus 
qu'une simple analogie. 

ff. Le Chapitre I du présent travail a pour objet la formation des 
systèmes de relations singulières. 

Dans le Chapitre II, nous étudions l'opération ? de M. Humbert, et 
introduisons la notion de système exceptionnel. Dans le Chapitre III, 
nous étudions la géométrie de l'espace £,3; dans le Chapitre IV, la 
géométrie de l'espace E^ et la correspondance entre les deux espaces. 

J'indique maintenant quels sont les principaux résultats dus à 
M. Humbert : ce sont la formation des systèmes de relations singu- 
lières, l'opération #, la détermination des systèmes exceptionnels 
dérivés d'un système donné, la formation des invariants I et J et leur 
invariance par une transformation d'Hermitc d'ordre i ; l'existence 
sur les variétés §.j de trois séries de génératrices rectilignes, dépendant 
de la même équation du troisième degré que les trois systèmes excep- 
tionnels dérivés du système étudié; le groupement de ces génératrices 
en variétés à deux dimensions (|ui sont de deux manières le lieu d'une 
série simplement infinie de génératrices. 

Même dans l'exposé de ces résultats, il m'est arrivé de m'écarter de 
la marche suivie par M. Humbert. Pour la formation des relations 
singulières, l'introduction de notations symétriques m'a permis de 
simplifier l'écriture des principales formules. Pour le reste, les chan- 
gements ont été plus importants, notamment en ce qui concerne les 
propriétés des variétés S^, que j"ai liées à celles des autres ly[)<"s de 
variétés -s. 

Je veux, en terminant cetle Introduclion, adresser mes remercimcnts 
à M. Humbert (|ui, ayant obtenu les résultais (jue je viens de rappeler, 
ayant fait notamment la découverte si féconde de l'opération ^, a bien 
voulu me confier ses calculs et m'a encouragé à poursuivre l'élude de 
celte question ( ' ), 

Je rappelle que les principaux résultats des Chapitres 1 et II ont été 

( ') Ces lift 11 es ont élé éciilos avant la mort de M. Iluiiiiiert. enlevé à la Scienre 
et à l'iiireclion des siens, alors (jiie l'on pouvait espérer encore la conlinualiuii 



FONCTIONS MiKI.lKNNKS A TIKiIS VAlUAni.ES. 3()y 

énoncés dans une Note présenlée à l'Acadéniie des Sciences le 8 juin 
191 /| par M. Hiimberl el moi. ,1'avais commis i]iicl(jues (erreurs en 
rédif^eanl le n" iî de celle Noie, La géoméliie de l'espace \'., ,. comme 
cela fésiille du résumé qui précrdo. r-st plus complexe (pie ne l'indique 
le passage eu (pieslion. 

Les principaux résultai^- du (lliapilie 111 oui élé <'X|)nsrs le uS avril 
1920 à la Société matliémalique de l-'iauce. Oux du ( lli^ipilie l\ sont 
inédits. 

CHAIMTRL L 

lOiiMAiroN r>i:s svstèmfs di: iiki.at[o>s siNra i.it:ui:s. 

1. }\<il(ili<>ii.s. — Soil un prrniiiT .systr/iii- i\c fonctions ahélienncs 
à tcois variables Li. V, \\ . admettaiil comme inTimli-s iioiiiialcs 

V : 1. o, o. G, Il , II'; 
V: o, I, o. H', G'. Il: 
W : ù, o. I, M . Il, (. . 

Nous désignerons aussi ces périodes par 
I',. I',,'.... P,;, 

"•;- .1'; 1^;- 

1-, K. .. , ]>;. 

el représenterons sxmholiquement par (tj?,~) le système de périodes 
sinudlanées 1',. l'^ , V]. Un système cpielconcpie de périodes pourra 
être I ('présenté par 

fl) (T) --r \, ('.(?,) + \,(To) +...-- XoCrj. 

les \, éiaiil des entiers positifs, nids, ou négatifs. 

iNoiis poserons U= L],-i-/U.. el enq)loierons des noiations ana- 
logues pour désigner les parties réelles et imaginaires de \ , \N . (1, 

(le ses beaux liasiiiix. Il m'avail inaiiifeslij iiolariimeiil l'iiileiilioii (réludier le 
[loiiil de vue aritlini(Hii]iie. (pie j'ai laissé de côlé a» cours de ce liavail (iwV 
■Iciiiicr alinéa du n" 1 ). 

Jauni, lie Uiitli. (?<• scrio). lomc l\ . — Isi-^c. 1\ . ■;) " • ^7 



368 PAUL LÉVY. 

G', G", H, H', H". Si, dans l'expression (i), on donne aux X,- des 
valeurs Tèrllc-t quelconques , on trouve, au lieu d'un système de 
périodes (T), un syslènie de valeurs complexes des variables 



i U., 



X, P, + . . . + X„P„ = X, 4- X^G + X^H"-!- Xe 



(a) V= V,+ i- V,Tz:X,P',-H...-HX„Pi=X,+ XiH"-t-X5G'+XcH, 



w 



w, -H Av, = x,p; -H. . . + x„p;, = X3+ x.ir + \,\\ -t- x^g'. 



Ces valeurs sonl d'ailleurs quelconques, puisqu'on sait qu'il n'existe 
entre les six systèmes de périodes aucune relation linéaire et homo- 
gène à coefficients réels. U,, ^ ,. W., T „, A „, \^ \. sont donc six fonc- 
tions linéaires indépendantes des \,. Leur délerminant fonctionnel. 
qui se réduit à 






G, 
H, 
H, 



n; 

G', 
Ho 



n'est donc pas nul. On a ainsi une représentation des trois valeurs 
complexes U. A . Wdans l'espace réel à six dimensions E„ parle point 
de coordonnées X,, X^, .... X„. [^'ensemble des points représentant 
des systèmes équi\alenls de valeurs de U, A . W | c'est-à-dire ne dif- 
férant (juc par les trois composantes d'une période (1')] constitue un 
réseau cubique; nous dirons que ces points sont équivalents. 

Considérons un deuxième syslènie de fonctions abéliennes à trois 
var iables //. r. kv. ^oup désignerons par (ro,) le système de périodes y,, 
q^ . (/] . et désigiiLMons [)0iir le reste, par des petites lettres, les quantités 
analogues à collfs (jui. à propos du premier système, ont été désignées 
par les majuscules coi;espondaiites. 



*1. I.r priihli'iiie de lu Iriins fui-nidl lun . — Le problème de la tr.iiis- 
I(j: luation, an srns d ll<'rmite. est le suivant : 

Trouver les ritinlilions /n'i-i-ssaires el su //isanles pour i/u'un jiuissi 
élahlir ftilri- les dru r i:ri)Upfs de variuliles des rctulions dr lu 

forme 

I \j r^ l II -\- m V -\- n ir, 

(3) V = /' // -4- «/ !• -h //'il', 

' \V _ /"« -)- m" V -H II' w. 



FONCTIONS ARIÎLIENNES A TROIS VAniABLES. ^Df) 

cl li'lli-s tjiir les fondions ahèlicnnes du premier syslèrne s'ex- 
firimi'iil rdliiinnrlb-nii-nl en fonction de celles dn second. 

Nous dirons que la transformation ( î) fait passer des variables LJ, 
^ . W aux variables a. c, <v; ou du premier système de périodes an 
second. 

.">. Mise l'n é/jiialion du proldènic. — Pour ipie 1rs condilions du 
problème posé soient vérifiées, il faut et il suffit que, toutes les fois 
que //. r. «■ augmentent respectivcuieiit ries trois composantes d'une 
période (m). \ . \ , W auj^mentciit des trois composantes d'uue 
périofle ('D. A chaque p(''riode (îô,) coircspond ainsi um- piTiode 

les a, j étant des entiers. A la période 
correspond alors la période 

(^') = x,(ft\) + x,($,) + . . .+ x^cr, ), 

les Xy étant donnés par la formule 

(à) Xy= a,,;.i-, -r-«2.y^-2-r . . .+ «s.y-re (y = 1 , 2, . . . . 6 ). 

Pour avoir les relations entre les coeflicienls c/,y et les périodes, 
égalons les com])osantes de la période (4 ' «lux valeurs four'iiies par- les 
formules (3). Il vient ainsi, en remplaçant les I'. I". V" par leurs 

valeurs, 

, / ij, -r- m /f + /; q'I = «, , + «,- ^ G -+- «,-,;irH- a,,. Il', 
(()) ; I' tj,-h m'/f + «V/J =rt,.--i- «,,111"+ rt/jG'-i- <7,.o II. 

' /"'/,+ "'"7,' -t- /^''/,'' :^ rt,.3 -i- «,.; FI' 1- (7, 5II — o, ,•,("■ ". 

Désignons les seconds membres par //,. //, /',. Pour / — i. u. ). il 
vient 

/ ^ /',. m z^ ^j, /( -— /',. 

/' = //,, m' = b\. '/ 

l'^^'ù'.. m' := b' Il _ /' . 



370 PMI, LlivV. 

Les formules ( (J), poiir / = 1, ^, G, deviennent alors 

( bi— b,f/,-+- b,fi', + b^f]",, 

(-) b', — l>\'Ji+b'.-,q'i^b'.,(i'l, 

{ b" z= (i'[ <ii ~\- b", (j] -\- b\ rj] , 

soit neuf relations entre les coeftîcients (7,^ et les périodes des deux 
systèmes. 

4. La IransfoTinaliuii adjointe. — l']n développant le système pré- 
cédent, on vérifie aisément qu'on ne le chani^e pas en effectuant simul- 
tanément les opérations suivantes : 

1° Sur les périodes : permuter les deux systèmes de périodes; 

2" Sur les coeflicienls : remplacer chaque coeflicient d'indices/,/ 
par celui d'indice j àz'i, /±3 (le signe ± ne peut donner lieu à 
aucune incertitude puisque les indices varient de i à 6) et changer en 
outre (II- signe. les coefficients ayant un indice ('gai à i, 2 ou 3 et l'autre 
à '1, "), 6. 

Si l'on range les coeflicienls en un tableau carré, divisé en quatre 
carrés de neuf éléments, l'opération indiquée revient à ceci : rem- 
placer chaque carré partiel |)ar son symétrique par rapport au centre 
du tableau; remplacer ensuite chaque éb-ment par son syimHrique par 
rapport à la diagonale principale; changer le signe des éléments des 
carrés partiels traversés par la seconde diagonale. 

Si une transloi nialion de coeflicienls f/, ^ fait passer du premier sys- 
tème de pi'rlodes au second, il lui correspond, par l'opéralion précé- 
dente, une Iranslormation faisant passer du second système de périodes 
au premier. Ces deux Iranslormations sont dites adjolitlcs l'une de 
l'autre. 

l'entre les neuf i'(pialioiis (yj nous pouvons éliminei' les périodes 
d'un même système. On obtient ainsi deux nouveaux systèmes de trois 
équations qui se déduisent l'un de l'autre en permutant les deux sys- 
tèmes de périodes, en changeant leurs signes, cl en remplaçant chaque 
coeflicient par le coeflicient correspondant de hi transformation 
adjointe. Il suflit de former l'un d'eux; nous allons par exemple 
éliminer les périodes du deuxième système. 



FONCTIONS ABKLIENNES \ TltOIS VAHIAHI,t>. 37 1 

.». l'.lirninaliuii des pi' i iodes du, dcuxicinc syslcmc — l'onr i = \. 
les é(jualions (7) donnent 



'A 


= b^g + bJi"^lH 


/«'; 


b\ 


= b\i,'+ b\k'^b\ 


,h', 


b\ 


= b]s^b'jr+b: 


,/('. 



L'éliniinalion île r ilmme les é([ijalion< 

i (^\ ^■')..; = (*, 0),.Jt'-^{b\ b),,,b\ 

(8) }\b".b),_,={b",b),,J,'-+.(b'',b),^,h\ 
i {b, b'\.., = {b, b'),^Ji'^{b, //),,,/'', 

où Ton a posé 

(//', b"),j= b,b"j—b',b,. 
( //. b ),j = b] bj — bj bj , 
ib. b'),j=b,bj—b',bj. 

De mi'-me, en faisant / = 5 et / = 6 dans les équations ( 7 t. on trouve 

, (b\ //)..,= (//. b'),_,/i-i-{b', b')^,Ji\ 

(Si (//■, b ),.5=(//. b ),,,h-i-{b\ b ),.,/*'. 

( (b. b'),,,= (b. b),,,h^{b, b'),,,/i'. 

. (//, b'),,,= (b\b"):,,i/i'^(b\b'h.Ji. 

(S', ' {blb ),.e=(6'\6)3.,/i'+(*", 6 ),.;/'. 

I (/.. b'h., = (b, //),.,/''-(/'. *)3.-./'- 

ICn ajoutant les équations de même rani:^ des sysiènies (8), (8') 
et (8 ), les périodes du deuxième système disparaissent; il vient 

(9) \ il>'> '< ).,;+('''.• b h.,+ {b\ b h,,^o. 
M*, //'),.-.^(/', l^'),.,^iO. //),.,= (•>, 

é(|uati()ns qui ne contiennent [)lus que les coefficients a,y el les 
pi'riodes du premier système. Ce sont donc les relations cherchées. 
Pour les développer, introduisons les notations suivantes : 

(...) A,,^= («);,>' + («)^/ + («)?.^ 

(les A,, formant un tableau symétrique ijaucheV et appelons ij, Ç', 



3^2 r'AUL LÉV*. 

(|'", 3e, 3t', 3C' les mineurs correspondant respectivement à G, G', G", 
H, H', H " dans le déterminant 



('0 



ni= 



G. 


11", 


ir 


M", 


G', 


11 


H', 


H. 


G" 



Va\ développant ( //, /'"j, -, on trouve 



|ll + (rt)i;jH'-(rt);::H" 



On en déduit aisément l'expression développée de la première équa- 
tion ( ()). Calculant de même celle des deux autres équations, il vient : 

i Â,.cÇ| -i-Ac,iJe"-HA,,,je'-i-A2.,G"-A3,5G'-H(A,.5-A,.,0lI -hA,,..!!'— A3,. li'H-A,„=o, 

(12) ' f^,.s3t"-h\,^..(J\ -^ A,^,X -r-k,,,G — A,,<,G"+(A3.,— A,,i)ir-i-A3,,H"-A,.5H +A3,,=o, 

f .\:„,3t' ^\,,,3t ^Ai.3(J"-HA,.5G'— A,,.G -t-(A,.. — A,,,)ll"+A|.,ll —A,.,ti'+\,,,=o, 

ces trois équations se déduisant de la première par permutations cir- 
culaires des indices ou quantités 

(:.2, 3): (4,0-6): (G. G', G"); (H, 11'. H"). 

Appelons système de relations si//^ii/ières entre les périudes un 
système de la forme 

I E EEE/,(| -t->,'.-l€"-t->."3C'-t-7 G — i G -i-(p'— -/'jU -Ha' 11'— 3c'H"-t-,a =<.. 

(i3) : K'=À3C"-t-/.'(|" +>,''3€+a"G —y G'-h(-/"— « )H'+3'ir-i 11 -i-fx'=.', 

\ VJ'=1X.'+\':k. +//'(,"' -(-5 G'— a'G -(-(3t — S')II"-Hy H — / H'-t-|x'=r o. 

On voit que, pour que la transformalion de coefficients Ujj puisse 
faire passer du premier système de périodes au second, il faut que les 
périodes du premier système vérilienl un svsième de lelalious siui;u- 
lières de coefficients 



,3 -A,,,. 


/ - A,.. 


' V,.,. 


IJ. = A„ 


(3'-:A,.„ 


■/=A,.o, 


>'=A„.,, 


H-' — A, 


S"=A3...,. 


■/'--A3... 


/,"= A., ,, 


y"=A, 



^ a =A, 
^ a"- A, 



les A,y étant délinis par la fornuile (10). De même, en ulilisant la 
notation de transformaticjn adjointe, on voit (pie les [)ériodes du 



FONCTIONS MilOLIKNNKS A THOIS VAIUAHLKS. 'i~'i 

second système vérifient un syslérnc de relalioiis sirijiulières de coef- 
licienls 

,'a=L!,,i, ,3=B,..„ ■/=H;,.i. >=B,,,, f/=B,,.e, 

(.',').) a' = B,,3, ;3' = B„, •/=B3,3, l' = ih.u i^' = Br,,., 

/ a'.r-3 B,.,,. 5"=B,.c, 7''=B,,o, À''=B,.,, f/'^B^s, 

avec 

B,,y=(«)v/;-+-(«);•.i-^-(«):,•.^ 

(». Truiisfoi'rnations uidinali-cs et siiiiiulières. — Les a,y étani 
des entiers, il en est de même des A,^. On voit alors qu'il y a deux 
cas à distinguer: 

l'rcmici- ras. — Les coefficients du système (iii) sont tous nuls, 
c'esl-i'i-diie que 

(l5) y. = y=y", 

tous les autres coefficients du tableau (i 4) étant nuls. 

Dans ce cas. la transformation (5) aussi bien que la transfonnalion 
inverse s'applique à tout système de périodes. Le système de relations 
singulières déduit du tableau (i4) est donc identiquement vérifié en 
même temps que celui déduit du tableau (i4')- Une telle transfor- 
mation est dite transfornialion ordinaire ou transformation 
d Ilerniiic. 

Deuxième cas. — Les coefficients du tableau (i4) ne sont pas tous 
nuls. La transfornialion définie par les coefficients a^j est alors dite 
Irai/sformalion singulière. Elle ne s'applique qu'aux systèmes de 
périodes vérifiant les relations singulières. 

On remarquera que, si les périodes sont (juelcomiues, non seule- 
ment elles ne vérifient pas le système formé avec les coeflicients consi- 
dérés, mais elles ne véri lient aucun système analogue à coeflicients 
entiers. Il n'existe alors aucune transformation singulière s'appliquant 
à CCS l'onitioiis. 

7. A partir du Cbapilre II, nous nous attaclierous principalement 
à l'étude des relations singulières au point de vue algébrique, consi- 
(b'r.iiit des systèmes de relations à coeflicients (pielcoiiques. A cliacnn 



3^4 PAUL LÉVy. 

de ces systèmes correspondent, par les formules (lo), dos systèmes 
de coefficients «,^ (dépendant de 21 paramètres), à chacun desquels 
correspond une transformation homograpliique {')); mais une telle 
transformation, n'étant pas à coefficients entiers, ne correspond pas 
à une solution du problème de la transformation des fonctions abé- 
lieiines. 

lîemarquons fjue, même au point de vue algébrique auquel nous 
nous plaçons, il ne faut considérer que les systèmes de coeflicienls cij j 
dont le déterminant ne soit pas nul. Or ce déterminant, que nous 
désignerons par A, s'exprime en fonction des coefficients r/, ,. On a, 
en effet. 



A- = 

OU, en faisant le produit par lignes, 

A, , . 



X' 



Il n'y a donc à considérer que les tableaux de coefficients A,,, dont 
le déterminant ne soit pas nul. Or les coefficients 



S! = A,.4r=— Âj.,, 



S'=A2., = - A.,,, 



A„ = -A„ 



n'interviennent dans les relations singulières (pie par leurs dill'é- 
reiices; on peut leur ajouter une même c(jiistaule t sans changer le 
système (i3). 

Le déterminant \- est de degré (i en t, le terme de plus haut degré 
étant 7". Parmi les tableaux de coefficients A,j correspondant à un 
même système de relations singulières, il y en a donc six au |ilus ne 
convenant pas, même au point de vue algébrique auquel nous nous 
plaçons. 

Dans le cas des transformations d'Herinile, l'expression de A- se 
simplifie. Appelons /. la valeur commune des coefficients (i5). On a 



A,,;rrA,.,= A,,„ = -A,. 



A,,., = - A„. 



/.-, 



FONCTIONS AliKLlENNES A TROIS VAHIMlI.KS. J'):^ 

les autres coefiicienls A,,y étant nuls, et, par suite, 

X' = /.'■, 1 = ±/.'. 

Comme il s'agit cFiinc idenliui entre deux lonclioiis algébriques 
entières des coefficients (/,,j, le signe qui convimt ne peut clianger, 
et il suffit d'une vérincatiou sur un exemple numériiiue pour s'assurer 
([ue c'est le signe -h. Ou a donc 

A = /, '. 

De l'expression de \- résulte évidemment que les six tableaux de 
coefficients A,.y que nous avons considérés comme ne convenant pas, 
sont ici confondus; cela ne peut évidemment pas se produire pour une 
ti'ansformation singulière. 

(^)u'il s'agisse de transformations ordinaires ou singulières, on peut 
leniarquer (jue le déterminant A ne cliange pas si l'on remplace une 
transformation par son adjointe (il en est, par suite, de même de X" 
pour une transformation ordinaire), et qu'on peut toujours le supposer 
positif en changeant au besoin le signe des périodes G, G', G , 
II, H', H"; c'est ce ([ue nous feions. 

Dans le cas où les coefficients f/,,, sont entiers, ce déterminant a 
alors une signification simple. Par les formules ()), à un cube de 
côté I dans l'espace c^ correspond dans l'espace E,, un volume égal 
à A, contenant exactement A points équivalents à tout point donné. 
Il leur correspond alors inversement A points de l'espace <■,, situés 
dans un même cube de côté i et en général distincts, par suite non 
équivalents. En raison de la relation entre les espaces E, et f, et les 
systèmes de variables U, V, W et a, r, vv, on voit que A indique le 
nombre de systèmes de valeurs de u, v, w non équivalents, correspon- 
dant à un même système de valeurs de U,V,W. C'est ce qu'on appelle 
Voniri' (le la transformation considérée. 

S. Rrpn-si'iilatioit i^romc'/ri'jitr dans l'espace E^ (,')•- Consi- 



(') L'inlérêl de celle representalion, ou de la re|.résenliUion analogue dans 
le cas des fonctions abéliennes de deux variables, a déjà été sii^nalo par 
M. G. Ilnmbeil (Cours de 190S-1909 au Collège de FrHnce; voir sur ce sujel la 
riièse de G. Cloltv). 



lourn. de Mtith. (S- suric), l.nni' l\. — l-;i!^c. 1\ . i l'i. • 



3^6 PAUL LÉVV. 

dérons mainlenaiU les X, comme des coordonnées lioniojièiies dans 
l'espace E,, à cinq dimensions. Les expressions (i), égalées à o, repré- 
sentent trois pians, dont l'inlerseclion est ce que nons appellerons une 
droite. (Dans la géométrie des espaces à 2// + 1 dimensions, il esl 
souventcommode d'appeler c^/'oiVe une variété linéaire à «dimensions.) 
Mais ce n'est pas une droite quelconque, puisqu'il existe trois rela- 
tions entre les périodes (},, (T^, (T. Les écjualions d'une droite pouvant 
être résolues en général par rapport aux coordonnées \,, Xo, X;,. et 
écrites sous la forme 

I X, + \,G -f-X5H"-hX,..H', = 0, 

(16) ) X, -H Xjir; -f- x,G' -t- X,; ii = o. 

( \;,-i-X;H' -f-X;,H, -r X„G" = o, 

les conditions pour que les premiers membres puissent être identifiés 
aux expressions (i) sont évidemment 

(17) H^H,, 11= H,, H'=H,. 

Xous appellerons complexe l'ensemble des droites dont les coeffi- 
cients vérifient trois relations linéaires. Les conditions considérées 
peuvent s'exprimer eu disant que les droites appartiennent au com- 
plexe C défini par les relations (17). 

Considérons maintenant les formules (5), qui définissent les relations 
entre les X et les x ; elles représentent une transformation lioinogra- 
pliicjue dans l'espace E,. Par les formules (3) é(piivalenles aux 
formules (")), on voit que la droite D 

U — V=:\V = o, 

qui définit le premier système de périodes et appailieni au conqilexe (], 
a pour transformée la droite d 

Pour ipic celle ilroile corresponde à un système de périodes, il huit 
(ju'elle appartienne au complexe C, c'est-à-dire (pn> les expicssions 

(/ = ,r, -t- d?4^ -<- .T^h' -I- Xf, ti\ , 

i' =0:^+ .T^ ll\ -f - X^g' ■+- Xf, h , 

ir 7= x-i -\- X; II' -h .rj A, -(- x^g" 



^o^cïlo.^■s mu-liennes a tiiois whimii-es. j77 

obtenues en iransformanl les équalions de la droit.- D par la transfor- 
mation hornoijrapliique ( ") N soient telles que 

C'e^t précisémeul en écrivant qu'il en est ainsi que nous avons 
obtenu le système (12). Dans notre interprétation géométrique, 
les relations singulières déduites du tableau (li) soûl donc celles 
qui expriment que la transformée de la droite D par la transfor- 
mation (:V) appartient au complexe C. ^ 

De même les relations singulières déduites du tableau (i^') 
expriment que la droite D ,'st la transformée d'une droite de C. 

î). La différence entre les iranslormations ordinaires elles transfor- 
mations singulières a alors une signification évidente : 

Le complexe C peut se correspondre à lui-même par la transforma- 
tion bomograpbique considérée. Toute droite de C a alors pour 
transformée une droite de C, correspondant à un système de périodes. 
On est (du moins si les coefficients sont enlieisj dans le cas des lians- 
formalions d'Hermite. 

Dans le cas contraire, le complexe C se transforme par la transtor- 
nialion ( 5 ) en un autre complexe C. , et par la transformation inverse 
.-n un complexe C_,. Les seules droites correspondant à un système de 
périodes dont les transformées correspondent aussi à un système de 
périodes sont los droites apparlenanl à la fois à C et à C_,; leurs 
transformées appartiennent à la fois a C et à T, . Ou est dans le cas des 
transformations singulières. 

Les relations sin^^ulières déduites du tableau » m • ^ont alors celles 
.pii expriment qu'une droite de C appartient à C_.. Celles déduites du 
Tableau (i4') expriment iprelb- appartient à C".,. 

On échange évidemment les i.Mes de C. cl C_, en rempla^-ant la 
transformation (.■)) par son adjointe. 

10 Transformation des coe//icienls B,.,. - H peut être utile de 
.avoir ce que'devient le tableau des coefficients («4) lorsqu on trans- 
forme les périodes par une transformation de la forme (^) autre que 
celle à la.iuelle il est lié par los formules du n*- o. en particulier lorsque 



1^8 PAUL LEVY. 

celle Iransforination esl une transformation d'Hermite. Géométrique- 
ment cela revient à transformer le complexe C par une transformation 
liomoi;raphi([ue 

(18) X, = 3!,,yX-, + a2.ya-<, + . . .+ afi.y.r,-. (./ = > • 2 , • • • , 6 ) , 

analogue à la transformation (5). 

Traitons ce problème en définissant d'abord lr complexe (1 par la 
transformation corrélative qui lui est liée; elle est de la forme 

(19) U,= lll>,-.,X,+ llb,-,2-\;.-h. . .+ lll.,-,6Xc ((■=1.2, ...,6), 

les U, étant des coordonnées langenlielles et les n!.,^ constituant un 
tableau symétrique gauche. D'autre part, la transformation (18) 
s'écrit, en coordonnées langenlielles, 

(18') (/,= oc,,,U, -^ a,-,2U2-i-. . . + a,,,;l'r, {/=: I, 2, . . ., 6). 

Des formules (18), (18') et (19), on déduit 

", = ^ ]^ 2 yu.l,*'^l,J.d.j.ic.i--j-= ^ l'i'/.y.-Cy, 
h k i 

en posant 

( 20) irt,;,^ = ^ 2 ^'•'' ^^■•'' '"'''•'•■ 

Dans ces formules, tous les indices varieni de i à (>. 

dette formule résout le problème de la traiisformalion des coef- 
ficients ii!., y. il reste à établir les relations entre les coefficients iH., , 
et B,^^ relatifs à un même complexe. 

Je dis d'abord que les coefficients u'.., y relatifs au complexe ( - sont 

'"'1.,= "'!'2,:.= l"'3..,= I, l"',.i= l''-'.,.-;^- '"'1,.. - — 1. 

tous les autres étant nuls. Cela revient à dire que loule droite de C, 
c'est-à-dire toute droite de la forme 

t X.+ XjG -+-X5H"H-XJI' = o, 

(17) I X2-+- X.,ll"-4-X5G'-+-XJ-I =0, 

( X3-t-X4ll'-+-Xai'-+-XoG"=o, 



I()NCTI(1N> M!KI,lK.N.Ni;S A TltOIS VAlilMM.KS. >~<.) 

rsl ti-ansforinée en cllc-iiiênie pai- la Iraiisfonnalioii 



(^.1) 






Kii cllet, les trois plans (17 ) ont pour Iransforniéf, par celle Irans- 
lonnalion, les points de coordonnées 

(i. li". ir, I. ". ". 
Il", C.\ 11. n, ,. ... 

Il', 11. <;', ", ". I. 

qui sonl situés sur ces plans. 

Les coefficients ,ii,,,, relatifs au compl-xr C,, transforme de Cpar les 
formules (5), se déduisent des précédents par la formule (20;. Il vient 
ainsi pour ces coefficients 

(1!,,,,.= («)',•,'., -t- i^y.'.r. -^-{"ï-iU - l^'-y- 

Les deux systèmes de coefficients B,,, et .!.,,, relatifs à un même 
complexe sont donc i(leiiti(pies, et la formule ( 20 ) donne 



(".'.) 



h;,,- "^^ y x,J,y.JJ^h,./.■ 



k k 



Il sul'lil d'utilisrr la notion de Iransl'ormiilion adjoiule pour avoir la 
formule analogue l'clative aux A, ^. 

Delà formule (22) résulte sans (lifliciill<M|ue. si la Ir.insformation 1 i.S) 

est une transformation d'IIermite d'ordre 1 : 

1" Le déterminant des coefficients B,.j est un invariant; 

2° La somme a + [^'4- 7"= 15.,>+ B..5+ lî..r, est un invariant. 

Un calcul un peu plus long, mais sans difficulté, montre que 

l'expression 

fj'Y—y^ -+- -/"y- — ,3" + «i^'— y"- - V — ^-V — '■'."" 

est aussi un invaiiaiit. 

I I. I.i's fonrliniis inhTmi'diftirrs sint:idirn's. — Il existe un autre 
moyen de parvenir aux relations singulières. 



38o PAUL Liivv. 

On appelle /o//r//o« inlerinédiaife toute tonction entière de //, r, «■ 
qui se reproduit, multipliée par une exponentielle de la forme tv'""^"""^"", 
quand ii, r, v\' augmentent d'une période. En désig^nant par /(«, i', a) 
une telle fojiction, on a ainsi 

/( u ^ q,. (■ - <i„ >r -H r/j :- tve''"+"'''-*-"'":/( u, i-, i.-) 
(/=,,-.,. ..,6). 

l']ii niullipliaiit /'(;/. f. a' ) par une exponentielle à exposant du 
second (letiré en ii, r, u-, on peut s'arrangei- de manière que le produit, 
que nous désignerons par Ç/( //. r. a), Nerifie les relations 

i 9(« ^ I , (', "•) =1 o{ «, f, ir)p'''"', 

(23) I ;>(«, i' + i,iv) = 9(//,i\n')e'>"", 
' o( (/. c. i\- + I ) = -v( (', i", w)e''''. 

Les trois autres relations s écriront 

i !s(« -+- ^, (' -1- A'', ir -4- A') = c «''"+""'"^""' 9(«,(', iv), 

(24) < 'j(« + /i", r + jj-', n- -^ //) z^ c' c'''""^'"'''"^""' tj/(«, i'. H'), 
( o{ii -+- II', r -i- /(, ir + g") =z c"e'""^"'''''*"""'9(", i', n')- 

Les coeilicieiils 0, /, m. n ne peuvent d'ailleurs pas être quelconques. 
Il faut (|u'on ajoutant successivement deux périodes, on obtienne un 
lésullal indépendant de l'ordre des périodes. 

Kn combinant deux à deux les équations (ii3), on trouve ainsi 

6 — ir.i\, 6'= m: il', 0'= ■.>.-il", 

A, X', X' élanl (les iMiliers positifs, nuls ou négatifs. 

En combinant cliacune des équations ('-i3) avec cliacune des équa- 
tions ( 2-]), il vieni 

l ~ -.'.r.Hx -r'/ M), m = 'i-i{^ -i-'f.'G), M = 27:/(-/ -i- Âll"), 

/'=r>.T.i(x'+'/:\i ), »i'=2r.i(P'-i-A''lV), n' —9-r.i(Y-^ IG'), 
/'-- ■.>.-('(n"4- ■/.■G), /»"— ^-(•(S"+ /."M'), «■'— 2-/(-/"-+- /H). 

y., 3, Y, y.'. ..., y' élant f) entiers. 

I']n combinant enlin deux à deux les équations (2/1), et appelant 



FONCTIONS AIIKLIENNES A THOIS VAHKIÎIKS. SU l 

L/., a\ u." (le nouveaux entiers. 

l'W-h Di'C,' -i-n'\l —IW^tnH ^- /l'C f- ■?-/>. 

/ (i -^ «, Il _ ,/||'^ ni-r- /« (1^,/ li -+>::/■ y.-. 

c'esl-à-clire, en tenant con)[ite des \;ilcurs de /. ///. //, //", et a|»|>c- 

lant tDujoui's <)', ..., riC les niineurà du déleruiin.uil di's périodes 

/.(,' +'/.'X"^ À'jC'H-y'G"— 3"G'-+-(,3'— y')ll ^ 7.' W — u W -h {i = o, 
/.3e"-i-/.(|' +/."3e ^x"G —■/ G'-h(/" — x)\\ +-C \l— X II -hix'=(>, 
'/.Jt' ^- /.'JC + /."(i'" -!- 3 G — 3c'G -t- (3! — 5'iU — a II - 2 M"-t- fi-'—o. 

Ce système n'est autre ijue noire système de relations singulières, 
sou^ la fiirnic (1 'i). 

12. Les deux cas distingués au n° (î sont encore à distinguer ici. 

Pi-cmicr cas. — Tous les coefficients des relations singulières sont 
nuls, de sorte que les péiiodes peuvent être quelconques l^osous 
encore 

Les relations (22) et (23) deviennent 

3(U -T-i.V,W) = i,(U,V. Wi. -.(L-i-G. V^H ,W-i-H') = Ce'-"' =(L".\.\\ 
9(U, V 4- I. W) = o(U, V. \V), o(U-Hn%V-G . \V + H )r=(:'e«'«v o(i-, \ , \\. 
9(U,V.W-i) = 9(U.V.\V). 9(U^H', V-4-II, \V4-G") = CV^'<"9(r. V. w 

La fonction est aloi-s une fonction ihcla. Ainsi, dans le cas où il n'y 
a pas de relation^ singulières entre les périodes, les seules fonctions 
intermédiaires sont les fondions tlièta et leurs produits par des expo- 
nentielles à exposant du second degré en l ,^ ,^^'. 

Deuxicnic cas. — Les coelllcienls des relations singulières ne sont 
pas tous nuls, de sorte que les périodes ne sont pas quelooiujues. On a 
un nouveau type de fonctions inlermédiaires, qu'on appelle /"o//'7/o//.s- 
intcrmcdiàires singulières. 

L'existence d'un svslème de relations siuL'ulières à coefluienls 



3H2 PAUr, LÉVY. — FONCTIONS .\nÉL7 RNNES .V TIÎOIS VAniAni.KS. 

cnliei's, vérifié par un systèim- de périodes donné, csl donc la condi- 
tion nécessaire et suffisanle [tour qu'il existe des fonctions intermé- 
diaires, autres que les fonctions thêta, admeltanl ces périodes. 

Il était évident a priori que les det-x propriétés que nous avons 
considérées successivement, l'existence de Iransformations sini;ulièrcs 
et l'existence des fonctions inlcrmédiaircs singulières, sont toutes les 
deux invariantes lorsqu'on tiansfornic un système de périodes [)arune 
transformation d'IIermite. Mais celle remaniue ne suffisait pas pour 
alTirmer la simultanéité do ces deux propriétés. Les deux calculs que 
nous avons faits sont donc bien nécessaires. 

( . / si/i\ i-f^.') 




.louriinl^de Mathématiques pures et appliquées 



ERRATUM. 



Pagfi ^.i6, lignes 7. 11, li, v>7, fi-u lieu de « ensemble zéro », lire 
u ensemble o », cette abréviation ayant, selon l'iiabitude, le sens de 
l'expression anglaise : « ordinary outer limiting set ■>, ainsi qu'il 
résulte évideninieiil de tout le contexte. 



iiiriile ajou'.tz y — 



■u de nous saurons. 



de Math. (K" scrie), ion 



IV. - Fa^ 



-19 



382 PAUL LÉVY. — FONCTIONS vriFCLÎRNN i;S A TliOIS VAIUARI.KS. 

cnliers, vérifié par un syslérm- tic périodes donné, csl donc la condi- 
tion nécessaire et suffisanle pour qu'il existe des fonctions intermé- 
diaires, autres que les fonctions thêta, admellanl ces périodes. 

Il était évident a priori que les deux propriétés cjue nous avons 
considérées succcssiveinent, l'existence de iransformalions sini;ulièrcs 
et l'existence des fonctions inlcruiédiaircs singulières, sont toutes les 
deux invariant 
transformation 
affirmer la sim 
nous avons fait 



EnnATA. 

(8° série, tome II, 191g.) 



Page 2o3, ligne ]>>, au lieu de d\\. lire ^-pr', avant la viiiriile a/ooîcz (—7 

' " ' db ■ j \ jfj 

étant symbole de déri\ation i-\|ilicite j. 

Page 209, ligne 16, au lieu de /S, lire 5S; ligne ).."), au lieu de nous saurons, 
lire nous aurons. 



Jotirii. de Math. (S- série), loine IV. - Vax-. IV. 



«9 



?S' 



TABLE I)i:S MATIÈI{i:S 



HUITIÈME SÉKli:. - lOMi: IV. 



Le* iiiilicatinri> qui |iii.-cc,li-nl le lili-e lie' c\lia |iMt Miriiiuiie ilr ix-lle Table sont celles adoptée* 
(jar le Cnni^rcs inti-r-iiHlinn;!! île lîiMi'»i;i;t|iliM' ilr-i Sciences inathciiiatM|ties en 1889, 

( l\'ote dv la Rédaction. ) 



[V9. 10 I Funérailles de M. Georges llitriiberl. Discours de W. Jordan . 1. 

[I| Sur les formes d'Hcrmile ternaires dans un corps (|uadratique 
imaginaire (c)iaiups \J — i el ^/ — 2); pnr M. Georges 
Ifmnberl 3 

|06k| Tiansforiiialions oi' surfaces appllralile- lu a c|iia(lric; l)v 

Luther l'falilcr luiisi-liart ( Princeton ) 87 

|J3| Siii i|nel(|ue.s questions île miniinuai. relatives aux courbes 
cii!)irormes el sur leurs rapports avec le calcul des variation^ : 
par M. Henri Lehesi;iie 67 



D2 I -Sur la reclierclie des (joints irréj;uliei's de certaines lonclions 

(lelinies p.ir leur développement deTaylor; par M. J. Sonia . 97 

R5a| riii' nnia\ial pulenlial funclion (fonclion de potentiel) and is 
oiihoj^onal for ce fnncllnn (fonclion de force) conlrasled; 
par M. G. Greenliill i5"' 

Hll I Mij'nes (le dis(^on tiniiilé de> soin iion~ de certaines éi|ualiiin'i 

lie Fredliolni; pir M. Gasloii Jtilin km 

C2h I l-'intrj;ralion double par rapport à une courbe: pai M. //. 

) iiitnL' ao7 



306 TABLE DES MATIÈRES. 

Pages. 
[Q3] Sur riioméomorphe de deux figures el de leurs voisinages ; 

par M. Louis Antoine 221 

[I19a] Intégral solutions of the équation ç'+Ti'-H- '' i" '''« quadra- 

tic realm of rationality; par M. Harris Hancock 827 

[I9c] Généralisation d'un théorème de TchebvcheIT; par M. Trygve 

Nagel 343 

[G4bl Sur les systèmes de relations singulières entre les périodes de 
fonctions abéliennes à trois variables (à suivre); par 
M . Paul Léi'j 35; 

Errata, 8'' série, tonie 11, 1919 383 



FIN DU TOME IV DE LA HUITIEME SERIE. 



G5127 Paris. — Imp. Gauthier-Villafis et C". 55, quai des (irands-Aiiguslin» 




Joiirnal de mathématiques 
pures et appliquées 



Maâl 



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